【2006高考試題】一、選擇題（共29題）1（安徽卷）若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為A B C D2（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)3（福建卷）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A.(,) B. (-,) C. , D. -,解析：雙曲線的漸近線與過右焦點(diǎn)的直線平行，或從該位置繞焦點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，k，又k，選C4.（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離之比等于A. B. C. 2 D. 4解析：依題意可知 ，故選C.5（湖北卷）設(shè)過點(diǎn)的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對稱，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則點(diǎn)的軌跡方程是A BC D6（湖南卷）過雙曲線M:的左頂點(diǎn)A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( )A. B. C. D. 7（江蘇卷）已知兩點(diǎn)M（2，0）、N（2，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足0，則動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程為（A）（B）（C）（D）【思路點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，拋物線的定義.8（江西卷）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）A（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2)解：F（1，0）設(shè)A（，y0）則（ ，y0），（1，y0），由· 4Þy0±2，故選B9（江西卷）P是雙曲線的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓（x5）2y24和（x5）2y21上的點(diǎn)，則|PM|PN|的最大值為（ ）A. 6 B.7 C.8 D.910（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是(A) (B) (C) (D) 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個(gè)三角形區(qū)域時(shí)有。11（遼寧卷）曲線與曲線的(A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點(diǎn)相同 (D)準(zhǔn)線相同12（遼寧卷）直線與曲線 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】將代入得：，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。【點(diǎn)評】本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時(shí)對二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡單的考查。13（遼寧卷）方程的兩個(gè)根可分別作為（）一橢圓和一雙曲線的離心率兩拋物線的離心率一橢圓和一拋物線的離心率兩橢圓的離心率解：方程的兩個(gè)根分別為2，故選A 14（全國卷I）雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍，則A B C D解：雙曲線的虛軸長是實(shí)軸長的2倍， m<0，且雙曲線方程為， m=，選A.15（全國卷I）拋物線上的點(diǎn)到直線距離的最小值是A B C D解：設(shè)拋物線上一點(diǎn)為(m，m2)，該點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)m=時(shí)，取得最小值為，選A.16（全國II）已知ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長是（A）2 （B）6 （C）4 （D）12解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C17（全國II）已知雙曲線的一條漸近線方程為yx，則雙曲線的離心率為（A） (B) (C) (D)解析:雙曲線焦點(diǎn)在x軸,由漸近線方程可得,故選A19（山東卷）在給定雙曲線中，過焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦長為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為，則該雙曲線的離心率為(A) (B)2 (C) (D)2解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有，據(jù)此解得e，選C20(陜西卷)已知雙曲線 =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為A.2 B. C. D.解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則， a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D21（四川卷）已知兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于（A） （B） （C） （D）解：兩定點(diǎn)，如果動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則，即，所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4，選B.22（四川卷）直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為（A）48 （B）56 （C）64 （D）7223（天津卷）如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準(zhǔn)線間的距離是（ ）A B C D 解析：如果雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，一條漸近線方程為， ，解得，所以它的兩條準(zhǔn)線間的距離是，選C. 24（天津卷）橢圓的中心為點(diǎn)，它的一個(gè)焦點(diǎn)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為，則這個(gè)橢圓的方程是（） 解析：橢圓的中心為點(diǎn)它的一個(gè)焦點(diǎn)為 半焦距，相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線方程為 ，則這個(gè)橢圓的方程是，選D.25（浙江卷）若雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的 ，則m=（A）（B）（C）（D）解：雙曲線上的點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離是到左焦點(diǎn)距離的 ，則離心率e=3， ，m=，選C.26（浙江卷）拋物線的準(zhǔn)線方程是 (A) (B) (C) (D) 解：2p8，p4，故準(zhǔn)線方程為x2，選A27(重慶卷)設(shè)是右焦點(diǎn)為的橢圓上三個(gè)不同的點(diǎn)，則“成等差數(shù)列”是“”的（A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件 （D）既非充分也非必要28（上海春）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( ) （A）. （B）. （C）. （D）.解：（直接計(jì)算法）因?yàn)閜=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 應(yīng)選B29（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件.解：應(yīng)用直接推理和特值否定法當(dāng)k>3時(shí)，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示雙曲線；當(dāng)方程 表示雙曲線時(shí)，k=-4 是可以的，這不在k>3里故應(yīng)該選A二、填空題（共8題）30（江西卷）已知為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)下面四個(gè)命題的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上；的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； 的內(nèi)切圓必通過點(diǎn)其中真命題的代號是（寫出所有真命題的代號）31（山東卷）已知拋物線y2=4x,過點(diǎn)P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 .解：顯然³0，又4（）³8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以所求的值為32。32（山東卷）已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 解：已知為所求；33(上海卷)若曲線|1與直線沒有公共點(diǎn)，則、分別應(yīng)滿足的條件是 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，；34(上海卷)已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.解：雙曲線中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,則焦點(diǎn)在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.35(上海卷)若曲線與直線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是_.解：曲線得|y|>1， y>1或y<1，曲線與直線沒有公共點(diǎn)，則的取值范圍是1，1.36（四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則 ;37（浙江卷）雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離的比是3，則m 等于 。解析：雙曲線上的點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離與到左準(zhǔn)線的距離的比是3，即離心率e=3，所以，m=.三、解答題（共29題）OFxyPMH38（安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點(diǎn)。P為雙曲線C右支上一點(diǎn)，且位于軸上方，M為左準(zhǔn)線上一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)。已知四邊形為平行四邊形，。（）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式；（）當(dāng)時(shí)，經(jīng)過焦點(diǎn)F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點(diǎn)，若，求此時(shí)的雙曲線方程。39（北京卷）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為.（）求的方程；（）若是上的不同兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，求的最小值.解：（1）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0）（1） 當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為xx0，此時(shí)A（x0，），B（x0，），2 當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為ykxb，代入雙曲線方程中，得：（1k2）x22kbxb2201°依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則解得|k|>1又x1x2y1y2x1x2（kx1b）（kx2b）（1k2）x1x2kb（x1x2）b2>2綜上可知的最小值為240（北京卷）橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)P在橢圓C上，且P F1PF2,| P F1|=,| P F2|=.（I）求橢圓C的方程；（II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線L的方程。解法二：()同解法一.()已知圓的方程為（x+2）2+(y1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 由得 因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，所以x1+ x2=4, y1+ y2=2,代入得，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y1（x+2），即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)41（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（）設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根。記中點(diǎn)則的垂直平分線NG的方程為令得點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍為42（福建卷）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。（I）求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線相切的圓的方程；（II）設(shè)過點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)在直線上，求直線AB的方程。本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運(yùn)算能力和綜合解題能力。（II）設(shè)直線AB的方程為代入整理得直線AB過橢圓的左焦點(diǎn)F，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，記中點(diǎn)則線段AB的中點(diǎn)N在直線上，或當(dāng)直線AB與軸垂直時(shí)，線段AB的中點(diǎn)F不在直線上。直線AB的方程是或43（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線。（）、求橢圓的方程；（）、設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)。點(diǎn)評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運(yùn)算的能力和解決問題的能力。將代入，化簡得·（2x0）.2x0>0，·>0，則MBP為銳角，從而MBN為鈍角，故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)。44（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).()當(dāng)AB軸時(shí),求、的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；()是否存在、的值，使拋物線C2的焦點(diǎn)恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.解：（）當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m0，直線AB的方程為： x =1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上.所以，即.此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上.（II）解法一： 假設(shè)存在、的值使的焦點(diǎn)恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為AyBOx由消去得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程的兩根，x1x2.由消去y得. 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以.或由上知，滿足條件的、存在，且或，解法二：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為，因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又過C2的焦點(diǎn)，所以.即. 由（）知，于是直線AB的斜率， 且直線AB的方程是,所以. 又因?yàn)椋? 45（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點(diǎn).（）當(dāng)軸時(shí)，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點(diǎn)是否在直線AB上；（）若且拋物線C2的焦點(diǎn)在直線AB上，求m的值及直線AB的方程.解（）當(dāng)ABx軸時(shí)，點(diǎn)A、B關(guān)于x軸對稱，所以m0，直線AB的方程為 x=1，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，）或（1，）. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上，所以，即. 此時(shí)C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），該焦點(diǎn)不在直線AB上. （）解法一當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.解法二當(dāng)C2的焦點(diǎn)在AB時(shí)，由（）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為.由消去y得. 因?yàn)镃2的焦點(diǎn)在直線上，所以，即.代入有.即. 設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,則x1,x2是方程的兩根，x1x2.由消去y得. 解法三設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）, （x2,y2）,因?yàn)锳B既過C1的右焦點(diǎn)，又是過C2的焦點(diǎn)，所以.即. 由（）知，于是直線AB的斜率， 且直線AB的方程是,所以. 又因?yàn)?，所? 將、代入得，即.當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為；當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為.46（江蘇卷）已知三點(diǎn)P（5，2）、（6，0）、（6，0）. （）求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)點(diǎn)P、關(guān)于直線yx的對稱點(diǎn)分別為、，求以、為焦點(diǎn)且過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運(yùn)算能力。OPAFBDxy47（江西卷）如圖，橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的一動(dòng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且交橢圓于兩點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）若在的方程中，令，設(shè)軌跡的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為和當(dāng)為何值時(shí)，為一個(gè)正三角形？解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0）上的點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），則1°當(dāng)AB不垂直x軸時(shí)，x1¹x2，由（1）（2）得b2（x1x2）2xa2（y1y2）2y0b2x2a2y2b2cx0（3）2°當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，點(diǎn)P即為點(diǎn)F，滿足方程（3）故所求點(diǎn)P的軌跡方程為：b2x2a2y2b2cx048（遼寧卷）已知點(diǎn),是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),向量,滿足.設(shè)圓的方程為(I) 證明線段是圓的直徑;(II)當(dāng)圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時(shí)，求P的值?！窘馕觥?I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn),則即整理得:故線段是圓的直徑證明3: 整理得: (1)以線段AB為直徑的圓的方程為展開并將(1)代入得:故線段是圓的直徑(II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則又因所以圓心的軌跡方程為設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則當(dāng)y=p時(shí),d有最小值,由題設(shè)得 .設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則因?yàn)閤-2y+2=0與無公共點(diǎn),所以當(dāng)x-2y-2=0與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),該點(diǎn)到直線x-2y=0的距離最小值為將(2)代入(3)得解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則又因49（遼寧卷）已知點(diǎn)是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，設(shè)圓的方程為（1）證明線段是圓的直徑；（2）當(dāng)圓的圓心到直線的距離的最小值為時(shí)，求的值解析：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，圓與拋物線的方程，點(diǎn)到直線的距離等基礎(chǔ)知識，以及綜合運(yùn)用解析幾何知識解決問題的能力。（I）證法一：即整理得.12分設(shè)點(diǎn)M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則即展開上式并將代入得故線段是圓的直徑。證法二：即，整理得3分若點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，則去分母得點(diǎn)滿足上方程，展開并將代入得所以線段是圓的直徑.（）解法一：設(shè)圓的圓心為，則，又所以圓心的軌跡方程為：設(shè)圓心到直線的距離為，則當(dāng)時(shí)，有最小值，由題設(shè)得14分因?yàn)榕c無公共點(diǎn).所以當(dāng)與僅有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)到的距離最小，最小值為將代入，有14分解法三：設(shè)圓的圓心為，則若圓心到直線的距離為，那么又當(dāng)時(shí)，有最小值時(shí)，由題設(shè)得50（全國卷I）在平面直角坐標(biāo)系中，有一個(gè)以和為焦點(diǎn)、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動(dòng)點(diǎn)P在C上，C在點(diǎn)P處的切線與軸的交點(diǎn)分別為A、B，且向量。求：（）點(diǎn)M的軌跡方程； （）的最小值。51（全國卷I）設(shè)P是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值。解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因?yàn)镼在橢圓上,所以,x2=a2(1y2) , |PQ|2= a2(1y2)+y22y+1=(1a2)y22y+1+a2 =(1a2)(y )2+1+a2 .因?yàn)閨y|1,a>1, 若a, 則|1, 當(dāng)y=時(shí), |PQ|取最大值;若1<a<,則當(dāng)y=1時(shí), |PQ|取最大值2.52（全國II）已知拋物線x24y的焦點(diǎn)為F，A、B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且（0）過A、B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為（）證明·為定值；（）設(shè)ABM的面積為S，寫出Sf()的表達(dá)式，并求S的最小值 ()由()知在ABM中，F(xiàn)MAB，因而S|AB|FM|FM|因?yàn)閨AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準(zhǔn)線y1的距離，所以|AB|AF|BF|y1y222()2于是S|AB|FM|()3，由2知S4，且當(dāng)1時(shí)，S取得最小值453（山東卷）雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)，直線y=為C的一條漸近線.（1）求雙曲線C的方程；（2）過點(diǎn)P(0,4)的直線，交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)（Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合）.當(dāng)，且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo). 在雙曲線上，同理有：若則直線過頂點(diǎn)，不合題意.是二次方程的兩根.，此時(shí).所求的坐標(biāo)為.下同解法一解法三：由題意知直線的斜率存在且不等于零設(shè)的方程：，則.，.，又，即將代入得，否則與漸近線平行。解法四：由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)的方程：，則54（山東卷）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓的短軸端點(diǎn)和焦點(diǎn)所組成的四邊形為正方形，兩準(zhǔn)線間的距離為l.()求橢圓的方程；()直線過點(diǎn)P(0,2)且與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)AOB面積取得最大值時(shí)，求直線l的方程.解：設(shè)橢圓方程為（）由已知得所求橢圓方程為.解法1：對兩邊平方整理得：（*），整理得：又，從而的最大值為，此時(shí)代入方程（*）得所以，所求直線方程為：.解法2：令，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，此時(shí).所以，所求直線方程為yxOMDABC11212BE第21題解法圖55(陜西卷) 如圖,三定點(diǎn)A(2,1),B(0,1),C(2,1); 三動(dòng)點(diǎn)D,E,M滿足=t, = t , =t , t0,1. () 求動(dòng)直線DE斜率的變化范圍; ()求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解法一: 如圖, ()設(shè)D(x0,y0),E(xE,yE),M(x,y).由=t, = t , 知(xD2,yD1)=t(2,2). 同理 . kDE = = = 12t.t0,1 , kDE1,1.() =t (x+2t2,y+2t1)=t(2t+2t2,2t1+2t1)=t(2,4t2)=(2t,4t22t). , y= , 即x2=4y. t0,1, x=2(12t)2,2.即所求軌跡方程為: x2=4y, x2,256(上海卷)在平面直角坐標(biāo)系O中，直線與拋物線2相交于A、B兩點(diǎn)（1）求證：“如果直線過點(diǎn)T（3，0），那么3”是真命題；（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由解（1）設(shè)過點(diǎn)T(3,0)的直線交拋物線y2=2x于點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2).當(dāng)直線的鈄率不存在時(shí),直線的方程為x=3,此時(shí),直線與拋物線相交于點(diǎn)A(3,)、B(3,). =3； 當(dāng)直線的鈄率存在時(shí),設(shè)直線的方程為，其中， 由得 又 ， ， 綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；(2)逆命題是：設(shè)直線交拋物線y2=2x于A、B兩點(diǎn),如果=3,那么該直線過點(diǎn)T(3,0).該命題是假命題. 例如：取拋物線上的點(diǎn)A(2,2)，B(,1)，此時(shí)=3,直線AB的方程為：，而T(3,0)不在直線AB上；說明：由拋物線y2=2x上的點(diǎn)A (x1,y1)、B (x2,y2) 滿足=3，可得y1y2=6，或y1y2=2，如果y1y2=6，可證得直線AB過點(diǎn)(3,0)；如果y1y2=2，可證得直線AB過點(diǎn)(1,0),而不過點(diǎn)(3,0).57(上海卷)已知在平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)橢圓，它的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過原點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，求面積的最大值。 (3)當(dāng)直線BC垂直于x軸時(shí),BC=2,因此ABC的面積SABC=1.當(dāng)直線BC不垂直于x軸時(shí),說該直線方程為y=kx,代入,解得B(,),C(,),則,又點(diǎn)A到直線BC的距離d=,ABC的面積SABC=于是SABC=由1,得SABC,其中,當(dāng)k=時(shí),等號成立.SABC的最大值是. 58（四川卷）已知兩定點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點(diǎn)。如果，且曲線上存在點(diǎn)，使，求的值和的面積。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分12分。又 依題意得 整理后得 或 但 故直線的方程為59（四川卷）已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線kx1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)。（）求的取值范圍；（）如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求。本小題主要考察雙曲線的定義和性質(zhì)、直線與雙曲線的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離等知識及解析幾何的基本思想、方法和綜合解決問題的能力。滿分14分。解：（）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且，易知 故曲線的方程為 依題意得 整理后得或但 故直線的方程為設(shè)，由已知，得，又，點(diǎn)60（天津卷）如圖，以橢圓的中心為圓心，分別以和為半徑作大圓和小圓。過橢圓右焦點(diǎn)作垂直于軸的直線交大圓于第一象限內(nèi)的點(diǎn)連結(jié)交小圓于點(diǎn)設(shè)直線是小圓的切線（1）證明，并求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線交橢圓于、兩點(diǎn)，證明本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)、直線方程。平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力.滿分14分. 證明：（）由題設(shè)條件知，故 ，即因此，在， 因此，在中 ，.于是，直線OA的斜率.設(shè)直線BF的斜率為，則.這時(shí)，直線BF與軸的交點(diǎn)為綜上，得到注意到，得 61（天津卷）如圖，雙曲線的離心率為分別為左、右焦點(diǎn)，為左準(zhǔn)線與漸近線在第二象限內(nèi)的交點(diǎn)，且（）求雙曲線的方程；（）設(shè)和是軸上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率不為0的直線，使得交雙曲線于兩點(diǎn)，作直線交雙曲線于另一點(diǎn)證明直線垂本小題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、平面向量、曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識和基本思想方法，考查推理及運(yùn)算能力。（I）解：根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)點(diǎn)則、滿足因解得，故利用得于是因此，所求雙曲線方程為同理，、兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足可解得所以，故直線DE垂直于軸。62（浙江卷）如圖，橢圓1（ab0）與過點(diǎn)A（2，0）B(0,1)的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T，且橢圓的離心率e=.()求橢圓方程；()設(shè)F、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，M為線段AF的中點(diǎn)，求證：ATM=AFT.本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。解：（I）過點(diǎn)、的直線方程為因?yàn)橛深}意得 有惟一解，即有惟一解，所以 （），故 又因?yàn)?即 所以 從而得 故所求的橢圓方程為 （II）由（I）得 故從而 由 解得所以 因?yàn)橛值靡虼?3（浙江卷）如圖，橢圓與過,的直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且橢圓的離心率, （）求橢圓的方程 （）設(shè)分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，求證 本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的幾何性質(zhì)，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分 14分。 （）由（）得, 所以 由 解得 因此.從而 , 因?yàn)? 所以64(重慶卷)已知一列橢圓Cn:x2+=1. 0bn1,n=1,2.若橢圓C上有一點(diǎn)Pn使Pn到右準(zhǔn)線ln的距離d.是PnFn與PnCn的等差中項(xiàng)，其中Fn、Cn分別是Cn的左、右焦點(diǎn).（）試證：bn (n1);（）取bn，并用SA表示PnFnGn的面積，試證：S1S1且SnSn+3 (n3). 現(xiàn)在由題設(shè)取則是增數(shù)列。又易知。故由前已證，知，且65(重慶卷)如圖，對每個(gè)正整數(shù)，是拋物線上的點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線角拋物線于另一點(diǎn)。（）試證：；（）取，并記為拋物線上分別以與為切點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)。試證：；證明：（）對任意固定的因?yàn)榻裹c(diǎn)F（0,1）,所以可設(shè)直線的方程為將它與拋物線方程聯(lián)立得: ,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得現(xiàn)在，利用上述已證結(jié)論并由等比數(shù)列求和公式得：66（上海春）學(xué)?？萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn). 設(shè)計(jì)方案如圖：航天器運(yùn)行（按順時(shí)針方向）的軌跡方程為，變軌（即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€）后返回的軌跡是以軸為對稱軸、 為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分，降落點(diǎn)為. 觀測點(diǎn)同時(shí)跟蹤航天器.（1）求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程；（2）試問：當(dāng)航天器在軸上方時(shí)，觀測點(diǎn)測得離航天器的距離分別為多少時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令？    答：當(dāng)觀測點(diǎn)A、B測得AC、BC距離分別為 時(shí)，應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令  【2005高考試題】1. （江西卷）如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且MA=MB. （1）若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值； （2）若M為動(dòng)點(diǎn)，且EMF=90°，求EMF的重心G的軌跡解：（1）設(shè)M（y,y0），直線ME的斜率為k(l>0)（2）直線ME的方程為由得同理可得設(shè)重心G（x, y），則有OABPF消去參數(shù)得2（江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點(diǎn).（1）求APB的重心G的軌跡方程.（2）證明PFA=PFB.解：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，切線AP的方程為： 切線BP的方程為：解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：所以APB的重心G的坐標(biāo)為 ，所以，由點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：方法2：當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線AF的距離為：即所以P點(diǎn)到直線BF的距離為：所以d1=d2，即得AFP=PFB.當(dāng)時(shí)，直線AF的方程：直線BF的方程：所以P點(diǎn)到直線AF的距離為：同理可得到P點(diǎn)到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB. 3. (重慶卷) 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線C的右焦點(diǎn)為(2,0)，右頂點(diǎn)為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。而于是 由、得 故k的取值范圍為4. (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn)，而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn)。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足(其中O為原點(diǎn))，求k的取值范圍。 解此不等式得 由、得故k的取值范圍為5. (浙江) 17如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|A1F1|21 ()求橢圓的方程； ()若直線l1：xm(|m|1)，P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用m表示)（II）設(shè)P(當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí), 只需求的最大值即可。直線的斜率，直線的斜率當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)，最大，6. （天津卷）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點(diǎn)P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(diǎn)(P,A,B三點(diǎn)互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；（）設(shè)直線AB上一點(diǎn)M，滿足，證明線段PM的中點(diǎn)在y軸上；（）當(dāng)=1時(shí)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-1），求PAB為鈍角時(shí)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由，則將式和式代入上式得，即線段的中點(diǎn)在軸上（）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，拋物線方程為由式知，代入得將代入式得，代入得因此，直線、分別與拋物線的交點(diǎn)、的坐標(biāo)為，于是，因?yàn)殁g角且、三點(diǎn)互不相同，故必有求得的取值范圍是或又點(diǎn)的縱坐標(biāo)滿足，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即7. （上海）本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A是拋物線上橫坐標(biāo)為4、且位于x軸上方的點(diǎn),A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點(diǎn)為M. (1)求拋物線方程; (2)過M作MNFA, 垂足為N,求點(diǎn)N的坐標(biāo); (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當(dāng)K(m,0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí),丫討論直線AK與圓M的位置關(guān)系.由題意得, ,圓M.的圓心是點(diǎn)(0,2), 半徑為2,當(dāng)m=4時(shí), 直線AK的方程為x=4,此時(shí),直線AK與圓M相離.當(dāng)m4時(shí), 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1當(dāng)m>1時(shí), AK與圓M相離; 當(dāng)m=1時(shí), AK與圓M相切; 當(dāng)m<1時(shí), AK與圓M相交.8. （上海）點(diǎn)A、B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于軸上方，。（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離的最小值。 (2) 直線AP的方程是+6=0. 設(shè)點(diǎn)M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又66,解得=2. 橢圓上的點(diǎn)(,)到點(diǎn)M的距離有 ,由于66, 當(dāng)=時(shí),d取得最小值9. （山東卷）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)，且與直線相切，其中.（I）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點(diǎn)的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且為定值時(shí)，證明直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).（1）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，所以，所以由知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點(diǎn)（2）當(dāng)時(shí)，由，得=將式代入上式整理化簡可得：，所以，此時(shí)，直線的方程可表示為即所以直線恒過定點(diǎn)所以由（1）（2）知，當(dāng)時(shí)，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線恒過定點(diǎn).10. (全國卷)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線。（）求橢圓的離心率；（）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值。（II）證明：（1）知，所以橢圓可化為設(shè)，由已知得11. (全國卷) 已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，與共線. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且，證明為定值. 解：設(shè)橢圓方程為則直線AB的方程為化簡得.令則 共線，得又即，故離心率為 QPNMFO12. (全國卷II)、四點(diǎn)都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn)已知與共線，與共線，且求四邊形的面積的最小值和最大值解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點(diǎn)F(0,1)，且PQMN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點(diǎn)F(0,1)，故PQ的方程為=+1將此式代入橢圓方程得(2+)+21=0設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，)，(，)，則從而亦即當(dāng)=0時(shí)，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=。S=|PQ|MN|=2綜合知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。13(全國卷III) 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是AB的垂直平分線， （）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論； （）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.解：（）拋物線，即，焦點(diǎn)為1分（1）直線的斜率不存在時(shí)，顯然有3分（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b即直線：y=kx+b 由已知得：5分 7分 即的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過焦點(diǎn)8分所以當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F9分14、(全國卷III) 設(shè)，兩點(diǎn)在拋物線上，是的垂直平分線。（）當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？證明你的結(jié)論；（）當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，求在軸上截距的取值范圍。21解：（）兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等， 拋物線的準(zhǔn)線是軸的平行線，依題意不同時(shí)為0上述條件等價(jià)于上述條件等價(jià)于即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)。15.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動(dòng)點(diǎn)，滿足點(diǎn)P是線段F1Q與該橢圓的交點(diǎn)，點(diǎn)T在線段F2Q上，并且滿足 （）設(shè)為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，證明； （）求點(diǎn)T的軌跡C的方程； （）試問：在點(diǎn)T的軌跡C上，是否存在點(diǎn)M， 使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由.（）證法一：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為由P在橢圓上，得由，所以 3分證法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為記則由解法二：設(shè)點(diǎn)T的坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)（，0）和點(diǎn)（，0）在軌跡上.當(dāng)|時(shí)，由，得.又，所以T為線段F2Q的中點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），則因此 由得 將代入，可得綜上所述，點(diǎn)T的軌跡C的方程是7分解法二：C上存在點(diǎn)M（）使S=的充要條件是 由得 上式代入得于是，當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)M，使S=；當(dāng)時(shí)，不存在滿足條件的點(diǎn)M.11分當(dāng)時(shí)，記，由知，所以14分16（湖南卷）已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè). （）證明：1e2； （）若，PF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程； （）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形. 證法二：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，所以 即 解得 （）當(dāng)時(shí)，所以 由MF1F2的周長為6，得 所以 橢圓方程為 （）解法一：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.17（湖南卷）已知橢圓C：1（ab0）的左右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為e. 直線l：yexa與x軸y軸分別交于點(diǎn)A、B，M是直線l與橢圓C的一個(gè)公共點(diǎn)，P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)，設(shè). （）證明：1e2； （）確定的值，使得PF1F2是等腰三角形.（）證法一：因?yàn)锳、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點(diǎn)，所以A、B的坐標(biāo)分別是. 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是（）. 由即 （）解法一：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d，由 得 所以 即當(dāng)PF1F2為等腰三角形.解法二：因?yàn)镻F1l，所以PF1F2=90°+BAF1為鈍角，要使PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，則由|PF1|=|F1F2|得兩邊同時(shí)除以4a2，化簡得 從而于是. 即當(dāng)時(shí)，PF1F2為等腰三角形.18.（湖北卷）設(shè)A、B是橢圓上的兩點(diǎn)，點(diǎn)N（1，3）是線段AB的中點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn). （）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；（）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上？并說明理由.解法2：設(shè)依題意，（II）解法1：代入橢圓方程，整理得 的兩根，于是由弦長公式可得 故當(dāng)時(shí)，A、B、C、D四點(diǎn)均在以M為圓心，為半徑的圓上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得：A、B、C、D共圓ACD為直角三角形，A為直角 由式知，式左邊=由和知，式右邊= 式成立，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓19.（福建卷）已知方向向量為的直線l過點(diǎn)（）和橢圓的焦點(diǎn)，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上. （）求橢圓C的方程；（）是否存在過點(diǎn)E（2，0）的直線m交橢圓C于點(diǎn)M、N，滿足cot MON0（O為原點(diǎn)）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由.（I）解法一：直線， 過原點(diǎn)垂直的直線方程為， 解得橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線上，直線過橢圓焦點(diǎn)，該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）. 故橢圓C的方程為 （II）解法一：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得點(diǎn)O到直線MN的距離即 即整理得當(dāng)直線m垂直x軸時(shí)，也滿足.故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足.所以所求直線方程為或或解法二：設(shè)M（），N（）.當(dāng)直線m不垂直軸時(shí)，直線代入，整理得 E（2，0）是橢圓C的左焦點(diǎn)，|MN|=|ME|+|NE|=以下與解法一相同.=，整理得解得或故直線m的方程為或或經(jīng)檢驗(yàn)上述直線均滿足所以所求直線方程為或或20.（北京卷）如圖，直線 l1：ykx（k>0）與直線l2：ykx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2（I）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；（II）若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（III）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與（II）中的曲線C相交于M1，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點(diǎn)求證OM1