第二章 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)知識要點 任何分數(shù)化為小數(shù)只有兩種結果，或者是有限小數(shù)，或者是循環(huán)小數(shù)，而循環(huán)小數(shù)又分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)兩類。那么，什么樣的分數(shù)能化成有限小數(shù)，什么樣的分數(shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)呢？我們先看下面的分數(shù)。 (1)0.5，()0.12，()0.425； (2)，； (3)()，()，()。 結論：(1)中的分數(shù)都化成了有限小數(shù)，其分數(shù)的分母只含有質因數(shù)2和5，化成的有限小數(shù)的位數(shù)與分母中含有的2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同。如，因為4023×5，含有3個2，1個5，所以化成的有限小數(shù)有三位。 (2)中的分數(shù)都化成了純循環(huán)小數(shù)，其分數(shù)的分母沒有質因數(shù)2和5。 (3)中的分數(shù)都化成了混循環(huán)小數(shù)，其分數(shù)的分母中既含有質因數(shù)2或5，又含有2和5以外的質因數(shù)，化成的混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分的位數(shù)與分母中含有2與5中個數(shù)較多的個數(shù)相同。如，因為17552×7，含有2個5，所以化成混循環(huán)小數(shù)中的不循環(huán)部分有兩位。 于是我們得到一個最簡分數(shù)化為小數(shù)的三個結論： 1.如果分母只含有質因數(shù)2和5，那么這個分數(shù)一定能化成有限小數(shù)，并且小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)； 2.如果分母中只含有2與5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)一定能化成純循環(huán)小數(shù)； 3.如果分母中既含有質因數(shù)2或5，又含有2與5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)一定能化成混循環(huán)小數(shù)，并且不循環(huán)部分的位數(shù)等于分母中質因數(shù)2與5中個數(shù)較多的那個數(shù)的個數(shù)。典例巧解例1 判斷下列分數(shù)中，哪些能化成有限小數(shù)、純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？能化成有限小數(shù)的，小數(shù)部分有幾位？能化成混循環(huán)小數(shù)的，不循環(huán)部分有幾位？ 點撥 上述分數(shù)都是最簡分數(shù)，并且3225，213×7，2502×53，782×3×13，11732×13，8502×52×17，根據(jù)知識要點的結論可求解。解 能化成五位有限小數(shù)；能化成三位有限小數(shù)；，能化成純循環(huán)小數(shù)；能化成混循環(huán)小數(shù)，且不循環(huán)部分有一位；能化成混循環(huán)小數(shù)，且不循環(huán)部分有兩位。例2 將下列純循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)。 (1) (2)點撥 (1)純循環(huán)小數(shù)循環(huán)節(jié)是1位，可將循環(huán)小數(shù)乘以10，再減去此循環(huán)小數(shù)，可化為分數(shù)。 (2)純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)是3位的，可將循環(huán)小數(shù)乘以1000倍，再減去此循環(huán)小數(shù)，可化為分數(shù)。解 (1) ×10 得 ×(101)8 ×98 (2) ×1000 得 ×(10001)415 說明 從以上兩個例子可以總結出將純循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：分數(shù)的分子是一個循環(huán)節(jié)的數(shù)字組成的數(shù)，分母的各位數(shù)都是9，9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同。 例如：；例3 將下列混循環(huán)小數(shù)化成最簡分數(shù)。 (1) (2)點撥 (1)此題為混循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)有1位，小數(shù)點后有兩位。將此循環(huán)小數(shù)乘以100，減去此循環(huán)小數(shù)乘以10，問題可解。 (2)此題為混循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)有2位，小數(shù)點后有3位。將此循環(huán)小數(shù)乘以1000，減去此循環(huán)小數(shù)乘以10，問題可解。解 (1) ×100 ×10 得 ×(10010)35 (2) ×1000 ×10 得 ×(100010)453 ×990453 說明 此題可以總結出將混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法：分數(shù)的分子是小數(shù)點后面第一個數(shù)字到第一個循環(huán)節(jié)的末位數(shù)所組成的數(shù)減去不循環(huán)數(shù)字所組成的數(shù)所得的差；分母頭幾位數(shù)字是9，末幾個數(shù)字都是0，其中9的個數(shù)與循環(huán)節(jié)的位數(shù)相同，0的個數(shù)與不循環(huán)的部分的位數(shù)相同。 例如： ； ···例4 將算式×÷的計算結果，用循環(huán)小數(shù)表示出來。點撥 直接用循環(huán)小數(shù)作四則運算不方便，可將其先轉化為分數(shù)，然后再化為小數(shù)。解 ×÷ ×÷ 1 1.5 例5 1÷7所得的商，小數(shù)點后面第100位的數(shù)字是幾？點撥 先求出1÷7的商，找出商的循環(huán)節(jié)。再觀察循環(huán)節(jié)中有幾個數(shù)位，然后看100中有幾個循環(huán)節(jié)、余幾，余幾就是循環(huán)節(jié)的第幾個數(shù)字。解 1÷70.142857142857 循環(huán)節(jié)有6個數(shù)字，100÷6164。 由于余數(shù)是4，可知小數(shù)點后面第100位上的數(shù)字，居第16個周期后，即第17個周期的第4個數(shù)字8。 答：小數(shù)點后面第100位上的數(shù)是8。說明 在某些數(shù)學問題的計算中，經常也會出現(xiàn)周期現(xiàn)象，如果找到了周期，就可以使較難的問題轉化為較簡單的問題。例6 循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時，首次在該位的數(shù)字都是6？點撥 由于第一個小數(shù)是混循環(huán)小數(shù)，并且小數(shù)的循環(huán)節(jié)有7位，所以數(shù)字6出現(xiàn)的位數(shù)被7除余2；而第二個小數(shù)也是混循環(huán)小數(shù)，并且小數(shù)的循環(huán)節(jié)有6位，所以數(shù)字6出現(xiàn)的位數(shù)被6除余1。同時被7除余2且被6除余1的數(shù)，加上5以后就應該能同時被6和7整除。問題易解。解 若使循環(huán)小數(shù)與都同時出現(xiàn)“6”，則需同時被7除余2且被6除余1，加上5后能同時被6和7整除，則這樣的數(shù)最小的一個是： 6×7537 答：在小數(shù)點后第37位時，首次在該位的數(shù)字都是6。例7 化簡：。點撥 題目是繁分數(shù)化簡，可是分子、分母中又有循環(huán)小數(shù)，可以先將循環(huán)小數(shù)轉化為分數(shù)，然后化簡。解 例8 在循環(huán)小數(shù)中，移動表示循環(huán)節(jié)的小圓點，使得新的循環(huán)小數(shù)的第100位數(shù)字是5，新的循環(huán)小數(shù)是多少？點撥 在中，顯然后一個小圓點不能動，前一個小圓點的位置應使“5”被包含在循環(huán)節(jié)中，用枚舉法。如果前一個小圓點加在“5”的上面，那么一個循環(huán)節(jié)有3位數(shù)，(1004)÷332，第100位是7。同理可知，如果前一個小圓點加在“4”、“2”或“1”的上面，那么第100位都不是“5”。如果前一個小圓點加在“3”的上面，那么一個循環(huán)節(jié)有5位數(shù)，(1002)÷5193，第100位正好是5。解 由上面的分析可知正確的答案為。例9 給小數(shù)0.7082169453填上表示循環(huán)節(jié)的兩個點，使其變成循環(huán)小數(shù)。已知小數(shù)點后第100位上的數(shù)字是5，求這個循環(huán)小數(shù)。點撥 小數(shù)點后第100位是5，第101位就是3。從小數(shù)點后第11位到101位的91位是若干個完整的循環(huán)節(jié)，所以循環(huán)節(jié)位數(shù)應是91的約數(shù)，這個約數(shù)不應小于2，不大于10。由917×13，可以推知循環(huán)節(jié)位數(shù)是7。解 由上面的分析可知這個循環(huán)小數(shù)應是。例10 純循環(huán)小數(shù)寫成最簡分數(shù)時，分子與分母之和是58。請寫出這個循環(huán)小數(shù)。點撥 化為分數(shù)時是，當化為最簡分數(shù)時，因為分母大于分子，所以分母大于58÷229，即分母是大于29的兩位數(shù)。由9993×3×3×37，推知999大于29的兩位數(shù)約數(shù)只有37，所以分母是37，分子是583721。解 分母是37。 則分子為583721。 ， 這個循環(huán)小數(shù)是。解題技巧 循環(huán)小數(shù)與分數(shù)是小學數(shù)學的重要內容，也是數(shù)學競賽的重要內容之一。 在學習這部分內容時，必須要掌握純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)化成分數(shù)的方法(如例2、例3)，而且還要特別細心，不要輕視和馬虎。要根據(jù)實際情況，采取靈活有效的方法。競賽能級訓練A 級1.(第九屆“華羅庚金杯”邀請賽試題)計算×(結果用最簡分數(shù)表示)。2.(明心奧數(shù)思維能力競賽試題)設a，b，c，d，則a，b，c，d的平均數(shù)是( )。3.(重慶市思維競賽試題)( )。4.(江蘇省聯(lián)賽試題)1除以66的商，從小數(shù)點右邊開始的第1位到第100位的各個數(shù)位上的數(shù)字相加的和是( )。5.將下列分數(shù)化為循環(huán)小數(shù)，并求出小數(shù)點后第100位上的數(shù)字。(1) (2) (3) (4)6.在下列混合循環(huán)小數(shù)中，移動循環(huán)節(jié)的第一個圓點，使新產生的循環(huán)小數(shù)盡可能大。(1) (2) (3)7.小馬虎寫了下面一個錯誤的不等式。其實不等式是正確的，但是小馬虎把四個循環(huán)小數(shù)中表示循環(huán)節(jié)的循環(huán)點都寫丟了，請你幫他補上，使得不等式成立。0.19980.19980.19980.19988.在循環(huán)小數(shù)中，最少從小數(shù)點右側的第幾位開始到第幾位為止的數(shù)字和等于447？B 級1.純循環(huán)小數(shù)，這個最簡分數(shù)是( )。2.假定n是一個自然數(shù)，d是19中的一個數(shù)值，已知，求n。3.循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時，首次在該位的數(shù)字都是6？4.計算下列各題：(1)(2)5.對于每一個三位數(shù)，我們定義一個它的“生成數(shù)”。從下面的例子可以看出“生成數(shù)”的定義：123的“生成數(shù)”是，450的“生成數(shù)”是，600的“生成數(shù)”是6，以此類推，那么從100開始到999為止，所有三位數(shù)的“生成數(shù)”的和是( )。 能力測試一、選擇題(每題4分，共8分)1. 3.141717是( )。 A.純循環(huán)小數(shù) B.混循環(huán)小數(shù) C.無限小數(shù) D.有限小數(shù) 2.最小的合數(shù)除最小的質數(shù)，商是( )。 A.整數(shù) B.循環(huán)小數(shù) C.有限小數(shù) D.無限不循環(huán)小數(shù)二、填空題(每題3分，共12分) 1.比較0.6182，的大小 。 2. 。3. 如果分母中只含有2與5以外的質因數(shù)，那么這個分數(shù)一定能化成( )小數(shù)。 4.如果分母中只含有質因數(shù)2和5，那么這個分數(shù)一定能化成( )小數(shù)。三、解答題(共80分) 1.將下列循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)。(每題3分，共36分) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 2.計算下面各題(結果表示為分數(shù)和小數(shù)兩種形式)。(每題3分，共24分) (1) (2) (3)× (4)÷ (5) (6) (7)()× (8)()÷ 3.已知，問：最少從小數(shù)點右面第幾位開始，到第幾位為止的數(shù)字之和等于20007(5分) 4.把整數(shù)部分是0、循環(huán)節(jié)位數(shù)是3的純循環(huán)小數(shù)化成最簡真分數(shù)后，分母是一個兩位數(shù)。這樣的最簡真分數(shù)有多少個?(5分) 5.某人將乘一個數(shù)，誤把寫成2.46，結果與正確答案相差2.46。正確答案應是多少?(5分)6.循環(huán)小數(shù)與在小數(shù)點后第多少位時，首次在該位的數(shù)字都是3？7