《2019九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習(xí)題 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第二十四章 圓 小專題13 證明切線的兩種常用方法習(xí)題 新人教版（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 小專題?13 證明切線的兩種常用方法 類型?1 直線與圓有交點(diǎn) 直線過(guò)圓上某一點(diǎn)，證明直線是圓的切線時(shí)，只需“連半徑，證垂直，得切線”．“證垂 直”時(shí)通常利用圓中的關(guān)系得到?90°的角，如直徑所對(duì)的圓周角等于?90°等． 【例?1】 (山西中考改編)如圖，AB?為⊙O?的直徑，點(diǎn)?C?在⊙O?上，點(diǎn)?P?是直徑?AB?上的一點(diǎn)(不 與?A，B?重合)，過(guò)點(diǎn)?P?作?AB?的垂線交?BC?的延長(zhǎng)線于點(diǎn)?Q.在線段?PQ?上取一點(diǎn)?D，使?DQ＝DC，連 接?DC，試判斷?CD?與⊙O?的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

2、 解：CD?是⊙O?的切線． 理由：連接?OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB. 又∵DC＝DQ，∴∠Q＝∠DCQ. ∵PQ⊥AB，∴∠QPB＝90°. ∴∠B＋∠Q＝90°. ∴∠OCB＋∠DCQ＝90°. ∴∠DCO＝∠180°－(∠OCB＋∠DCQ)＝90°. ∴OC⊥DC. ∵OC?是⊙O?的半徑，∴CD?是⊙O?的切線． 1．(山西中考改編)如圖，四邊形?ABCD?是平行四邊形，以?AB?為直徑的⊙O?經(jīng)過(guò)點(diǎn)?D，E?是⊙O?上 一點(diǎn)，且∠AED＝45°.

3、試判斷?CD?與⊙O?的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由． 解：CD?與⊙O?相切． 1 理由：連接?OD， 則∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°， ∵四邊形?ABCD?是平行四邊形， ∴AB∥DC. ∴∠CDO＝∠AOD＝90°. ∴OD⊥CD. ∵OD?是⊙O?的半徑， ∴CD?與⊙O?相切． 2．(常德中考)如圖，已知⊙O?是△ABC?的外接圓，AD?是⊙O?的直徑，且?BD＝BC，延長(zhǎng)?AD?到點(diǎn)?E， 且有∠EBD＝∠CAB

4、.求證：BE?是⊙O?的切線． 證明：連接?OB，∵BD＝BC， ∴∠CAB＝∠BAD. ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD. ∵OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO. ∴∠EBD＝∠ABO. ∵AD?是⊙O?的直徑， ∴∠ABD＝90°. ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°. ∵點(diǎn)?B?在⊙O?上，且?OB?為⊙O?的半徑， ∴BE?是⊙O?的切線． ．如圖， ABC?中，AB＝AC，以?AB?為直徑的⊙O?交?BC?于?

5、E，D?為?AC?延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠DBC＝ 2 1 2  ∠CAB，求證：BD?是⊙O?的切線． 2 2 證明：連接?AE，∵AB?為⊙O?的直徑，∴∠AEB＝90°. 又∵AB＝AC， ∴AE?平分∠CAB. 1 ∴∠BAE＝?∠BAC， 1 ∵∠DBC＝?∠CAB， ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠BAE＋∠ABE＝90°， ∴∠DBC＋∠ABE＝90°，即∠ABD＝90°. ∴BD⊥OB.又?OB?為⊙O?

6、的半徑， ∴BD?是⊙O?的切線． 4．(永州中考改編如圖， ABC?是⊙O?的內(nèi)接三角形，AB?為直徑，過(guò)點(diǎn)?B?的切線與?AC?的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)?D，E?是?BD?中點(diǎn)，連接?CE.求證：CE?是⊙O?的切線． 2 證明：連接?CO，OE， ∵AB?為⊙O?的直徑， ∴∠ACB＝90°.∴∠BCD＝90°. ∵E?是?BD?中點(diǎn)， 1 ∴CE＝BE＝?BD. 又∵OC＝OB，OE＝OE， 3 ∴ COE≌ BOE.∴∠

7、OC＝∠OBE. ∵BD?為⊙O?的切線，∴∠OBE＝90°. ∴∠OCE＝90°.∴CE?是⊙O?的切線． 5．(麗水中考)如圖，AB?是以?BC?為直徑的半圓?O?的切線，D?為半圓上一點(diǎn)，AD＝AB，AD，BC?的 延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)?E. (1)求證：AD?是半圓?O?的切線； (2)連接?CD，求證：∠A＝2∠CDE. 證明：(1)連接?OD，BD， ∵AB?是⊙O?的切線， ∴AB⊥BC，即∠ABO＝90°. ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB. ∵OB＝OD，

8、 ∴∠DBO＝∠BDO. ∴∠ABD＋∠DBO＝∠ADB＋∠BDO. ∴∠ADO＝∠ABO＝90°. 又?OD?為⊙O?的半徑，∴AD?是半圓?O?的切線． (2)由(1)知，∠ADO＝∠ABO＝90°， ∴∠A＝360°－∠ADO－∠ABO－∠BOD ＝180°－∠BOD＝∠DOC. ∵AD?是半圓?O?的切線，∴∠ODE＝90°. ∴∠ODC＋∠CDE＝90°. ∵BC?是⊙O?的直徑，∴∠ODC＋∠BDO＝90°. ∴∠BDO＝∠CDE. ∵∠BDO＝∠OBD，∴∠DOC＝2∠BDO. 4

9、 ∴∠DOC＝2∠CDE. ∴∠A＝2∠CDE. 類型?2 不確定直線與圓是否有交點(diǎn) 直線與圓沒(méi)有已知的公共點(diǎn)時(shí)，通常“作垂直，證半徑，得切線”．證明垂線段的長(zhǎng)等于半徑 常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 【例?2】 (貴港中考改編如圖，在 ABC?中，AB＝AC，O?為?BC?的中點(diǎn)，AC?與半圓?O?相切于點(diǎn) D. (1)求證：AB?是半圓?O?所在圓的切線； (2)若∠ABC＝60°，AB＝12，求半圓?O?所在圓的半徑．

10、 2 解：(1)證明：連接?OD，OA，作?OE⊥AB?于點(diǎn)?E， ∵AB＝AC，O?為?BC?的中點(diǎn)， ∴∠CAO＝∠BAO. ∵OD⊥AC?于點(diǎn)?D，OE⊥AB?于點(diǎn)?E， ∴OD＝OE. ∵AB?經(jīng)過(guò)圓?O?半徑的外端， ∴AB?是半圓?O?所在圓的切線． (2)∵AB＝AC，∠ABC＝60°， ∴△ABC?是等邊三角形． ∴BC＝AB＝12. ∵點(diǎn)?O?為?BC?的中點(diǎn)，∴BO＝6. 由(1)可知∠BOE＝30°. 1 在?Rt△OBE?中，BE＝?BO＝3， OE＝?OB2－BE2＝3?3

11、. ∴半圓?O?所在圓的半徑為?3?3. 5 6．如圖，O?為正方形?ABCD?對(duì)角線?AC?上一點(diǎn)，以?O?為圓心，OA?長(zhǎng)為半徑的⊙O?與?BC?相切于點(diǎn)?M， 與?AB，AD?分別相交于點(diǎn)?E，F(xiàn).求證：CD?與⊙O?相切． 證明：連接?OM，過(guò)點(diǎn)?O?作?ON⊥CD?于點(diǎn)?N， ∵⊙O?與?BC?相切于點(diǎn)?M， ∴OM⊥BC. ∵正方形?ABCD?中，AC?平分∠BCD， 又∵ON⊥CD，OM⊥BC， ∴OM＝ON.又?ON

12、?為⊙O?的半徑， ∴CD?與⊙O?相切． 7．如圖，在?Rt△ABC?中，∠B＝90°，∠BAC?的平分線交?BC?于點(diǎn)?D，E?為?AB?上的一點(diǎn)，DE＝DC， 以?D?為圓心，DB?長(zhǎng)為半徑作⊙D，AB＝5，EB＝3. (1)求證：AC?是⊙D?的切線； (2)求線段?AC?的長(zhǎng)． 解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)?D?作?DF⊥AC?于點(diǎn)?F. ∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC. ∵AD?平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF. ∴點(diǎn)?F?在⊙D?上． ∴AC?是⊙D?的

13、切線． (2)在?Rt△BDE?和?Rt△FDC?中， 6 ∵BD＝FD，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL)． ∴EB＝CF. 在?Rt△ABD?和?Rt△AFD?中， ∵BD＝FD，AD＝AD， ∴Rt△ABD≌Rt△AFD(HL)． ∴AB＝AF. ∴AB＋EB＝AF＋CF，即?AB＋EB＝AC. ∴AC＝5＋3＝8. 7