人教A版理科數(shù)學(xué)課時(shí)試題及解析(29)等比數(shù)列B
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人教A版理科數(shù)學(xué)課時(shí)試題及解析(29)等比數(shù)列B
課時(shí)作業(yè)(二十九)B [第29講 等比數(shù)列]
[時(shí)間:35分鐘 分值:80分]
1. 已知數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列,Sn表示{an}的前n項(xiàng)的和.若a1=3,a2a4=144,則S10的值是( )
A.511 B.1 023 C.1 533 D.3 069
2. 在等比數(shù)列{an}中,若a2a3a6a9a10=32,則的值為( )
A.4 B.2 C.-2 D.-4
3. 等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S1,S3,S2成等差數(shù)列,則數(shù)列{an}的公比等于( )
A.1 B. C.- D.
4. 在△ABC中,tanA是以-4為第三項(xiàng),4為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差,tanB是以為第三項(xiàng),9為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比,則tanC=________.
5. 已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,則公比q等于( )
A.3 B. C.4 D.
6. 在等比數(shù)列{an}中,a1=4,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{Sn+2}也是等比數(shù)列,則q等于( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
7. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0,a1=4d.若ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),則k=( )
A.3或-1 B.3或1
C.3 D.1
8. 在數(shù)列{an}中,an+1=can(c為非零常數(shù)),前n項(xiàng)和為Sn=3n+k,則實(shí)數(shù)k為( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
9. 在等比數(shù)列{an}中,a1=1,且a1+1,a2+2,a3+2依次成等差數(shù)列,則{an}的前6項(xiàng)和等于________.
10. 已知a,b,c是遞減的等差數(shù)列,若將其中兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)換,得到一個(gè)等比數(shù)列,則的值為________.
11. 在等比數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=,a4=(1+2x)dx,則公比q為________.
12.(13分) 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=(λ+1)-λan,其中λ是不等于-1和0的常數(shù).
(1)證明:{an}是等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公比q=f(λ),數(shù)列{bn}滿足b1=,bn=f(bn-1)(n∈N,n≥2),求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
13.(12分) 設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,數(shù)列{bn}滿足:bn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,n∈N*,已知b1=m,b2=,其中m≠0.
(1)求數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公比;
(2)當(dāng)m=1時(shí),求bn;
(3)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若對(duì)于任意的正整數(shù)n,都有Sn∈[1,3],求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
課時(shí)作業(yè)(二十九)B
【基礎(chǔ)熱身】
1.D [解析] 由已知a2a4=144,得a1q·a1q3=144,則q4==16,即q=2,
∴S10===3 069,故選D.
2.B [解析] 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),有a2a10=a3a9=a,又已知a2a3a6a9a10=32,則a=32,即a6=2,a1q5=2,
∴==a1q5=2,故選B.
3.C [解析] 由已知S1,S3,S2成等差數(shù)列,得
2S3=S1+S2,即2(a1+a1q+a1q2)=a1+a1+a1q,
化簡(jiǎn),得2a1(1+q+q2)=a1(2+q),即2q2+q=0,
解得q=-,故選C.
4.1 [解析] 由已知,有解得
∴tanC=-tan(A+B)=-=1.
【能力提升】
5.C [解析] 由已知,有a2 011=3S2 010+2 012,a2 010=3S2 009+2 012,
兩式相減,得a2 011-a2 010=3a2 010,即a2 011=4a2 010,
則公比q=4,故選C.
6.C [解析] 由已知,有S1=a1=4,S2=a1+a2=4(1+q),S3=a1+a2+a3=4(1+q+q2),
因?yàn)閿?shù)列{Sn+2}是等比數(shù)列,
所以(S2+2)2=(S1+2)(S3+2),
即(4q+6)2=6(6+4q+4q2),解得q=3,故選C.
7.C [解析] 由數(shù)列{an}是等差數(shù)列,得ak=a1+(k-1)d,a2k=a1+(2k-1)d.
∵ak是a1與a2k的等比中項(xiàng),
∴a=a1a2k,即[a1+(k-1)d]2=a1[a1+(2k-1)d],
化簡(jiǎn),得(k-1)2d2-a1d=0.
把a(bǔ)1=4d代入,得k=3,故選C.
8.C [解析] 解法一:由Sn=3n+k,得a1=S1=3+k,a2=S2-S1=(32+k)-(3+k)=6,
a3=S3-S2=(33+k)-(32+k)=18.
由an+1=can(c為非零常數(shù)),知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,則
a=a1a3,即62=18(3+k),解得k=-1,故選C.
解法二:由題意知,數(shù)列{an}是公比為c的等比數(shù)列,且c≠0,c≠1.
設(shè)=t,則
Sn==-tqn+t=3n+k,
∴k=t=-1,故選C.
9.63 [解析] 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
則a2=q,a3=q2,
由a1+1,a2+2,a3+2依次成等差數(shù)列,得
2(a2+2)=(a1+1)+(a3+2),
即2(q+2)=(1+1)+(q2+2),
化簡(jiǎn),得q2-2q=0,解得q=2.
則數(shù)列{an}的前6項(xiàng)和為S6==63.
10.20 [解析] 依題意,得
①或②或③
由①得a=b=c與“a,b,c是遞減的等差數(shù)列”矛盾;
由②消去c整理得(a-b)(a+2b)=0,又a>b,
∴a=-2b,c=4b,=20;
由③消去a整理得(c-b)(c+2b)=0,又b>c,
因此有c=-2b,a=4b,=20.
11.3 [解析] a4=(1+2x)dx=(x+x2)=(4+42)-(1+12)=18,
又a4=a1q3,a1=,則q3=27,即q=3.
12.[解答] (1)證明:∵Sn=(λ+1)-λan,
∴Sn-1=(λ+1)-λan-1(n≥2),
∴an=-λan+λan-1,即(1+λ)an=λan-1.
又λ≠-1且λ≠0,∴=.
又a1=1,∴{an}是以1為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.
(2)由(1)知q=f(λ)=,
∴bn=f(bn-1)=(n≥2),
故有==+1,∴-=1(n≥2),
∴是以3為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.
∴Tn=3n+=.
【難點(diǎn)突破】
13.[解答] (1)由已知b1=a1,所以a1=m;
b2=2a1+a2,所以2a1+a2=m,解得a2=-;
所以數(shù)列{an}的公比q=-.
(2)當(dāng)m=1時(shí),an=n-1,
bn=na1+(n-1)a2+…+2an-1+an,①
-bn=na2+(n-1)a3+…+2an+an+1,②
②-①得-bn=-n+a2+a3+…+an+an+1,
所以-bn=-n+
=-n-,
bn=+-n=.
(3)Sn==·,
因?yàn)?-n>0,
所以由Sn∈[1,3]得≤≤,
注意到,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),1-n∈;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),1-n∈,
所以1-n的最大值為,最小值為.
對(duì)于任意的正整數(shù)n都有≤≤,
所以≤≤2,解得2≤m≤3.
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