選修 42矩陣與變換A最新考綱1了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系2了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示3理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì)4理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣5理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.(1)行矩陣a11 a12與列矩陣êêú的乘法規(guī)則：知 識 梳 理1矩陣的乘法規(guī)則éb11ùúëb21ûúa  ×b  a  ×b  (2)二階矩陣êêú與列向量ê   ú的乘法規(guī)則： a11a12êê                 êúê   úêú.              êúêú    .êca   úéb11ùú11111221ëb21ûéa11a12ùéx0ùúê úëa21a22ûëy0ûéa11a12ùéx0ùéa11×x0a12×y0ùêúê úêúëa21a22ûëy0ûëa21×x0a22×y0û設(shè) A 是一個二階矩陣，、 是平面上的任意兩個向量，、1、2 是任意三個實數(shù)，則A()A；A()AA；A(12)1A2A.(3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下：éa11a12ùéb11b12ùêúêúëa21a22ûëb21b22ûéa11×b11a12×b21a11×b12a12×b22ùêúêúëa21×b11a22×b21a21×b12a22×b22û性質(zhì)：一般情況下，ABBA，即矩陣的乘法不滿足交換律；矩陣的乘法滿足結(jié)合律，即(AB)CA(BC)；矩陣的乘法不滿足消去律2矩陣的逆矩陣(1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣 A，B，若有 ABBAE，則稱 A 是可逆的，B 稱為 A 的逆矩陣若二階矩陣 A 存在逆矩陣 B，則逆矩陣是唯一的，通常記 A 的逆矩陣為 A1，A1B.éabù(2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣 Aêú(detAadbc0)，它ëcdû的逆矩陣為édb ùêadbcadbc úA1ë adbcadbcû(3) 逆 矩 陣 與 二 元 一 次 方 程 組 ： 如 果 關(guān) 于 變 量 x ， y 的 二 元 一 次 方 程 組ìaxbym，éabùéxùéabùí的系數(shù)矩陣 Aêú可逆，那么該方程組有唯一解ê úêúîcxdynëcdûëyûëcdûémù1êú，ën ûêc   a    ú.其中 Aé d b ùêadbc adbc ú1ë adbc adbcû3二階矩陣的特征值和特征向量(1)特征值與特征向量的概念設(shè) A 是一個二階矩陣，如果對于實數(shù) ，存在一個非零向量 ，使得 A，那么  稱為 A 的一個特征值，而  稱為 A 的一個屬于特征值  的一個特征向量(2)特征多項式與特征方程éabùéxùéxù設(shè)  是二階矩陣 Aêú的一個特征值，它的一個特征向量為 ê ú，則 Aê úëcdûëyûëyûéxùê ú，ëyûéxùìaxbyx，即ê ú滿足二元一次方程組íëyûîcxdyy，ì(a)xby0éabùéxùé0ù故íêúê úê ú(*)îcx(d)y0ëcd ûëyûë0û則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式ïabïïabïéabùïï  0. 記 f() ïï 為矩陣 A êú 的特征多項式；方程ïcdïïcdïëcdûïabïéabùïï0，即 f()0 稱為矩陣 Aêú的特征方程ïcdïëcdû(3)特征值與特征向量的計算ïabï如果  是二階矩陣 A 的特征值，則  是特征方程 f() ïï2(ad)ïcdïadbc0 的一個根解這個關(guān)于  的二元一次方程，得 1、2，將 1、2 分別代入方程組(*)，分別求出它們的一個非零解í        í        記 1ê   ú，2ê   ú.則 A111、A222，因此 1、2 是矩陣 Aêú的特征值，1ê   ú，2ëy1ûê  2ú為矩陣 A 的分別屬于特征值 1、2 的一個特征向量ìxx1， ìxx2，éx1ùéx2ùîyy1， îyy2，ëy1ûëy2ûéabùéx1ùëcdûéx ùëy2û診 斷 自 測é10ù é5ù1. êú ê ú_.ë01û ë7ûé1 0ùé5ù éúê  úêêë0×5(1)×7ë 7û解析êë01ûë7ûé 5 ù答案êúë 7û1×50×7ù é  5ùúê  ú.úûë12ë122ùú1  úûé1ê22若 Aê1ù   é 12ú ê 21ú，Bê2 û21，則 AB_.ë121úê1é1ê2解析ABê1ùé 1 1ù2úê 2  2ú1 ú2ûë 2 2 ûé1×11×æç1ö÷ê111æ1ö×2ùú1  æ1ö1 12×çè  2ø21  æ1ö1 1ú2×è 2÷ø2×2ûéêê222è2øèë2×22×ç2÷ø00ùú.ë00ûç÷é0答案êë0é13設(shè) Aêë00ùú0û0ù    é0 1ùú，Bê     ú，則 AB 的逆矩陣為_1û     ë1   0ûë  0 1û      ë1 0ûé10ùé01ù解析A1êú，B1êúë10û  ë 0 1ûéê  ú.é01ù é10ù(AB)1B1A1êú êú0  1ùë1 0ûé0答案êë11ùú0û1ú變換作用下的結(jié)果為_é14函數(shù) yx2 在矩陣 Mêê0ë0ùú4ûúéêxùúéxùê解析êê1úê1y  ú ëyûê úë           ë4û4ûú0 ëyûé1 0ù é  xùxx，y4y，代入 yx2，得 y1x2，即 y1x2.解析A 的特征多項式 f()ïïï 6 2ï441答案y4x2é15ù5若 Aêú，則 A 的特征值為_ë62ûï15ïïï(1)(2)302328(7)(4)，A 的特征值為 17，24.答案7 和4考點一矩陣與變換é2aù【例 1】 (2014· 蘇州市自主學(xué)習(xí)調(diào)查)已知 a，b 是實數(shù)，如果矩陣 Mêú所ëb1û對應(yīng)的變換將直線 xy1 變換成 x2y1，求 a，b 的值yy解設(shè)點(x，)是直線 xy1 上任意一點，在矩陣 M 的作用下變成點(x，)，é2aù éxùéxù則êú ê úêú，ëb1û ëyûëyûìx2xay，所以íîybxy.因為點(x，y)，在直線 x2y1 上，所以ì22b1，(22b)x(a2)y1，即íîa21，ìïa3，所以í1îïb2.規(guī)律方法 理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關(guān)鍵，利用待定系數(shù)法，構(gòu)建方程是解決此類題的關(guān)鍵BB【訓(xùn)練 1】已知變換 S 把平面上的點 A(3,0)， (2,1)分別變換為點 A(0,3)， (1，1)，試求變換 S 對應(yīng)的矩陣 T.éa解設(shè) Têëbcù      é3ù éxù éaú，則 T：ê úê  úêdû ë0û  ëyû ëbcù é3ù é3aù é0ù     ìa0，ú ê úê úê ú，解得ídû ë0û  ë3bû  ë3û     îb1；é2ùéxùéaT：ê úêúêë1ûëyûëbcù é2ù é2acù é 1ùú ê úê    úê  ú，dû ë1û  ë2bdû ë 1ûìc1，é01 ù解得í綜上可知 Têú.î d3，ë13û考點二二階逆矩陣與二元一次方程組é23ùy【例 2】 已知矩陣 Mêú所對應(yīng)的線性變換把點 A(x， )變成點 A(13,5)，ë11û試求 M 的逆矩陣及點 A 的坐標(biāo)é23ù解依題意得由 Mêú，得|M|1，ë11ûé1故 M1êë13ùú.2ûé2 3ù éxù é13ùéxùú ê ú  êêúú 得 ê ú  êêë11û ëyûëyûú êú  éê1×133×5ùú  éê2ùú ，故ë 3û2û ë 5 û  ë1×132×5û從而由 êé1ë 5 û       ë13ù é13ùúê úìx2，íA(2，3)為所求î y3，規(guī)律方法 求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求解在求逆矩陣時要重視(AB)1B1A1 性質(zhì)的應(yīng)用ú，é2【訓(xùn)練 2】 已知矩陣 Aêêë13ùú2û(1)求矩陣 A 的逆矩陣；ì2x3y10，(2)利用逆矩陣知識解方程組íîx2y30.ú，解(1)法一éa設(shè)逆矩陣為 A1êêëcbùúdûúêú，得í2b3d0，îab22cd01，é2則由êêë13ùéaúêúê2ûëcbù é1ú  êdû ë00ùú1ûì2a3c1，ú.ìa2，解得íb3，c2 1îd，é 2A1êë13ùú2 ûúêú，éa法二由公式知若 Aêêëcbù é2ú  êdû ë13ùú2ûì2x3y10，(2)已知方程組íîx2y30，ì2x3y1，可轉(zhuǎn)化為íîx2y3，ú，Xê ú，Bê  ú，且由(1)，é2即 AXB，其中 Aêêë13ù    éxù    é1ùú     ê ú     ê ú2û     ëyû     ë3û得 A1êêú.é 23ùúë12 û因此，由 AXB，同時左乘 A1，有úê  úê  ú.é 2A1AXA1Bêêë13ùé1ù é7ùúê ú  ê   ú2 ûë3û ë 5 ûìx7，即原方程組的解為íîy5.考點三求矩陣的特征值與特征向量ú對應(yīng)的線性變換把點 P(1,1)變成點 P(3,3)，é1【例 3】 已知 aR ，矩陣 Aêêëa2ùú1û求矩陣 A 的特征值以及每個特征值的一個特征向量ú   ê  úê   úê  ú，1û   ë1û ëa1û ë3ûé1解由題意êêëa2ù é1ù é 3 ù é3ùú ê ú  ê    ú  ê úf()ïïï(1)24(1)(3)，1ï得 a13，即 a2，矩陣 A 的特征多項式為ï12 ïïï 2令 f()0，所以矩陣 A 的特征值為 11，23.對于特征值 11，ìxy0，ìx1，解相應(yīng)的線性方程組 í得一個非零解íî2x2y0îy1.因此，êêú是矩陣 A 的屬于特征值  1 的一個特征向量；ë1û對于特征值 23，解相應(yīng)的線性方程組í規(guī)律方法  已知 Aêêé 1 ùú1ì2x2y0，î2x2y0ìx1，得一個非零解íîy1.é1ù因此，ê ú是矩陣 A 的屬于特征值 23 的一個特征向量ë1ûéabùú，求特征值和特征向量，其步驟為：úëcdûï(a)(1)令 f()ïï cb ïï(a)(d)bc0，求出特征值 ；(d)ïìï(a)xby0，(2)列方程組íïîcx(d)y0；(3)賦值法求特征向量，一般取 x1 或者 y1，寫出相應(yīng)的向量ú，求 M 的特征值及屬于各é 3【訓(xùn)練 3】 (2014· 揚州質(zhì)檢)已知矩陣 Mêêë1特征值的一個特征向量1ùú3 ûï3ïï3解由矩陣 M 的特征多項式 f()ïïï 11 ïï當(dāng) 12 時，由 Mê ú2ê ú，(3)210，解得 12，24，即為矩陣 M 的特征值éxù設(shè)矩陣 M 的特征向量為ê ú，ëyûéxùéxùëyûëyûìxy0，可得íîxy0.可令 x1，得 y1，1ê  ú是 M 的屬于 12 的特征向量當(dāng) 24 時，由 Mê ú4ê ú，  2êú是 M 的屬于 24 的特征向量é1ùë1ûéxùéxùëyûëyûìxy0，可得íîxy0，取 x1，得 y1，é1ùë1ûéa bù   éa bùé 1   ùú，則ê   úê  úêêëcdû   ëcdûë1ûë1û用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想求曲線在變換作用下的新方程【典例】 二階矩陣 M 對應(yīng)的變換 T 將點(1，1)與(2，1)分別變換成點(1，1)與(0，2)(1)求矩陣 M；(2)設(shè)直線 l 在變換 T 作用下得到了直線 m：xy4，求 l 的方程審題視點(1)變換前后的坐標(biāo)均已知，因此可以設(shè)出矩陣，用待定系數(shù)法求解(2)知道直線 l 在變換 T 作用下的直線 m，求原直線，可用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法é1ù解(1)設(shè) Mêú，úê0úêabúê2úéùéùéù，ëcdûë1ûë 2ûïïîc3，所以 Méêïïìab1，ì2ab0，所以í且íîîïcd1，ï2cd2，12ùú.ë34û解得ìa1，íb2，d4，(2)因為ê  ú éêúê úêêéxù1  2ùéxù éx2y  ùë yû ë3 4ûëyûë 3x4yûú且 m：xy4，ú所以(x2y)(3x4y)4，即 xy20，直線 l 的方程是 xy20.反思感悟(1)本題考查了求變換矩陣和在變換矩陣作用下的曲線方程問題，題目難度屬中檔題(2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的思想方法 .(3)本題的易錯點是計算錯誤和第(2)問中坐標(biāo)轉(zhuǎn)移的方向錯誤【自主體驗】(2014· 南京金陵中學(xué)月考)求曲線 2x22xy10 在矩陣 MN 對應(yīng)的 變換作ú，Në1ú.é1用下得到的曲線方程，其中 Mêêë00ùú2ûé  1êê0ùú1û2ûë1úêú.1û ë22ûé1解MNêêë00ùé 1úêúê0ù é 1 0ùú  ê ú設(shè) P(x，y)是曲線 2x22xy10 上任意一點，點 P 在矩陣 MN 對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c P(x，y)，0ùéxùúéêx  ùú，ë2x2yûéxùé1則êê úêëyûë2úêúê   ú2ûëyûy于是 xx，yx2，代入 2x22xy10，得 xy1.所以曲線 2x22xy10 在 MN 對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為 xy1.解析í              可寫成éêïîy5x6y，一、填空題éxùéxùé3x4yù1已知變換 T：ê úêúêú，則該變換矩陣為_ëyûëyûë5x6yûìïx3x4y，34ùéxùéxùúê úêú.ë56ûëyûëyûé34ù答案êúë56ûé32計算êë57ùé 2 ùúê   ú等于_8ûë1ûé3 7ùé 2   ùúéêë5 8ûë1û êë5×28ûë 2   ûé3×27ù1ù解析êúêú êú.úé1ù答案êúë 2 ûé53矩陣êë00ùú的逆矩陣為_1û0 ùé5 0ùé15，éê5  0ùú.ú的逆矩陣為êê5解析êúë0 1û      ë0 1û0 úúë 01ûé1ù答案êê5úë 01û則éêéêùú，éêéê  ú.ï(6)(3)180.解析f()ï3ïï6é3a ù4若矩陣 Aêú把直線 l：2xy70 變換成另一直線 l：9xy91ëb13û0，則 a_，b_.解析取 l 上兩點(0,7)和(3.5,0)，3a ùé0ù7a3a ùé3.5ù10.5ùúê úúêúëb13ûë7ûë91ûëb13ûë 0 ûë3.5bû由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在 l上，代入得 a0，b1.答案01é63ù5矩陣 Mêú的特征值為_ë63ûï63ïïï0 或 3.答案0 或 3é16已知矩陣 Mêë32ù é1ù é  0ùú，ê ú，ê  ú，則 M(24)_.ë2û4û            ë 3ûé2ùé 0  ùú ê  ú ，M(24)éêúêêë 12û ë 8û         ë3 4ûë8ûë4ûë26ûé2ù12ùé2ùé14ù解析24ê úêúêú.úé14ù答案êúë26ûú的作用下變換為曲線 C ，則 C  的方é17曲線 C1：x22y21 在矩陣 Mêêë02ùú 2         21û程為_解析設(shè) P(x，y)為曲線 C2 上任意一點，P(x，y)為曲線 x22y21 上與 P對應(yīng)的點，ìïxx2y，ïîyyé12ùé x ùé x ù則êúêúê ú，即íêúêúê úë01ûë yûë yûïìxx2y，íîïyy.1  úìïa2，解析設(shè) Aêêú，由ê   úê  úê  ú，得íïîc3.ìïb1，úê  ú3ê  úê  ú，得ïí      所以íïîcd3.ïîd0.因為 P是曲線 C1 上的點，所以 C2 的方程為(x2y)2y21.答案(x2y)2y21é21ùé41ù8已知矩陣 Aêú，Bêú，則滿足 AXB 的二階矩陣 X 為ë43ûë31û_解析由題意，得 A1AXB，XA1B.é9ù答案êê2úë 51ûé1ù9已知矩陣 A 將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值 3 的一個特征向量是êê ú，則ë1û矩陣 A 為_éabùéabùé1ùé2ùúêúê úê úëcdûëcdûë0ûë3ûéabùé1ùé1ùé3ùìab3，由êêúê úê úê úëcdûë1ûë1ûë3ûé21ù所以 Aêú.êúë30ûé2答案êêë31ùúú0û二、解答題10(2012· 江蘇卷)已知矩陣 A 的逆矩陣 A1錯誤!，求矩陣 A 的特征值解因為 AA1E，所以 A(A1)1.因為 A1錯誤!，所以 A(A1)1錯誤!，f()ïïï234.ï 2  1ï于是矩陣 A 的特征多項式為ï23 ïï令 f()0，解得 A 的特征值 11，24.ú，A 的一個特征值 2，其對應(yīng)的特征向量是 1ê  ú.é111已知矩陣 Aêë1aù                                     é2ùbû ë1ûï2560，得 12，23，當(dāng) 12 時，1ê  ú，當(dāng) 23 時，得 2ê  ú.由 m1n2，得í        解得 m3，n1.A5A5(312)3(A51)A523(511)2523×25ê  ú35ê  úê  ú.é7ù(1)求矩陣 A；(2)若向量 ê ú，計算 A5 的值ë4ûé12ù解(1)Aêú.ë14ûï12ï(2)矩陣 A 的特征多項式為 f()ïï14ïé2ùé1ùë1ûë1ûì2mn7，î mn4，é2ùé1ùé435ùë1ûë1ûë339ûéa12(2012· 福建卷)設(shè)曲線 2x22xyy21 在矩陣 Aêëb0ùú(a0)對應(yīng)的變換作1û用下得到的曲線為 x2y21.(1)求實數(shù) a，b 的值；(2)求 A2 的逆矩陣解(1)設(shè)曲線 2x22xyy21 上任意點 P(x，y)在矩陣 A 對應(yīng)的變換作用下的像是 P(x，y)éxùéa由êúêëyûëb0ùéxù é ax ù   ìxax，úê úê    ú，得í1ûëyû  ëbxyû   îybxy.又點 P(x，y)在 x2y21 上，所以 x2y21，即 a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21，ìa2b22，ìa1，ìa1，依題意得í解得í或íî2b2，îb1îb1.ìa1，因為 a0，所以íîb1.é10ùé10ùé10ùé10ù(2)由(1)知，Aêú，A2êúêúêú.ë11ûë11ûë11ûë21ûé11所以|A2|1，(A2)êë20ùú.1û