《第八九章 拉丁方設(shè)計、裂區(qū)設(shè)計、正交設(shè)計教學(xué)內(nèi)容與組織安排》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第八九章 拉丁方設(shè)計、裂區(qū)設(shè)計、正交設(shè)計教學(xué)內(nèi)容與組織安排（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第八九章 拉丁方設(shè)計、裂區(qū)設(shè)計、正交設(shè)計教學(xué)內(nèi)容與組織安排 教學(xué)內(nèi)容與組織安排： 第四節(jié)：拉丁方設(shè)計(latin square design) “拉丁方”的名字最初是由R、A、Fisher給出的。拉丁方設(shè)計（latin square design）是從橫行和直列兩個方向進行雙重局部控制，使得橫行和直列兩向皆成單位組，是比隨機單位組設(shè)計多一個單位組的設(shè)計。在拉丁方設(shè)計中，每一行或每一列都成為一個完全單位組，而每一處理在每一行或每一列都只出現(xiàn)一次，也就是說，在拉丁方設(shè)計中，試驗處理數(shù)=橫行單位組數(shù)=直列單位組數(shù)=試驗處理的重復(fù)數(shù)。在對拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果進行統(tǒng)計

2、分析時，由于能將橫行、直列二個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來，因而拉丁方設(shè)計的試驗誤差比隨機單位組設(shè)計小，試驗精確性比隨機單位組設(shè)計高。 一、拉丁方簡介 （一）拉丁方 以n個拉丁字母A，B，C??，為元素，作一個n階方陣，若這n個拉丁方字母在這n階方陣的每一行、每一列都出現(xiàn)、且只出現(xiàn)一次，則稱該n階方陣為n×n階拉丁方。 例如： A B B A B A A B 為2×2階拉丁方，2×2階拉丁方只有這兩個。 A B C B C A C

3、 A B 為3×3階拉丁方。 第一行與第一列的拉丁字母按自然順序排列的拉丁方，叫標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方。3×3階標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方只有上面介紹的1種，4×4階標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方有4種，5×5階標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方有56種。若變換標(biāo)準(zhǔn)型的行或列，可得到更多種的拉丁方。在進行拉丁方設(shè)計時，可從上述多種拉丁方中隨機選擇一種；或選擇一種標(biāo)準(zhǔn)型，隨機改變其行列順序后再使用。 （二）常用拉丁方 在動物試驗中，最常用的有3×3，4×4，5×5，6×6階拉丁方。下面列出部分標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方，供進行拉丁方設(shè)計時選用。其余拉丁方可查閱數(shù)理統(tǒng)計表及有關(guān)參考書。 3×3 A B C （1

4、） A B C D 4 × 4 （2） （3） A B C D A B C D （4） A B C D B C A C A B B A D C C D B A D C A B B C D A C D A B D A B C 5 × 5 B D A C C A D B D C B A B A D C C D ABD C B A A B C D E （1） B C D A E C D A E E B A C D B E D B C A A B C D E （2） B C D A D E E B A

5、 C E B D A C E C D A B A B C D E （3） B C D A E C E D A C B E D A B E D B A C A B C D E （4） B C D A D E D E A E B C C A B E C B A D 6 × 6 A B C D E F B F D A C E C D E F A B D C F E B A 二、拉丁方設(shè)計方法 在畜牧、水產(chǎn)等動物試驗中，如果要控制來自兩個方面的系統(tǒng)誤差，且試驗動物的數(shù)量又較

6、少，則常采用拉丁方設(shè)計。下面結(jié)合具體例子說明拉丁方設(shè)計方法。 【例12.4】 為了研究5種不同溫度對蛋雞產(chǎn)蛋量的影響，將5棟雞舍的溫度設(shè)為A、B、C、D、E，把各棟雞舍的雞群的產(chǎn)蛋期分為5期，由于各雞群和產(chǎn)蛋期的不同對產(chǎn)蛋量有較大的影響，因此采用拉丁方設(shè)計，把雞群和產(chǎn)蛋期作為單位組設(shè)置，以便控制這兩個方面的系統(tǒng)誤差。拉丁方設(shè)計步驟如下： （一）選擇拉丁方 選擇拉丁方時應(yīng)根據(jù)試驗的處理數(shù)和橫行、直列單位組數(shù)先確定采用幾階拉丁方，再選擇標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方或非標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方。此例因試驗處理因素為溫度，處理數(shù)為5；將雞群作為直列單位組因素，直列單位組數(shù)為5；將產(chǎn)蛋期作為橫行單位組因素，橫行

7、單位組數(shù)亦為5，即試驗處理數(shù)、直列單位組數(shù)、橫行單位組數(shù)均為5，則應(yīng)選取5×5階拉丁方。本例選取前面列出的第2個5 × 5標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方，即： A B C D E B A D E C C E B A D D C E B A E D A C B （二）隨機排列 在選定拉丁方之后，如是非標(biāo)準(zhǔn)型時，則可直接按拉丁方中的字母安排試驗方案。若是標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方，還應(yīng)按下列要求對橫行、直列和試驗處理的順序進行隨機排列。 3×3標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方：直列隨機排列，再將第二和第三橫行隨機排列。 E

8、 A B C F D F E A B D C 4×4標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方：隨機選擇4個標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方中的一個，然后再將橫行、直列及處理都隨機排列。 下面對選定的5×5標(biāo)準(zhǔn)型拉丁方進行隨機排列。先從隨機數(shù)字表（Ⅰ）第22行、第8列97開始，向右連續(xù)抄錄3個5位數(shù)，抄錄時舍去“0”、“6以上的數(shù)”和重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)，抄錄的3個五位數(shù)字為：13542，41523，34521。然后將上面選定的5×5拉丁方的直列、橫行及處理按這3個五位數(shù)的順序重新隨機排列。 1、直列隨機 將拉丁方的各直列順序按13542順序重排。 2、橫行隨機 再將直列重排后的拉丁方的各橫行

9、按41523順序重排。 選擇拉丁方 1 A B 2 3 4 5 B C D E A D E C A D B A 1 2 3 4 5 1 直列隨機 3 5 4 2 A E A C E D B B D C E C B D A D E E A A 4 1 5 2 3 DAEB 橫行隨機 E A B C C E D B A B C D D C E A E

10、C E B D C E B C E D A C B B C D C B D A 3、把5種不同溫度按第三個5位數(shù)34521順序排列 即：A=3，B=4，C=5，D=2，E=1，也就是說，在拉丁方中的A表示第3種溫度，B表示第4種溫度等，依次類推。從而得出5×5拉丁方設(shè)計，如表12-8所示。 表12-8 5種不同溫度對雞產(chǎn)蛋量影響的拉丁方設(shè)計 雞 群 一 二 三 四 D（2） E（1） A（3） B（4） A（3） C（5） E（1） D（2） E（1） A（3） B（4） C（5） B（4） D（2） C（5） E（1）

11、C（5） B（4） D（2） A（3） 產(chǎn)蛋期 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 五 C（5） B（4） D（2） A（3） E（1） 注：括號內(nèi)的數(shù)字表示溫度的編號 由表12-8可以看出，第一雞群在第Ⅰ個產(chǎn)蛋期用第2種溫度，第二雞群在第Ⅰ個產(chǎn)蛋期用第1種溫度，等等。試驗應(yīng)嚴(yán)格按設(shè)計實施。 三、試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析 拉丁方設(shè)計試驗結(jié)果的分析，是將兩個單位組因素與試驗因素一起，按三因素試驗單獨觀測值的方差分析法進行，但應(yīng)假定3個因素之間不存在交互作用。將橫行單位組因素記為A，直列單位組因素記為B，處理因素記為C，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)與處

12、理數(shù)記為r，對拉丁方試驗結(jié)果進行方差分析的數(shù)學(xué)模型為： xij(k)????i??j??(k)??ij(k) （i=j=k=1，2，?，r） （12-3） 式中：μ為總平均數(shù)；?i為第i橫行單位組效應(yīng)；?j為第j直列單位組效應(yīng)，?(k) 為第k處理效應(yīng)。單位組效應(yīng)?i、?j通常是隨機的，處理效應(yīng)?(k)通常是固定的，且有 ?? k?1?(k)。 ?0；?ij(k)為隨機誤差，相互獨立，且都服從N（0，σ2） 注意：k不是獨立的下標(biāo)，因為i、j一經(jīng)確定，k亦隨之確定。

13、 平方和與自由度劃分式為： SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA+dfB+dfc+dfe （12-4） 【例12.4】的試驗結(jié)果如表12-9所示。 表12-9 5種不同溫度對母雞產(chǎn)蛋量影響試驗結(jié)果 （單位：個） 雞 群 產(chǎn)蛋期 橫行和xi. 一 二 三 四 五 Ⅰ D（23） E（21） A（24） B（21） C（19） 108 Ⅱ A（22） C（20） E（20） D（21） B（22） 105 Ⅲ E（20） A（25） B（26） C

14、（22） D（23） 116 Ⅳ B（25） D（22） C（25） E（21） A（23） 116 Ⅴ C（19） B（20） D（24） A（22） E（19） 104 直列和109 108 119 107 106 x..=549 x.j 注：括號內(nèi)數(shù)字為產(chǎn)蛋量 溫度 A 表12-10 各種溫度（處理）的合計 B C D E x（k） 116 114 23.2 22.8 現(xiàn)對表12-9資料進行方差分析。 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C=x2../r=549/5=12056.04 222105 21.0 1

15、13 22.6 101 20.2 總平方和 SST =Σx 2ij(k)-C=232+212+??+192-12056.04= 12157-12056.04=100.96 橫行平方和 SS A =Σx 2i./r- C =(1082+1052+??+1042)/5-12056.04=27.36 直列平方和 SS B =Σx 2.j/ r - C =(1092+1082+??+1062)/5-12056.04=22.16 處理平方和 SSC =Σx 2(K)/ r - C =(1162+1142+??+1012)/5-12056.04=3

16、3.36 誤差平方和 SS e= SS T- SS A- SS B- SS c=100.96-33.36-27.36-22.16= 18.08 總自由度 dfT= r 2-1=52-1=24 橫行自由度 dfA= r-1=5-1=4 直列自由度 dfB= r-1=5-1=4 處理自由度 dfC= r-1=5-1=4 誤差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=(r-1)( r-2)=(5-1)(5-2)=12 2、列出方差分析表，進行F檢驗 表12-11 表12-9

17、資料的方差分析表 變異來源 SS df MS F F0.05 F0.01 橫行間 27.36 4 6.84 4.56* 3.26 5.41 直列間 22.16 4 5.54 3.69* 3.26 5.41 溫度間 33.36 4 8.34 5.56** 3.26 5.41 誤 差 18.08 12 1.50 總變異 100.96 24 經(jīng)F檢驗，產(chǎn)蛋期間和雞群間差異顯著,溫度間差異極顯著。因在拉丁方設(shè)計中，橫行、直列單位組因素是為了控制和降低試驗誤差而設(shè)置的非試驗因素，所以即使顯著一般也不對單位組間進行多重比較。下面對不同溫度平均產(chǎn)蛋量間作進行多重比較。 3

18、、多重比較 列出多重比較表，見表12-12。 表12-12 不同溫度平均產(chǎn)蛋量多重比較表（q法） 溫度 A B D C E 溫度平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤為: 平均數(shù) 23.2 22.8 22.6 21.0 20.2 -20.2 3.0* 2.6* 2.4* 0.8 -21 2.2 1.8 1.6 -22.6 0.6 0.2 -22.8 0.4 S?MSen?.?0.55 由dfe=12和k=2，3，4，5從q值表查得臨界q值：q0.05和q0.01,并與S

19、相乘得LSR?值，列于表12-13。 表12-13 q值和LSR值表 dfe k 2 12 多重比較結(jié)果表明：溫度A、B、D平均產(chǎn)蛋量顯著地高于E，即第3、4、2種溫度的平均產(chǎn)蛋量顯著高于第1種溫度的平均產(chǎn)蛋量，其余之間差異不顯著。第1種和第5種溫度平均產(chǎn)蛋量最低。 四、拉丁方設(shè)計的優(yōu)缺點 （一）拉丁方設(shè)計的主要優(yōu)點 1、精確性高 拉丁方設(shè)計在不增加試驗單位的情況下，比隨機單位組設(shè)計多設(shè)置了一個單位組因素，能將橫行和直列兩個單位組間的變異從試驗誤差中分離出來，因而試驗誤差比隨機單位組設(shè)計小，試驗的精確性比隨機單位組設(shè)計高

20、。 2、試驗結(jié)果的分析簡便 3 4 5 q0.05 3.08 3.77 4.20 4.51 q0.01 4.32 5.04 5.50 5.84 LSR0.05 1.69 2.07 2.31 2.48 LSR 0.01 2.38 2.77 3.03 3.21 （二）拉丁方設(shè)計的主要缺點 因為在拉丁設(shè)計中，橫行單位組數(shù)、直列單位組數(shù)、試驗處理數(shù)與試驗處理的重復(fù)數(shù)必須相等，所以處理數(shù)受到一定限制。若處理數(shù)少，則重復(fù)數(shù)也少，估計試驗誤差的自由度就小，影響檢驗的靈敏度；若處理數(shù)多，則重復(fù)數(shù)也多，橫行、直列單位組數(shù)也多，導(dǎo)致試驗工作量

21、大，且同一單位組內(nèi)試驗動物的初始條件亦難控制一致。因此，拉丁方設(shè)計一般用于5-8個處理的試驗。在采用4個以下處理的拉丁方設(shè)計時，為了使估計誤差的自由度不少于12，可采用“復(fù)拉丁方設(shè)計”，即同一個拉丁方試驗重復(fù)進行數(shù)次，并將試驗數(shù)據(jù)合并分析，以增加誤差項的自由度。 應(yīng)當(dāng)注意，在進行拉丁方試驗時，某些單位組因素，如奶牛的泌乳階段，試驗因素的各處理要逐個地在不同階段實施，如果前一階段有殘效，在后一階段的試驗中，就會產(chǎn)生系統(tǒng)誤差而影響試驗的準(zhǔn)確性。此時應(yīng)根據(jù)實際情況，安排適當(dāng)?shù)脑囼為g歇期以消除殘效。另外，還要注意，橫行、直列單位組因素與試驗因素間不存在交互作用，否則不能采用拉丁方設(shè)計。

22、 第五節(jié)：裂區(qū)設(shè)計及其統(tǒng)計方法 一裂區(qū)設(shè)計 裂區(qū)設(shè)計是多因素試驗的一種形式。 裂區(qū)設(shè)計是先將每一區(qū)按第一因素的處理數(shù)劃分為小區(qū)，稱為主區(qū)（整區(qū)），在主區(qū)里隨機安排主處理。 在主區(qū)內(nèi)引進第二個因素的各個處理（副處理），就是主處理的小區(qū)內(nèi)分設(shè)與副處理相等的更小的小區(qū)，稱為副區(qū)（裂區(qū)），在副區(qū)里隨機排列副處理。在這種試驗處理中，從第二個因素來講，主區(qū)就是一個區(qū)組;從整個試驗所有處理組合講，主區(qū)又是一個不完全區(qū)組。 這種設(shè)計將主區(qū)分裂為副區(qū)，稱為裂區(qū)設(shè)計。 主處理分設(shè)在主區(qū)，副處理分設(shè)于主區(qū)內(nèi)的副區(qū)，副區(qū)之間比主區(qū)之間的試驗空間更為接近。

23、 在進行統(tǒng)計分析時，可分別估算主區(qū)與副區(qū)的試驗誤差，而副區(qū)的試驗誤差小于前者，即副區(qū)的比較比主區(qū)的比較更為精確。 裂區(qū)設(shè)計應(yīng)用情況； 1在一個因素的各處理比另一個因素的各處理需要更大區(qū)域時。需要較大區(qū)域的因素作為主處理，設(shè)在主區(qū)，需要較小區(qū)域的因素作為副處理，設(shè)在副區(qū) 2試驗中某一因素的主效比另一因素的主效更為重要，而且要求的精度較高。將要求精度較高的因素作為副處理，另一因素作為主處理。 3根據(jù)以往的研究，知道某些因素的效應(yīng)比另一些因素的效應(yīng)更大時也適于采用裂區(qū)設(shè)計。將可能表現(xiàn)較大差異的因素作為主處理 4試驗設(shè)計需要臨時改動再加入一個試驗因素。

24、可在原設(shè)計中的小區(qū)（主區(qū)）中再劃分小區(qū)（副區(qū)），增加一個試驗因素，就成了裂區(qū)設(shè)計。 二統(tǒng)計分析 A1 A2 A3 Aa B1 B2 B3 … Bb B1 B2 B3 … Bb B1 B2 B3 … Bb B1 B2 B3 … Bb A因素a個水平、B因素b個水平、 r個區(qū)組共rab 觀測值。 變異原因 自由度 主區(qū)部分； 區(qū)組 r--1 A因素 a-1 誤差A(yù) (a-1)(r-1) 總變異 ar-1

25、 副區(qū)部分 B因素 b-1 A*B互作 (a-1)(b-1) 誤差B A(b-1)(r-1) 總變異 Abr-1 以后各步同隨機區(qū)組設(shè)計的方差分析。略 第六節(jié) 正交設(shè)計 在動物試驗研究中，對于單因素或兩因素試驗，因其因素少，試驗的設(shè)計、實施與分析都比較簡單。但在實際工作中，常常需要同時考察3個或3個以上的試驗因素，若進行全面試驗，則試驗的規(guī)模將很大，往往因試驗條件的限制而難于實施。正交設(shè)計就是安排多因素試驗、尋求最優(yōu)水平組合的一種高效率試驗設(shè)計方法。 一、正交設(shè)計的概念及原理 (一) 正交設(shè)計的基本概念 正交

26、設(shè)計是利用正交表來安排與分析多因素試驗的一種設(shè)計方法。它利用從試驗的全部水平組合中，挑選部分有代表性的水平組合進行試驗，通過對這部分試驗結(jié)果的分析了解全面試驗的情況，找出最優(yōu)的水平組合。 例如，影響某品種雞的生產(chǎn)性能有3個因素：A因素是飼料配方，分A1、A2、A3 3個水平；B因素是光照，分B1、B2、B3 3個水平；C因素是溫度，分C1、C2、C3 3個水平。這是一個3因素3水平的試驗，各因素的水平之間全部可能的組合有27種。如果試驗方案包含各因素的全部水平組合，即進行全面試驗，可以分析各因素的效應(yīng)，交互作用，也可選出最優(yōu)水平組合。這是全面試驗的優(yōu)點。但全面試驗包含的水平組合數(shù)較多

27、，工作量大，由于受試驗場地、試驗動物、經(jīng)費等限制而難于實施。若試驗的目的主要是尋求最優(yōu)水平組合，則可利用正交設(shè)計來安排試驗。正交設(shè)計的基本特點是：用部分試驗來代替全面試驗，通過對部分試驗結(jié)果的分析，了解全面試驗的情況。正因為正交試驗是用部分試驗來代替全面試驗，它不可能像全面試驗?zāi)菢訉Ω饕蛩匦?yīng)、交互作用一一分析；當(dāng)交互作用存在時，有可能出現(xiàn)交互作用的混雜。雖然正交設(shè)計有上述不足，但它能通過部分試驗找到最優(yōu)水平組合，因而很受實際工作者青睞。 如對于上述3因素3水平試驗，若不考慮交互作用，可利用正交表L9(34)安排，試驗方案僅包含9個水平組合，就能反映試驗方案包含27個水平組合的全面試

28、驗的情況，找出最佳的生產(chǎn)條件。 (二) 正交設(shè)計的基本原理 在試驗安排中，每個因素在研究的范圍內(nèi)選幾個水平，就好比在選優(yōu)區(qū)內(nèi)打上網(wǎng)格，如果網(wǎng)上的每個點都做試驗，就是全面試驗。如上例中，3個因素的選優(yōu)區(qū)可以用一個立方體表示(圖12-2)，3個因素各取3個水平，把立方體劃分成27個格點，反映在圖12-2上就是立方體內(nèi)的27個“.”。若27個網(wǎng)格點都試驗，就是全面試驗，其試驗方案如表12-20所示。 表12-20 3因素3水平全面試驗方案 A1 B1 B2 B3 B1 B2 B3 B1 B2 B3 C1 A1B1C1 A1B2C1 A1

29、B3C1 A2B1C1 A2B2C1 A2B3C1 A3B1C1 A3B2C1 A3B3C1 C2 A1B1C2 A1B2C2 A1B3C2 A2B1C2 A2B2C2 A2B3C2 A3B1C2 A3B2C2 A3B3C2 C3 A1B1C3 A1B2C3 A1B3C3 A2B1C3 A2B2C3 A2B3C3 A3B1C3 A3B2C3 A3B3C3 A2 A3 圖12-2 3因素3水平試驗的均衡分散立體圖 3因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為33=27，4因素3水平的全面試驗水平組合數(shù)為34=81，5因素3水平的全面試驗水平組合

30、數(shù)為35=243，這在動物試驗中是不可能做到的。正交設(shè)計就是從選優(yōu)區(qū)全面試驗點（水平組合）中挑選出有代表性的部分試驗點（水平組合）來進行試驗。圖12-2中標(biāo)有試驗號的九個“⊙”，就是利用正交表L9(34)從27個試驗點中挑選出來的9個試驗點。即： (1)A1B1C1 (2)A2B1C2 (3)A3B1C3 (4)A1B2C2 (5)A2B2C3 (6)A3B2C1 (7)A1B3C3 (8)A2B3C1 (9)A3B3C2 上述選擇，保證了A因素的每個水平與B因素、C因素的各個水平在試驗中各搭

31、配一次。對于A、B、C 3個因素來說，是在27個全面試驗點中選擇9個試驗點，僅是全面試驗的三分之一。從圖12-2中可以看到，9個試驗點在選優(yōu)區(qū)中分布是均衡的，在立方體的每個平面上，都恰是3個試驗點；在立方體的每條線上也恰有一個試驗點。9個試驗點均衡地分布于整個立方體內(nèi)，有很強的代表性，能夠比較全面地反映選優(yōu)區(qū)內(nèi)的基本情況。 二、正交表及其特性 (一) 正交表 由于正交設(shè)計安排試驗和分析試驗結(jié)果都要用正交表，因此，我們先對正交表作一介紹。表12-21是一張正交表，記號為L8(27)，其中“L”代表正交表；L右下角的數(shù)字“8”表示有8行，用這張正交表安排試驗包含8個處理(水平

32、組合)；括號內(nèi)的底數(shù)“2”表示因素的水平數(shù)，括號內(nèi)2的指數(shù)“7”表示有7列，用這張正交表最多可以安排7個因素。 表12-21 L8(27)正交表 試驗號 1 2 3 4 5 6 7 8 列 號 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 4 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1 2 1 2 2 1 2 1 6 1 2 2 1 1 2 2 1 7 1 2 2 1 2 1 1 2 常用的正交表

33、已由數(shù)學(xué)工作者制定出來，供進行正交設(shè)計時選用。2水平正交表有L4(23)、L16(215)；3水平正交表有L9(34)、L27(213)??等（詳見附表14及有關(guān)參考書）。 (二) 正交表的特性 任何一張正交表都有如下兩個特性： 1、任一列中，不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如L8(27)中不同數(shù)字只有1和2，它們各出現(xiàn)4次；L9(34)中不同數(shù)字有1、2和3，它們各出現(xiàn)3次。 2、任兩列中，同一橫行所組成的數(shù)字對出現(xiàn)的次數(shù)相等 例如L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出現(xiàn)兩次；L9(34)中(1, 1), (1, 2), (

34、1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出現(xiàn)1次。即每個因素的一個水平與另一因素的各個水平互碰次數(shù)相等，表明任意兩列各個數(shù)字之間的搭配是均勻的。 根據(jù)以上兩個特性，我們用正交表安排的試驗，具有均衡分散和整齊可比的特點。所謂均衡分散，是指用正交表挑選出來的各因素水平組合在全部水平組合中的分布是均勻的。由圖12-2可以看出，在立方體中，任一平面內(nèi)都包含3個“⊙”，任一直線上都包含1個“⊙”，因此，這些點代表性強，能夠較好地反映全面試驗的情況。整齊可比是指每一個因素的各水平間具有可比性。因為正交表中每一因素的任一水平下都均

35、衡地包含著另外因素的各個水平，當(dāng)比較某因素不同水平時，其它因素的效應(yīng)都彼此抵消。如在A、B、C 3個因素中，A因素的3個水平A1、A2、A3條件下各有B、C的3個不同水平，即： A1 B1C1 B2C2 B3C3 A2 B1C2 B2C3 B3C1 A3 B1C3 B2C1 B3C2 在這9個水平組合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3個水平，雖然搭配方式不同，但B、C皆處于同等地位，當(dāng)比較A因素不同水平時，B因素不同水平的效應(yīng)相互抵消，C因素不同水平的效應(yīng)也相互抵消。所以A因素3個水平間具有可比性。同樣，B、C因素

36、 3個水平間亦具有可比性。 (三) 正交表的類別 1、相同水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字相同的正交表稱為相同水平正交表。如L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大數(shù)字為2，稱為兩水平正交表；L9(34)、L27(313)等各列中最大數(shù)字為3，稱為3水平正交表。 2、混合水平正交表 各列中出現(xiàn)的最大數(shù)字不完全相同的正交表稱為混合水平正交表。如L8(4×24)表中有一列最大數(shù)字為4，有4列最大數(shù)字為2。也就是說該表可以安排一個4水平因素和4個2水平因素。再如L16(44×23)，L16(4×1212)等都混合水平正交表。 三、正交設(shè)

37、計方法 【例12.7】 在進行礦物質(zhì)元素對架子豬補飼試驗中，考察補飼配方、用量、食鹽3個因素，每個因素都有3個水平。試安排一個正交試驗方案。 正交設(shè)計一般有以下幾個步驟： (一) 確定因素和水平 影響試驗結(jié)果的因素很多，我們不可能把所有影響因素通過一次試驗都予以研究，只能根據(jù)以往的經(jīng)驗，挑選和確定若干對試驗指標(biāo)影響最大、有較大經(jīng)濟意義而又了解不夠清楚的因素來研究。同時還應(yīng)根據(jù)實際經(jīng)驗和專業(yè)知識，定出各因素適宜的水平，列出因素水平表。【例12.7】的因素水平表如表12-22所示。 表12-22 架子豬補飼試驗因素水平表 因

38、 素 水 平 1 2 3 礦物質(zhì)元素補飼配方(A) 配方I(A1) 配方II(A2) 配方III(A3) 用 量(g)(B) 15(B1) 25(B2) 20(B3) 食 鹽(g)(C) 0(C1) 4(C2) 8(C3) (二) 選用合適的正交表 確定了因素及其水平后，根據(jù)因素、水平及需要考察的交互作用的多少來選擇合適的正交表。選用正交表的原則是：既要能安排下試驗的全部因素，又要使部分水平組合數(shù)（處理數(shù)）盡可能地少。一般情況下，試驗因素的水平數(shù)應(yīng)恰好等于正交表記號中括號內(nèi)的底數(shù)；因素的個數(shù)（包括交互作用）應(yīng)不大于正交

39、表記號中括號內(nèi)的指數(shù)；各因素及交互作用的自由度之和要小于所選正交表的總自由度，以便估計試驗誤差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所選正交表總自由度，則可采用有重復(fù)正交試驗來估計試驗誤差。 此例有3個3水平因素，若不考察交互作用，則各因素自由度之和為因素數(shù)個數(shù)×(水平數(shù)─1)=3(3-1)=6，小于L9(34)總自由度9-1=8，故可以選用L9(34)；若要考察交互作用，則應(yīng)選用L27(313)，此時所安排的試驗方案實際上是全面試驗方案。 (三) 表頭設(shè)計 正交表選好后，就可以進行表頭設(shè)計。所謂表頭設(shè)計，就是把挑選出的因素和要考察的交互作用分別排入正交表的表頭適當(dāng)?shù)牧猩稀?/p>

40、在不考察交互作用時，各因素可隨機安排在各列上；若考察交互作用，就應(yīng)按該正交表的交互作用列表安排各因素與交 互作用。此例不考察交互作用，可將礦物質(zhì)元素補飼配方(A)、用量(B)和食鹽(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列為空列，見表12-23。 表12-23 表頭設(shè)計 列 號 因 素 1 A 2 B 3 C 4 空 (四) 列出試驗方案 把正交表中安排各因素的每個列(不包含欲考察的交互作用列)中的每個數(shù)字依次換成該因素的實際水平，就得到一個正交試驗方案。表12-24就是[例12.4]

41、的正交試驗方案。 根據(jù)表12-24，1號試驗處理是A1B1C1，即配方I、用量15g、食鹽為0；2號試驗處理是A1B2C2，即配方II、用量25g、食鹽為4g，?；9號試驗處理為A3B3C2，即配方III、用量20g、食鹽4g。 表12-24 正交試驗方案 因 素 試 驗 號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 四、正交試驗結(jié)果的統(tǒng)計分析 根據(jù)各號試驗處理是單獨觀測值還是有重復(fù)觀測值，正交試驗可分為單獨觀測值正交試驗和有重復(fù)觀測值正交試驗兩種。若各號試驗處理都只有一個觀測值，則稱之為單獨觀測值正交試驗

42、；若各號試驗處理都有兩個或兩個以上觀測值，則稱之為有重復(fù)觀測值正交試驗。下面分別介紹單獨觀測值和有重復(fù)觀測正交試驗結(jié)果的方差分析。 (一) 單獨觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 對例【12.7】用L9(34)安排試驗方案后，各號試驗只進行一次，試驗結(jié)果(增重)列于表12-17。試對其進行方差分析。 該次試驗的9個觀測值總變異由A因素、B因素、C因素及誤差變異四部分組成，因而進行方差分析時平方和與自由度的劃分式為： SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA+dfB+dfC+dfe A

43、 1 1(配方I) 1(配方I) 1(配方I) 2(配方II) 2(配方II) 2(配方II) 3(配方III) 3(配方III) 3(配方III) B 2 1(15) 2(25) 3(20) 1(15) 2(25) 3(20) 1(15) 2(25) 3(20) C 3 1(0) 2(4) 3(8) 2(4) 3(8) 1(0) 3(8) 1(0) 2(4) 用n表示試驗(處理)號數(shù)；a、b、c表示A、B、C因素各水平重復(fù)數(shù)；ka、kb、kc表示A、B、C因素的水平數(shù)。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3。 表12-17 正交試驗結(jié)果

44、計算表 試驗號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T1 T2 12 3 A (1) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 197.2 200.3 66.7667 71.5333 因 素 B (2) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 199.1 208.6 69.5333 68.1333 C (3) 1 2 3 2 3 1 3 1 2 198.7 206.9 68.9667 68.8333 增重(kg) 63.4 (y1) 68.9 (y2) 64.9 (y3) 64.3 (y4) 70.2 (y5) 65.8 (y6)

45、71.4 (y7) 69.5 (y8) 73.7 (y9) 612.1(T) 表12-17中，Ti為各因素同一水平試驗指標(biāo)（增重）之和。如A因素第1水平T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2，A因素第2水平T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3，A因素第3水平T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；B因素第1水平T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4=199.1，??，B因素第3水平T3=y3+y6+y9=64.9+65.8+73.7=204.4。同理可求得C因素各水平試驗指標(biāo)之和。

46、為各因素同一水平試驗指標(biāo)的平均數(shù)。如A因素第1水平1=197.2/3=65.7333，A因素第2水平2=200.3/3=66.7667，A因素第3水平3=214.6/3=71.5333。同理可求得B、C因素各水平試驗指標(biāo)的平均數(shù)。 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C=T2/n=612.12/9=41629.6011 總平方和 SST=Σy2-C=63.42+68.92+?+73.72-41629.6011=101.2489 A因素平方和 SSA=ΣT2A/a-C=(197.22+200.32+214.62)/3-41629

47、.6011=57.4289 B因素平方和 SSB=ΣT2B/b-C=(199.12+208.62+204.42)/3-41629.6011=15.1089 C因素平方和 SSC=ΣT2C/c-C=(198.72+206.92+206.52)/3-41629.6011=14.2489 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC=101.2489-57.4289-15.1089-14.2489=14.4622 總自由度 dfT=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=ka-1=3-1=2 B因素自由度

48、dfB=kb-1=3-1=2 C因素自由度 dfC=kc-1=3-1=2 誤差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=2 2、列出方差分析表，進行F檢驗 配方(A) 57.4289 2 28.71 3.97ns 0.05(2, 2)19.00 食鹽(C) 誤差 總變異 14.2489 14.4622 101.25 2 2 8 7.12 7.23 <1 F檢驗結(jié)果表明，三個因素對增重的影響都不顯著。究其原因可能是本例試驗誤差大且誤差自由度小

49、(僅為2)，使檢驗的靈敏度低，從而掩蓋了考察因素的顯著性。由于各因素對增重影響都不顯著，不必再進行各因素水平間的多重比較。此時，可直觀地從表12-17中選擇平均數(shù)大的水平A3、B3、C2組合成最優(yōu)水平組合A3B3C2。 上述無重復(fù)正交試驗結(jié)果的方差分析，其誤差是由“空列”來估計的。然而“空列”并不空，實際上是被未考察的交互作用所占據(jù)。這種誤差既包含試驗誤差，也包含交互作用，稱為模型誤差。若交互作用不存在，用模型誤差估計試驗誤差是可行的；若因素間存在交互作用，則模型誤差會夸大試驗誤差，有可能掩蓋考察因素的顯著性。這時，試驗誤差應(yīng)通過重復(fù)試驗值來估計。所以，進行正交試驗最好能有二次以上的

50、重復(fù)。正交試驗的重復(fù)，可采用完全隨機或隨機單位組設(shè)計。 (二) 有重復(fù)觀測值正交試驗結(jié)果的方差分析 假定【例12.7】試驗重復(fù)了兩次，且重復(fù)采用隨機單位組設(shè)計，試驗結(jié)果列于表12-27。試對其進行方差分析。 用n表示試驗(處理)號數(shù)，r表示試驗處理的重復(fù)數(shù)。a、b、c、ka、kb、kc的意義同上。此例n=9、r=2、a=b=c=3、ka=kb=dc=3 表12-27 有重復(fù)觀測值正交試驗結(jié)果計算表 因 素 增 重 (kg) A B C 空 單位組 單位組I T

51、t (1) (2) (3) (4) II 1 1 1 1 63.4 67.4 130.8 1 2 2 2 68.9 87.2 156.1 1 3 3 3 64.9 66.3 131.2 2 1 2 3 64.3 86.3 150.6 2 2 3 1 70.2 88.5 158.7 2 3 1 2 65.8 66.6 132.4 3 1 3 2 71.4 89.0 160.4 3 2 1 3 69.5 91.2 160.7 3 3 2 1 73.7 92.8 166.5 1347.4(T 418.1 441.8 423.9 456 612.1 735.3

52、) 441.7 475.5 473.2 448.9 487.6 430.1 450.3 442.5 69.68 73.63 70.65 76.00 73.62 79.25 78.87 74.82 81.26 71.68 75.05 73.75 試驗號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T1 T2 T3 1 2 3 對于有重復(fù)、且重復(fù)采用隨機單位組設(shè)計的正交試驗，總變異可以劃分為處理間、單位組間和誤差變異三部分，而處理間變異可進一步劃分為A因素、B因素、C因素與模型誤差變異四部分。此時，平方和與自由度劃分式為：

53、 SST=SSt+SSr+SSe2 dfT=dft+dfr+dfe2 而 SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1 dft=dfA+dfB+dfC+dfe1 于是 SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2 (12-7) dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2 式中：SSr為單位組間平方和；SSe1為模型誤差平方和；SSe2為試驗誤差平方和

54、；SSt為處理間平方和；dfr、dfe1、dfe2 、dft為相應(yīng)自由度。 注意，對于重復(fù)采用完全隨機設(shè)計的正交試驗，在平方和與自由度劃分式中無SSr、dfr項。 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C=T2/rn=1347.42/2×9=100860.3756 總平方和 SST=Σy2-C=63.42+68.92+?+92.82-100860.3756=1978.5444 單位組間平方和 SSr=ΣT2r/n-C=(612.12+735.32)/9-100860.3756=843.2355 處理間平方

55、和 SSt=ΣT2t/r-C=(130.82+156.12+?+166.52)/2-100860.3756=819.6244 A因素平方和 SSA=ΣT2A/ar-C=(418.12+441.72+487.62)/3×2-100860.3756=416.3344 B因素平方和 SSB=ΣT2B/br-C=(411.82+475.52+430.12)/3×2-100860.3756=185.2077 C因素平方和 SSC=ΣT2C/cr-C=(423.92+473.22+450.32)/3×2-100860.3756=202.8811 模型

56、誤差平方和 SSe1=SSt-SSA-SSB-SSC=819.6244-416.3344-185.2077-202.8811=15.2012 試驗誤差平方和 SSe2=SST-SSr-SSt=1978.5444-843.2355-819.6244=315.6845 總自由度 dfT=rn-1=2×9-1=17 單位組自由度 dfr=r-1=2-1=1 處理自由度 dft=n-1=9-1=8 A因素自由度 dfA=a-1=3-1=2 B因素自由度 dfB=b-1=3-1=2 C因素自由度

57、dfC=c-1=3-1=2 模型誤差自由度 dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2-2=2 試驗誤差自由度 dfe2=dfT-dft=17-1-8=8 2、列出方差分析表，進行F檢驗 表12-8 有重復(fù)觀測值正交試驗結(jié)果方差分析表 變異來源 A B C 單位組 誤差(e1) 誤差(e2) 合并誤差 總 的 SS 416.3344 185.2077 202.8811 843.2355 15.2012 315.6845 330.8857 1978.5444 df 2 2 2 1 2 8 10

58、 17 MS 208.17 92.60 101.44 843.24 7.60 39.46 33.09 F 6.29* 2.80 3.07 25.48** F0.05 4.10 4.10 4.10 4.96 F0.01 7.55 7.55 7.55 10.01 首先檢驗MSe1與MSe2差異的顯著性，若經(jīng)F檢驗不顯著，則可將其平方和與自由度分別合并，計算出合并的誤差均方，進行F檢驗與多重比較，以提高分析的精度；若F檢驗顯著， 說明存在交互作用，二者不能合并，此時只能以MSe2進行F檢驗與多重比較。本例MSe1/ MSe2<1，MS

59、e1與MSe2差異不顯著，故將誤差平方和與自由度分別合并計算出合并的誤差均方MSe，即MSe=( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)=(15.2012+315.6845)/(2+8)=33.09，并用合并的誤差均方MSe進行F檢驗與多重比較。 F檢驗結(jié)果表明，礦物質(zhì)元素配方對架子豬增得有顯著影響，另外兩個因素作用不顯著；二個單位組間差異極顯著。 3、 A因素各水平平均數(shù)的多重比較 表12-9 A因素各水平平均數(shù)多重比較表(SSR法) 單位：kg A因素 A3 A2 A1 平均數(shù)i 81.26 73.62

60、69.68 i-69.68 11.58** 3.94 i-73.62 7.64* 因為，S?MSe/ar?.09/(3?2)?2.35 由dfe=10和k=2, 3, 查得SSR值并計算出LSR值列于表12-30。 表12-30 SSR值與LSR值表 dfe 10 k 2 SSR0.05 3.15 SSR0.01 4.48 LSR0.05 7.40 LSR0.01 10.53 多重比較結(jié)果表明：A因素A3水平的平均數(shù)顯著或極顯著地高于A2、A1；A2與A1間差異不顯著。 此例因模型誤差不顯著，可以認(rèn)為因素間不存在

61、顯著的交互作用?？捎葾、B、C因素的最優(yōu)水平組合成最優(yōu)水平組合。A因素的最優(yōu)水平為A3；因為B、C因素水平間差異均不顯著，故可任選一水平。如B、C因素選擇使增重達(dá)較高水平的B2及C2，則得最優(yōu)水平組合為A3B2C2，即配方III、用量25克、食鹽4克。 若模型誤差顯著，表明因素間交互作用顯著，則應(yīng)進一步試驗，以分析因素間的交互作用。 五、因素間有交互作用的正交設(shè)計與分析 在實際研究中，有時試驗因素之間存在交互作用。對于既考察因素主效應(yīng)又考察因素間交互作用的正交設(shè)計，除表頭設(shè)計和結(jié)果分析與前面介紹略有不同外，其它基本相同。 【例12.8】 某一種抗菌素的發(fā)

62、酵培養(yǎng)基由A、B、C 3種成分組成，各有兩個水平，除考察A、B、C三個因素的主效外，還考察A與B、B與C的交互作用。試安排一個正交試驗方案并進行結(jié)果分析。 (一) 選用正交表，作表頭設(shè)計 由于本試驗有3個兩水平的因素和兩個交互作用需要考察，各項自由度之和為：3×(2-1)+2×(2-1)×(2-1)=5，因此可選用L8(27)來安排試驗方案。 正交表L8(27)中有基本列和交互列之分，基本列就是各因素所占的列，交互列則為兩因素交互作用所占的列?？衫肔8(27)二列間交互作用列表(見表12-31)來安排各因素和交互作用。 表12-31 L8(27)二列間交互作

63、用列表 列號 1 2 3 4 5 6 1 (1) 2 3 (2) 3 2 1 (3) 4 5 6 7 (4) 5 4 7 6 1 (5) 6 7 4 5 2 3 (6) 7 6 5 4 3 2 1 如果將A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表12-31可知，第1列與第2列的交互作用列是第3列，于是將A與B的交互作用A×B放在第3列。這樣第3列不能再安排其它因素，以免出現(xiàn)“混雜”。然后將C放在第4列，查表12-31可知，B×C應(yīng)放在第6列，余下列為空列，如此可得表頭設(shè)計，見表12-32。

64、 表12-32 表頭設(shè)計 列號 1 2 3 4 5 6 7 (二) 列出試驗方案 根據(jù)表頭設(shè)計，將A、B、C各列對應(yīng)的數(shù)字“1”、“2”換成各因素的具體水平，得出試驗方案列于表12-33。 表12-33 正交試驗方案 試 驗 號 1 2 3 4 5 6 7 8 1(A) 1(A1) 1(A1) 1(A1) 1(A1) 2(A2) 2(A2) 2(A2) 2(A2) 因 素 2(B) 1(B1) 1(B1) 2(B2) 2(B2) 1(B1) 1(B1)

65、2(B2) 2(B2) 3(C) 1(C1) 2(C2) 1(C1) 2(C2) 1(C1) 2(C2) 1(C1) 2(C2) (三) 結(jié)果分析 按表12-33所列的試驗方案進行試驗，其結(jié)果見表12-34。 表中Ti、i計算方法同前。此例為單獨觀測值正交試驗，總變異劃分為A因素、B因素、C因素、A×B、B×C、與誤差變異5部分，平方和與自由度劃分式為： SST=SSA+SSB+SSC+SSA×B+SSB×C+SSe dfT=dfA+dfB+dfC+dfA×B+dfB×C+dfe

66、 (12-8) 1、計算各項平方和與自由度 矯正數(shù) C=T2/n=6652/8=55278.1250 總平方和 SST=Σy2-C=552+382+?+612-55278.1250=6742.8750 A因素平方和 SSA=ΣT2A/a-C=(2792+3862)/4-55278.1250=1431.1250 B因素平方和 SSB=ΣT2B/b-C=(3392+3262)/4-55278.1250=21.1250 C因素平方和 SSC=ΣT2C/c-C=(3532+3122)/4-55278.1250=210.1250 A×B平方和 SSA×B =ΣT2A×B /4-C=(2332+4322)/4-55278.1250=4950.1250 B×C平方和 SSB×C =ΣT2B×C /4-C=(3272+3382)/4-55278.1250=15.1250 誤差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSA