第三章 差分方程及其應(yīng)用在經(jīng)濟(jì)與管理及其它實(shí)際問題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)的。例如，銀行中的定期存款是按所設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計(jì)，國民收入按年統(tǒng)計(jì)，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計(jì)等等。這些量是變量，通常稱這類變量為離散型變量。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型成為離散型模型。對(duì)取值是離散化的經(jīng)濟(jì)變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。本章介紹差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，與微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常類似，可對(duì)照微分方程的知識(shí)學(xué)習(xí)本章內(nèi)容。§1 基本概念 線性差分方程解的基本定理一、 基本概念1、函數(shù)的差分對(duì)離散型變量，差分是一個(gè)重要概念。下面給出差分的定義。設(shè)自變量取離散的等間隔整數(shù)值：是的函數(shù)，記作。顯然，的取值是一個(gè)序列。當(dāng)自變量由改變到時(shí)，相應(yīng)的函值之差稱為函數(shù)在的一階差分，記作，即。由于函數(shù)的函數(shù)值是一個(gè)序列，按一階差分的定義，差分就是序列的相鄰值之差。當(dāng)函數(shù)的一階差分為正值時(shí)，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；當(dāng)一階差分為負(fù)值時(shí)，表明序列是減少的。例如：設(shè)某公司經(jīng)營一種商品，第月初的庫存量是，第月調(diào)進(jìn)和銷出這種商品的數(shù)量分別是和，則下月月初，即第月月初的庫存量應(yīng)是，若將上式寫作，則等式兩端就是相鄰兩月庫存量的改變量。若記，并將理解為庫存量是時(shí)間的函數(shù)，則稱上式為庫存量函數(shù)在時(shí)刻（此處以月為單位）的差分。按一階差分的定義方式，我們可以定義函數(shù)的高階差分。函數(shù)在的一階差分的差分為函數(shù)在的二階差分，記作，即 。依次定義函數(shù)在的三階差分為 。一般地，函數(shù)在的階差分定義為 。上式表明，函數(shù)在的階差分是該函數(shù)的個(gè)函數(shù)值，的線性組合。例1 設(shè)，求，。解 。 。2、 差分方程的基本概念先看例題。設(shè)是初始存款（時(shí)的存款），年利率，如以復(fù)利計(jì)息，試確定年末的本利和。在該問題中，如將時(shí)間（以年為單位）看作自變量，則本利和可看作是的函數(shù)：。這個(gè)函數(shù)是要求的未知函數(shù)。雖然不能立即寫出函數(shù)關(guān)系，但可以寫出相鄰兩個(gè)函數(shù)值之間的關(guān)系式， （1-1）如寫作函數(shù)在的差分的形式，則上式為， （1-2）由（1-1）式可算出年末的本利和為，。 （1-3）在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函數(shù)，所以這是一個(gè)函數(shù)方程；又由于在方程（1-1）中含有兩個(gè)未知函數(shù)的函數(shù)值和，在方程（1-2）中含有未知函數(shù)的差分，像這樣的函數(shù)方程稱為差分方程。在方程（1-2）中，僅含未知函數(shù)的函數(shù)值的一階差分，在方程（1-1）中，未知函數(shù)的下標(biāo)最大差數(shù)是，即，故方程（1-1）或方程（1-2）稱為一階差分方程。（1-3）式是在之間的函數(shù)關(guān)系式，就是要求的未知函數(shù)，它滿足差分方程（1-1）或（1-2），這個(gè)函數(shù)稱為差分方程的解。由上例題分析，差分方程的基本概念如下：含有自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)差分的函數(shù)方程，稱為差分方程。由于差分方程中必須含有未知函數(shù)的差分（自變量、未知函數(shù)可以不顯含），因此差分方程也可稱為含有未知函數(shù)差分的函數(shù)方程。例如 就是一個(gè)差分方程，按函數(shù)差分定義，任意階的差分都可以表示為函數(shù)在不同點(diǎn)的函數(shù)值的線性組合，因此上差分方程又可分別表示為。正因如此，差分方程又可定義為含有自變量和多個(gè)點(diǎn)的未知函數(shù)值的函數(shù)方程稱為差分方程。差分方程中實(shí)際所含差分的最高階數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)?；蛘哒f，差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上方程為二階差分方程。階差分方程的一般形式可表示為， （1-4）或， （1-5）由于經(jīng)濟(jì)學(xué)中經(jīng)常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我們只討論由（1-5）式的差分方程。若把一個(gè)函數(shù)代入差分方程中，使其成為恒等式，則稱為差分方程的解。含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于差分方程的階數(shù)的解，稱為差分方程得通解；給任意常數(shù)以確定值的解，稱為差分方程得特解。用以確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件。一階差分方程的初始條件為一個(gè)，一般是（是常數(shù)）；二階差分方程的初始條件為兩個(gè)，一般是，（，是常數(shù)）；依次類推。二、線性差分方程解的基本定理現(xiàn)在我們來討論線性差分方程解的基本定理，將以二階線性差分方程為例，任意階線性差分方程都有類似結(jié)論。二階線性差分方程的一般形式， （1-6）其中，和均為的已知函數(shù)，且。若，則（1-6）式稱為二階非齊次線性差分方程；若，則（1-6）式稱為， （1-7）定理1 若函數(shù)，是二階齊次線性差分方程（1-7）的解，則，也該方程的解，其中、是任意常數(shù)。定理2(齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理) 若函數(shù)，是二階齊次線性差分方程（1-7）的線性無關(guān)特解，則是該方程的通解，其中、是任意常數(shù)。定理3（非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理） 若是二階非齊次線性差分方程（1-6）的一個(gè)特解，是齊次線性差分方程（1-7）的通解，則差分方程（1-6）的通解為。定理4 (解的疊加原理) 若函數(shù)，分別是二階非齊次線性差分方程與的特解，則是差分方程的特解。§2 一階常系數(shù)線性差分方程的迭代解法一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為， （2-1）其中常數(shù)，為的已知函數(shù)，當(dāng)不恒為零時(shí)，（2-1）式稱為一階非齊次差分方程；當(dāng)時(shí)，差分方程。 （2-2）稱為與一階非次線性差分方程對(duì)應(yīng)的一階齊次差分方程。下面給出差分方程（2-2）的迭代解法。一、求齊次差分方程的通解把方程（2-2）寫作，假設(shè)在初始時(shí)刻，即時(shí)，函數(shù)取任意常數(shù)。分別以代入上式，得最后一式就是齊次差分方程（2-2）的通解。特別地，當(dāng)時(shí)，齊次差分方程（2-2）的通解為，。二、求齊次線性差分方程的通解1、設(shè)為常數(shù)此時(shí)，非齊次差分方程（2-1）可寫作。分別以代入上式，得。 （2-3）若，則由（2-3）式用等比級(jí)數(shù)求和公式，得，或，其中為任意常數(shù)。若，則由（2-3）式，得，其中為任意常數(shù)。綜上討論，差分方程的通解為 （2-4）上述通解的表達(dá)式是兩項(xiàng)之和，其中第一項(xiàng)是齊次差分方程（2-2）的通解，第二項(xiàng)是非齊次差分方程（2-1）的一個(gè)特解。這里，當(dāng)時(shí)，由上式所確定的解序列的特性作兩點(diǎn)說明：例1 求解差分方程。解：由于，。由通解公式（2-4），差分方程的通解為，（為任意常數(shù)）。2、為一般情況此時(shí)，非齊次差分方程可寫作。分別以代入上式，得 （2-5）其中是任意常數(shù)。（2-5）式就是非齊次差分方程（2-1）的通解。其中第一項(xiàng)是齊次差分方程（2-2）的通解，第二項(xiàng)是非齊次線性差分方程（2-1）的一個(gè)特解。例1 求差分方程的通解。解 由于，。由通解式（2-5）得非齊次線性差分方程的特解，于是，所求通解為。其中為任意常數(shù)。§2 一階常系數(shù)線性差分方程一、一階常系數(shù)線性差分方程的解法一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為， （3-1）與一階非次線性差分方程對(duì)應(yīng)的一階齊次差分方程為。 （3-2） 1、求齊次線性差分方程的通解為了求出一階齊次差分方程（3-2）的通解，由上節(jié)定理2，只要求出其一非零的特解即可。注意到方程（3-2）的特點(diǎn)，是的常數(shù)倍，而函數(shù)恰滿足這個(gè)特點(diǎn)。不妨設(shè)方程有形如下式的特解，其中是非零待定常數(shù)。將其代入方程（3-2）中，有，即。由于，因此是方程（3-2）的解的充要條件是。所以時(shí)，一階齊次差分方程（2）的非零特解為。從而差分方程（3-2）通解為（為任意常數(shù)）。稱一次代數(shù)方程為差分方程（3-1）或（3-2）的特征方程；特征方程的根為特征根或特征值。由上述分析，為求出一階齊次差分方程（2）的通解，應(yīng)先寫出其特征方程，進(jìn)而求出特征根，寫出其特解；最后寫出其通解。2、求非齊次線性差分方程的特解和通解下面僅就函數(shù)為幾種常見形式用待定系數(shù)法求非齊次線性差分方程（3-1）的特解。根據(jù)的形式，按表1確定特解的形式，比較方程兩端的系數(shù)，可得到特解。表1：的形式確定待定特解的條件待定特解的形式 是次多項(xiàng)式不是特征根是次多項(xiàng)式是特征根令不是特征根是特征根說明：當(dāng)時(shí)，因和為已知，令，則可計(jì)算出。例1 求差分方程的通解。解：特征方程為，特征根。齊次差分方程的通解為。由于，不是特征根。因此設(shè)非齊次差分方程特解形式為。將其代入已知方程，有，解得，所以。于是，所求通解為，（為任意常數(shù)）。例2 求差分方程的通解。解：特征方程為，特征根。齊次差分方程的通解為。由于，是特征根。因此非齊次差分方程的特解為。將其代入已知差分方程得，比較該方程的兩端關(guān)于的同次冪的系數(shù)，可解得，。故。于是，所求通解為，（為任意常數(shù)）。例3 求差分方程的通解。解：已知方程改寫為，即。求解如下兩個(gè)方程， （3-3）， （3-4）對(duì)方程（3-3）：特征根，不是特征根，設(shè)特解為，將其代入方程（3-3）有，可解得，。故。對(duì)方程（3-4）：特征根，是特征根，設(shè)特解為。將其代入方程（3-4）解得。于是，。因此，齊次差分方程的通解為。所求通解為，（為任意常數(shù)）。例4 求差分方程的通解。解：因特征根，齊次差分方程的通解。，。令。因?yàn)椴皇翘卣鞲?，設(shè)特解。將其代入原方程有。 （3-5）因?yàn)?，將其代入?-5）式，并整理得。比較上式兩端的系數(shù)，解得，。故非齊次差分方程的特解。于是，所求通解為，（為任意常數(shù)）。§3 二階常系數(shù)齊次線性差分方程二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為， （3-6）其中，為已知常數(shù)，且，為已知函數(shù)。與方程（7）相對(duì)應(yīng)的二階齊次線性差分方程為。 （3-7）1、求齊次線性差分方程的通解為了求出二階齊次差分方程（3-7）的通解，首先要求出兩個(gè)線性無關(guān)的特解。與一階齊次差分方程同樣分析，設(shè)方程（3-7）有特解，其中是非零待定常數(shù)。將其代入方程（3-7）式有。因?yàn)椋允欠匠蹋?-7）的解的充要條件是 。 （3-8）稱二次代數(shù)方程（3-8）為差分方程（3-7）或（3-8）的特征方程，對(duì)應(yīng)的根稱為特征根。（1）、特征方程有相異實(shí)根與此時(shí)，齊次差分方程（3-7）有兩個(gè)特解和，且它們線性無關(guān)。于是，其通解為，（，為任意常數(shù)）。（2）、特征方程有同根這時(shí)，齊次差分方程（3-7）有一個(gè)特解，直接驗(yàn)證可知 也是齊次差分方程（3-7）的特解。顯然，與線性無關(guān)。于是，齊次差分方程（8）的通解為，（，為任意常數(shù)）。（3）、特征方程有共軛復(fù)根此時(shí)，直接驗(yàn)證可知，齊次差分方程（3-7）有兩個(gè)線性無關(guān)的特解， ，其中，由確定，。于是，齊次差分方程（3-7）的通解為，（，為任意常數(shù)）。例5 求差分方程的通解。解：特征方程是，特征根為二重根，于是，所求通解為，（，為任意常數(shù)）。例6 求差分方程滿足初值條件的特解。解：特征方程為，它有一對(duì)共軛復(fù)根。令，由，得。于是原方程的通解為。將初值條件代入上式解得，。于是所求特解為。§4 二階常系數(shù)非齊次線性差分方程求非齊次線性差分方程的特解和通解利用待定系數(shù)法可求出的幾種常見形式的非齊次差分方程（3-6）的特解。如表3 表3的形式確定待定特解的條件待定特解的形式 是次多項(xiàng)式不是特征根是次多項(xiàng)式是單特征根是2重特征根令不是特征根是單特征根是2重特征根例7 求差分方程的通解。解：特征根為，。，其中，。因是單根，故設(shè)特解為。將其代入差分方程得，即。解得，因此特解為。所求通解為，（，為任意常數(shù)）。例8 求差分方程的通解。解：特征根為。，其中，。因?yàn)槎馗瑧?yīng)設(shè)特解為。將其代入差分方程得，解得，特解為。通解為，（，為任意常數(shù)）。例9 求差分方程滿足初值條件，的特解。解: 特征根為。因?yàn)?，由，得。所以齊次差分方程的通解為。，其中，。因不是特征根，故設(shè)特解。將其代入差分方程得，從而。于是所求特解。因此原方程通解為。將分別代入上式，解得，。故所求特解為。§4 差分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、籌措教育經(jīng)費(fèi)模型某家庭從現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計(jì)劃20年后開始從投資帳戶中每月支取1000元，直到10年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金。要實(shí)現(xiàn)這個(gè)投資目標(biāo)，20年內(nèi)共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%。設(shè)第個(gè)月投資帳戶資金為元，每月存入資金為元。于是，20年后關(guān)于的差分方程模型為。 （4-1）并且。解方程（4-1），得通解，以及從而有。從現(xiàn)在到20年內(nèi)，滿足的差分方程為， （4-2）且。解方程（4-2），得通解，以及從而有。即要達(dá)到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金90 073.45元，平均每月要存入銀行194.95元。二、價(jià)格與庫存模型設(shè)為第個(gè)時(shí)段某類產(chǎn)品的價(jià)格，為第個(gè)時(shí)產(chǎn)品的庫存量，為該產(chǎn)品的合理庫存量。一般情況下，如果庫存量超過合理庫存，則該產(chǎn)品的價(jià)格下跌，如果庫存量低于合理庫存，則該產(chǎn)品的價(jià)格上漲，于是有方程 ， （4-3）其中為比例常數(shù)。由（4-3）式變形可得。 （4-4） 又設(shè)庫存量的改變與產(chǎn)品銷售狀態(tài)有關(guān)，且在第時(shí)段庫存增加量等于該時(shí)段的供求之差，即， （4-5）若設(shè)供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為，代入到（4-5）式得，再由（4-4）式得方程。 （4-6）設(shè)方程（4-6）的特解為，代入方程得，方程（4-6）對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為，解得，于是若，并設(shè)，則方程（4-6）的通解為。 若，則為兩個(gè)實(shí)根，方程（4-6）的通解為。由于，則當(dāng)時(shí)，將迅速變化，方程無穩(wěn)定解。因此，當(dāng)，即，亦即時(shí)，價(jià)格相對(duì)穩(wěn)定。其中為正常數(shù)。三、動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型在自由市場(chǎng)上你一定注意過這樣的現(xiàn)象：一個(gè)時(shí)期由于豬肉的上市量遠(yuǎn)大于需求量時(shí)，銷售不暢會(huì)導(dǎo)致價(jià)格下跌，農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它農(nóng)副產(chǎn)品。過一段時(shí)間豬肉上市量減少，供不應(yīng)求導(dǎo)致價(jià)格上漲，原來的飼養(yǎng)戶覺得有利可圖，又重操舊業(yè)，這樣下一個(gè)時(shí)期會(huì)重新出現(xiàn)供大于求價(jià)格下跌的局面。在沒有外界干預(yù)的條件下，這種現(xiàn)象將一直循環(huán)下去，在完全自由競爭的市場(chǎng)體系中，這種現(xiàn)象是永遠(yuǎn)不可避免的。由于商品的價(jià)格主要由需求關(guān)系來決定的，商品數(shù)量越多，意味需求量減少，因而價(jià)格越低。而下一個(gè)時(shí)期商品的數(shù)量是由生產(chǎn)者的供求關(guān)系決定，商品價(jià)格越低，生產(chǎn)的數(shù)量就越少。當(dāng)商品數(shù)量少到一定程度時(shí)，價(jià)格又出現(xiàn)反彈。這樣的需求和供給關(guān)系決定了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中價(jià)格和數(shù)量必然是振蕩的。有的商品這種振蕩的振幅越來越小，最后趨于平穩(wěn)，有的商品的振幅越來越大，最后導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)崩潰。圖1：蛛網(wǎng)模型圖現(xiàn)以豬肉價(jià)格的變化與需求和供給關(guān)系來研究上述振蕩現(xiàn)象。設(shè)第個(gè)時(shí)期（長度假定為一年）豬肉的產(chǎn)量為，價(jià)格為，產(chǎn)量與價(jià)格的關(guān)系為，本時(shí)期的價(jià)格又決定下一時(shí)期的產(chǎn)量，因此，。這種產(chǎn)銷關(guān)系可用下述過程來描述：，設(shè) ，。以產(chǎn)量和價(jià)格分別作為坐標(biāo)系的橫軸和縱軸，繪出圖1。這種關(guān)系很象一個(gè)蜘蛛網(wǎng)，故稱為蛛網(wǎng)模型。對(duì)于蛛網(wǎng)模型，假定商品本期的需求量決定于本期的價(jià)格，即需求函數(shù)為，商品本期產(chǎn)量決定于前一期的價(jià)格，即供給函數(shù)為。根據(jù)上述假設(shè)，蛛網(wǎng)模型可以用下述聯(lián)立方程式來表示，其中，均為常數(shù)且均大于零。蛛網(wǎng)模型分析了商品的產(chǎn)量和價(jià)格波動(dòng)的三種情況。現(xiàn)在只討論一種情形：供給曲線斜率的絕對(duì)值大于需求曲線斜率的絕對(duì)值。即當(dāng)市場(chǎng)由于受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實(shí)際價(jià)格和實(shí)際產(chǎn)量會(huì)圍繞均衡水平上下波動(dòng)，但波動(dòng)的幅度越來越小，最后會(huì)回復(fù)到原來的均衡點(diǎn)。圖2：收斂型蛛網(wǎng)假設(shè)，在第一期由于某種外在原因的干擾，如惡劣的氣候條件，實(shí)際產(chǎn)量由均衡水平減少為。根據(jù)需求曲線，消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格購買全部的產(chǎn)量，于是，實(shí)際價(jià)格上升為。根據(jù)第一期較高的價(jià)格水平，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部的產(chǎn)量，接受消費(fèi)者所愿意支付的價(jià)格，于是，實(shí)際價(jià)格下降為。根據(jù)第二期的較低的價(jià)格水平，生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為；在第三期，消費(fèi)者愿意支付的價(jià)格購買全部的產(chǎn)量，于是，實(shí)際價(jià)格又上升為。根據(jù)第三期較高的價(jià)格水平，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量增加為。如此循環(huán)下去（如圖2所示），實(shí)際產(chǎn)量和實(shí)際價(jià)格的波動(dòng)幅度越來越小，最后恢復(fù)到均衡點(diǎn)所代表的水平。 由此可見，圖2中的平衡點(diǎn)所代表的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。也就是說，由于外在的原因，當(dāng)價(jià)格和產(chǎn)量偏離平衡點(diǎn)后，經(jīng)濟(jì)制度中存在著自發(fā)的因素，能使價(jià)格和產(chǎn)量自動(dòng)地恢復(fù)均衡狀態(tài)。產(chǎn)量和價(jià)格的變化軌跡形成了一個(gè)蜘蛛網(wǎng)似的圖形，這就是蛛網(wǎng)模型名稱的由來。下面給出具體實(shí)例：據(jù)統(tǒng)計(jì)，某城市2001年的豬肉產(chǎn)量為30萬噸，價(jià)格為6.00元/公斤。2002年生產(chǎn)豬肉25萬噸，價(jià)格為8.00元/公斤。已知2003年的豬肉產(chǎn)量為25萬噸，若維持目前的消費(fèi)水平與生產(chǎn)方式，并假定豬肉產(chǎn)量與價(jià)格之間是線性關(guān)系。問若干年以后的產(chǎn)量與價(jià)格是否會(huì)趨于穩(wěn)定？若穩(wěn)定請(qǐng)求出穩(wěn)定的產(chǎn)量和價(jià)格。 設(shè)2001年豬肉的產(chǎn)量為，豬肉的價(jià)格為，2002年豬肉的產(chǎn)量為，豬肉的價(jià)格為，依此類推。根據(jù)線性假設(shè)，需求函數(shù)是一條直線，且和在直線上，因此得需求函數(shù)為， （4-7）供給函數(shù)也是一條直線，且和在直線上，因此得供給函數(shù)為， （4-8） 將（4-7）式代入到（4-8）式得關(guān)于的差分方程。 （4-9）利用迭代法解方程（4-9）。于是有，所以，從而，于是，（萬噸）。類似于上述推導(dǎo)過程，得到關(guān)于的表達(dá)式，于是，（元/公斤）。若干年以后的產(chǎn)量與價(jià)格都會(huì)趨于穩(wěn)定，其穩(wěn)定的產(chǎn)量為（萬噸），穩(wěn)定的價(jià)格為（元/公斤）。