第 8 講曲線與方程最新考綱1了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系2了解解析幾何的基本思想和利用坐標(biāo)法研究曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)3能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程.ìF1(x，y)0，知 識(shí) 梳 理1曲線與方程一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線 C 上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程 f(x，y)0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)那么這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線2求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)表示曲線上任意一點(diǎn) M 的坐標(biāo)(2)寫出適合條件 p 的點(diǎn) M 的集合 PM|p(M)(3)用坐標(biāo)表示條件 p(M)，列出方程 f(x，y)0，并化簡(jiǎn)(4)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上3曲線的交點(diǎn)設(shè)曲線 C1 的方程為 F1(x，y)0，曲線 C2 的方程為 F2(x，y)0，則 C1，C2 的交點(diǎn)坐標(biāo)即為方程組í的實(shí)數(shù)解îF2(x，y)0若此方程組無(wú)解，則兩曲線無(wú)交點(diǎn)辨 析 感 悟1曲線與方程的概念(1)f(x0，y0)0 是點(diǎn) P(x0，y0)在曲線 f(x，y)0 上的充要條件()(2)條件甲：“曲線 C 上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程 f(x，y)0 的解”，條件乙：“曲線 C 是方程 f(x，y)0 的圖形”，則條件甲是條件乙的充要條件 (×)(3)(教材習(xí)題改編)方程 y x與 xy2 表示同一曲線(×)(4)方程 x2xyx 的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線(×)(7)已知點(diǎn) Fç4，0÷，直線 l：x4，點(diǎn) B 是 l 上的動(dòng)點(diǎn)若過(guò)點(diǎn) B 垂直于 y 軸2求曲線的軌跡方程(5)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是 x2y2.(×)(6)兩條動(dòng)直線 yxb，y2xb(bR )交點(diǎn)的軌跡方程是 3x2y0.()æ1ö1èø的直線與線段 BF 的垂直平分線交于點(diǎn) M，則點(diǎn) M 的軌跡是拋物線()x2y2(8)(2014· 濟(jì)南質(zhì)檢)過(guò)橢圓a2b21(a>b>0)上任意一點(diǎn) M 作 x 軸的垂線，垂足為x24y2N，則線段 MN 中點(diǎn)的軌跡方程是a2 b2 1.()感悟· 提升1曲線與曲線的方程是兩個(gè)不同概念，曲線的方程需滿足兩個(gè)條件：一是曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是該方程的解；二是以該方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)如(2)錯(cuò)誤理解了曲線方程的含義2求軌跡方程，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，檢驗(yàn)應(yīng)從兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡(jiǎn)是否是同解變形；二是是否符合實(shí)際意義，注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性與純粹性”的影響.學(xué)生用書第 154 頁(yè)1考點(diǎn)一直接法求軌跡方程【例 1】 如圖所示，A(m， 3m)和 B(n， 3n)兩點(diǎn)分別在射線 OS，OT 上移動(dòng)， 且OA· OB2，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足OPOAOB.(1)求 mn 的值；(2)求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線？ 2 3 4mn， 解(1)由OA· OB(m， 3m)·(n， 3n)2mn.11得2mn2，mn4.(2)設(shè) P(x，y)(x>0)，由OPOAOB，得(x，y)(m， 3m)(n， 3n)(mn， 3m 3n)ìxmn，y2í整理得 xîy 3m 3n，1y2又 mn4，P 點(diǎn)的軌跡方程為 x2 3 1(x>0)y2它表示以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在 x 軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為 2，焦距為 4 的雙曲線 x2 3 1的右支ìïxmn，規(guī)律方法 (1)一是解本題第(2)時(shí)，根據(jù)íïîy 3m 3n，利用第(1)問(wèn)的結(jié)論消去 m，n 得到軌跡方程是解題的關(guān)鍵；二是求點(diǎn)的軌跡時(shí)，要明確題設(shè)的隱含條件，如本例中動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡只是雙曲線的右支(2)如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件就是一些與定點(diǎn)、定直線有關(guān)的幾何量的等量關(guān)系，而該等量關(guān)系又易于表達(dá)成含 x，y 的等式，可利用直接法求軌跡方程【訓(xùn)練 1】 (2013· 陜西卷選編)已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn) A(4,0)，且在 y 軸上截得弦 MN 的長(zhǎng)為 8.試求動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程解如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為 O1(x，y)，由題意，|O1A|O1M|，當(dāng) O1 不在 y 軸上時(shí)，過(guò) O1 作 O1HMN 交 MN 于 H，則 H 是 MN 的中點(diǎn)|O1M| x242，又|O1A| (x4)2y2， (x4)2y2 x242，化簡(jiǎn)得 y28x(x0)當(dāng) O1 在 y 軸上時(shí)，O1 與 O 重合，點(diǎn) O1 的坐標(biāo)(0,0)也滿足方程 y28x，動(dòng)圓圓心的軌跡 C 的方程為 y28x.考點(diǎn)二定義法(待定系數(shù)法)求軌跡方程【例 2】一動(dòng)圓與圓 x2y26x50 外切，同時(shí)與圓 x2y26x910 內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心 M 的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線解如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心為 M(x，y)，半徑為 R，設(shè)已知圓的圓心分別為 O1，O2，將圓的方程分別配方得(x3)2y24，(x3)2y2100，當(dāng)動(dòng)圓與圓 O1 相外切時(shí)，有|O1M|R2.當(dāng)動(dòng)圓與圓 O2 相內(nèi)切時(shí)，有|O2M|10R.將兩式相加，得|O1M|O2M|12>|O1O2|，動(dòng)圓圓心 M(x，y)到點(diǎn) O1(3,0)和 O2(3,0)的距離和是常數(shù) 12，所以點(diǎn) M 的軌跡是焦點(diǎn)為 O1(3,0)，O2(3,0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 12 的橢圓2c6,2a12，c3，a6，b236927，x2y2圓心軌跡方程為36271，軌跡為橢圓規(guī)律方法 求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可以直接根據(jù)定義先定軌跡類型，再寫出其方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法，其關(guān)鍵是準(zhǔn)確應(yīng)用解析幾何中有關(guān)曲線的定義【訓(xùn)練 2】 如圖所示，已知 C 為圓(x 2)2y24 的圓心，點(diǎn) A( 2，0)，P 是圓上的動(dòng)點(diǎn)，         點(diǎn) Q 在直線 CP 上，且MQ· AP0，AP2AM.當(dāng)點(diǎn)P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) Q 的軌跡方程解圓(x 2)2y24 的圓心為 C( 2，0)，半徑 r2， MQ· AP0，AP2AM，MQAP，點(diǎn) M 是線段 AP 的中點(diǎn)，即 MQ 是 AP 的中垂線，連接 AQ，則|AQ|QP|，|QC|QA|QC|QP|CP|r2，又|AC|2 2>2，根據(jù)雙曲線的定義，點(diǎn) Q 的軌跡是以 C( 2，0)，A( 2，0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 2 的雙曲線，由 c 2，a1，得 b21，因此點(diǎn) Q 的軌跡方程為 x2y21.學(xué)生用書第 155 頁(yè)考點(diǎn)三代入法(相關(guān)點(diǎn)法)求軌跡方程【例 3】 (2012· 遼寧卷)如圖，動(dòng)圓 C1：x2y2t2,1<t<3，與x2橢圓 C2： 9 y21相交于 A，B，C，D 四點(diǎn)，點(diǎn) A1，A2 分別為 C2 的左，右頂點(diǎn)(1)當(dāng) t 為何值時(shí)，矩形 ABCD 的面積取得最大值？并求出其最大面積(2)求直線 AA1 與直線 A2B 交點(diǎn) M 的軌跡方程審題路線(1)設(shè)出點(diǎn) A 的坐標(biāo)利用對(duì)稱性表示 S矩形 ABCD，并確定矩形 ABCD面積取得最大值的條件進(jìn)而求出 t 值(2)點(diǎn) M 受點(diǎn) A 的變化制約根據(jù)點(diǎn) A滿足的方程求出點(diǎn) M 的軌跡方程解(1)設(shè) A(x0，y0)，則 S矩形ABCD4|x0y0|，x20由 9 y021 得 y21  0，æx2ö1æ9ö9從而  x0  02y2x2ç1  0÷  çx2  ÷2  .x2090è9 ø9è 02ø49120當(dāng) x02，y22時(shí)，Smax6.2從而 t2x20y05，t 5，當(dāng) t 5時(shí)，矩形 ABCD 的面積取到最大值 6.x2(2)由橢圓 C2： 9 y21，知 A1(3,0)，A2(3,0)，直線 AA1 的方程為 y   (x3)y0x03y20x09又點(diǎn) A(x0，y0)在橢圓 C 上，故 y021  0.又曲線的對(duì)稱性及 A(x0，y0)，得 B(x0，y0)，設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為(x，y)，y0x03直線 A2B 的方程為 y(x3)由得 y2 2(x29)x29x2將代入得 9 y21(x<3，y<0)x2因此點(diǎn) M 的軌跡方程為 9 y21(x<3，y<0)規(guī)律方法 (1)一是本題的軌跡方程中，要求 x<3，y<0，所以求解時(shí)要結(jié)合幾何性質(zhì)和幾何圖形直觀細(xì)心發(fā)掘二是求解中充分運(yùn)用橢圓與圓的對(duì)稱性，以及方程的整體代入，避免繁瑣運(yùn)算，優(yōu)化解題過(guò)程(2)相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：形成軌跡的動(dòng)點(diǎn) P(x，y)隨另一動(dòng)點(diǎn) Q(x，y)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，而且動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將 x，y表示成關(guān)于 x，y 的式子，再代入 Q 的軌跡方程，求出動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡方程【訓(xùn)練 3】 如圖，設(shè) P 是圓 x2y225 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) D 是 P 在 x 軸上的投影，4M 為 PD 上一點(diǎn)，且|MD|5|PD|.(1)當(dāng) P 在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程；4(2)求過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線 l 被 C 所截線段的長(zhǎng)度解(1)設(shè) M 的坐標(biāo)為(x，y)，P 的坐標(biāo)為(xP，yP)，4因?yàn)辄c(diǎn) D 是 P 在 x 軸上投影 M 為 PD 上一點(diǎn)，且|MD|5|PD|，所以 xPx，且5yP4y，P 在圓 x2y225 上，æ5 ö2y÷ 25，整理得161，è4 øx2ç25251，化簡(jiǎn)得 x 3x80，x2y225x2y2即 C 的方程是25161.44(2)過(guò)點(diǎn)(3,0)且斜率為5的直線 l 的方程是 y5(x3)，4設(shè)此直線與 C 的交點(diǎn)為 A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線方程 y5(x3)代入 C 的方x2y2程25161 得：x2(x3)223 413 41x12，x22，ç125÷(x1x2)2所以線段 AB 的長(zhǎng)度是|AB|æ 16öè     ø41      4125×41 5 ，即所截線段41的長(zhǎng)度是 5 .1通過(guò)坐標(biāo)法，由已知條件求軌跡方程，通過(guò)對(duì)方程的研究，明確曲線的位置、形狀以及性質(zhì)是解析幾何的核心問(wèn)題2求軌跡方程的常用方法(1)直接法：直接利用條件建立 x，y 之間的關(guān)系 F(x，y)0.(2)待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程(3)定義法：先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程(4)代入(相關(guān)點(diǎn))法：動(dòng)點(diǎn) P(x，y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn) Q(x0，y0)的變化而運(yùn)動(dòng)，常利用代入法求動(dòng)點(diǎn) P(x，y)的軌跡方程教你審題 10設(shè)而不求、整體代換x2y2【典例】 (2013· 山東卷)橢圓 C：a2b21(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是 F1，F(xiàn)2，共點(diǎn)設(shè)直線 PF1，PF2 的斜率分別為 k1，k2，若 k0，試證明  為定三審結(jié)論：變?yōu)閗çk k ÷，把 k 與k k 均用 x0，y0 表示后可消去(2)m 的取值范圍是ç2，2÷(過(guò)程略)3離心率為 2 ，過(guò) F1 且垂直于 x 軸的直線被橢圓 C 截得的線段長(zhǎng)為 1.(1)求橢圓 C 的方程；(2)點(diǎn) P 是橢圓 C 上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接 PF1，PF2，設(shè)F1PF2 的角平分線 PM 交 C 的長(zhǎng)軸于點(diǎn) M(m,0)，求 m 的取值范圍；(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn) P 作斜率為 k 的直線 l，使得 l 與橢圓 C 有且只有一個(gè)公11kk1kk2值，并求出這個(gè)定值審題一審條件：可設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，寫出直線 l 的方程二審條件：聯(lián)立方程組消去 y 得關(guān)于 x 的一元二次方程，則 01æ 11 ö11è 12ø12x2解(1)橢圓 C 的方程為 4 y21(過(guò)程略)æ33öèø(3)設(shè) P(x0，y0)(y00)，則直線 l 的方程為 yy0k(xx0)聯(lián)立í  4 y 1，ìïx22整理得ïîyy k(xx )，又 4 y201，所以 16y20k28x0y0kx200，即(4y0kx0)20.故 k4y0 .由橢圓 C 可得 F1(   3，0)，F(xiàn)2(   3，0)，又 P(x0，y0)，所以k k   0 y   0 y y 0，所以kk kk kçk k ÷ç x 0÷· y 08.0022(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y02kx0y0k2x201)0.由題意，得 0，即(4x0)k22x0y0k1y200.x20x011x  3x  312002x0111æ 11 öæ4y ö 2xè  12øè0 ø120因此kk kk 為定值，這個(gè)定值為8.1112反思感悟 對(duì)題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù) (如設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)、動(dòng)直線方程等 )，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得定值【自主體驗(yàn)】x2y2(2013· 新課標(biāo)全國(guó)卷)已知橢圓 E：a2b21(a>b>0)的右焦點(diǎn)為 F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F 的直線交 E 于 A，B 兩點(diǎn)若 AB 的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則 E 的方程為()x2y2x2y2A.45361B.36271x2y2x2y2C.27181D.18 9 1解析設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，ìïx122y2121，則íabx  yïîa2b221，(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)得                          0，x1x2  a2(y y )01又 kAB  2，所以a22.a2b2又因?yàn)?#160;x1x22，y1y22，y1y2b2(x1x2)b2所以 kABa2.121b2131又 9c2a2b2，解得 b29，a218，x2y2所以橢圓 E 的方程為18 9 1.故選 D.答案D基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40 分鐘)一、選擇題1方程(xy)2(xy1)20 的曲線是()A一條直線和一條雙曲線B兩條直線C兩個(gè)點(diǎn)D4 條直線ìïxy0，解析由(xy)2(xy1)20 得íïîxy10，ïïìx1，ìx1，í或íîîïy1ïy1.即方程表示兩個(gè)點(diǎn)(1,1)和(1，1)答案C 2若 M，N 為兩個(gè)定點(diǎn)，且|MN|6，動(dòng)點(diǎn) P 滿足PM· PN0，則 P 點(diǎn)的軌跡是()A圓B橢圓C雙曲線D拋物線 解析PM· PN0，PMPN.點(diǎn) P 的軌跡是以線段 MN 為直徑的圓答案A3(2014· 珠海模擬)已知點(diǎn) A(1,0)，直線 l：y2x4，點(diǎn) R 是直線 l 上的一點(diǎn)，若RAAP，則點(diǎn) P 的軌跡方程為()Ay2xBy2xCy2x8Dy2x4解析設(shè) P(x，y)，R(x1，y1)，由RAAP知，點(diǎn) A 是線段 RP 的中點(diǎn)，ìxx 1，îyy 0，í 2211ìïx12x，即íïîy1y.點(diǎn) R(x1，y1)在直線 y2x4 上，y12x14，y2(2x)4，即 y2x.答案B4已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線 y24x 上，且動(dòng)圓恒與直線 x1 相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)()A(2,0)B(1,0)C(0,1)D(0，1)解析直線 x1 是拋物線 y24x 的準(zhǔn)線，由拋物線定義知，動(dòng)圓一定過(guò)拋物線的焦點(diǎn)(1,0)答案B5(2014· 廣州調(diào)研)如圖所示，一圓形紙片的圓心為 O，F(xiàn) 是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M 是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使 M 與 F 重合，然后抹平紙片，折痕為 CD，設(shè) CD 與 OM 交于點(diǎn) P，則點(diǎn) P 的軌跡是()A橢圓B雙曲線C拋物線D圓解析由條件知|PM|PF|.|PO|PF|PO|PM|OM|R>|OF|.P 點(diǎn)的軌跡是以 O，F(xiàn) 為焦點(diǎn)的橢圓答案Ayö6平面上有三個(gè)點(diǎn) A(2，y)，Bç0，2÷，C(x，y)，若ABBC，則動(dòng)點(diǎn) C 的軌yö解析ABç0，2÷(2，y)ç2，2÷，0，ç÷çx，  ÷，BC(x，y)22çx，2÷0，即 y28x.ç2，2÷·     æyö   yöæyö二、填空題æèø跡方程是_æèøèøæèøèø  ABBC，AB· BC0，æyö æyöèøèø動(dòng)點(diǎn) C 的軌跡方程為 y28x.答案y28x7已知兩定點(diǎn) A(2,0)，B(1,0)，如果動(dòng)點(diǎn) P 滿足條件|PA|2|PB|，則點(diǎn) P 的軌跡所包圍的圖形的面積等于_解析設(shè) P(x，y)，由|PA|2|PB|，得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，圓的面積 S×224.答案4ABC 的頂點(diǎn) A(5,0)，B(5,0)，ABC 的內(nèi)切圓圓心在直線 x3 上，則頂點(diǎn) C 的軌跡方程_解析如圖，|AD|AE|8，|BF|BE|2，|CD|CF|，所以|CA|CB|826<10.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以 A，B 為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為 6 的雙曲線的右支，方x2y2程為 9 161(x>3)x2y2答案9 161(x>3)三、解答題9設(shè)點(diǎn) P 是圓 x2y24 上任意一點(diǎn)，由點(diǎn) P 向 x 軸作垂線 PP0，垂足為 P0，3 且MP0 2 PP0.(1)求點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程；(2)若直線 l：yx1 與(1)中的軌跡 C 交于 A，B 兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|的值解(1)設(shè)點(diǎn) M(x，y)，P(x0，y0)，則由題意知 P0(x0,0)3 由MP0(x0x，y)，PP0(0，y0)，且MP0 2 PP0，3得(x0x，y) 2 (0，y0)于是 x0x 且 y0 23y，點(diǎn) M 的軌跡 C 的方程為      1.420又 x0y24，x23y24.x2y243(2)設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)ìïyx1，聯(lián)立íx2y2ïî 4  3 1，得 7x28x80，æ8ö2   2·   (x1x2)24x1x2   2·  ç7÷   7   7.(2)過(guò)點(diǎn)ç2，0÷作直線 l，與軌跡 C 交于 E，F(xiàn) 兩點(diǎn)，線段 EF 的中點(diǎn)為 M，求直88x1x27，且 x1x27.則|AB| (x1x2)2(y1y2)2 2|x2x1|3224èø310已知點(diǎn) A(2,0)，B(2,0)，P 是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線 PA，PB 斜率之積為4.(1)求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程；æ1öèø線 MA 的斜率 k 的取值范圍(2)依題意得，直線 l 過(guò)點(diǎn)ç2，0÷，且斜率不為零，故可設(shè)其方程為 xmy  .解(1)設(shè) P 點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，yy3   x2依題意得x2·4(x±2)，x2y2化簡(jiǎn)并整理得 4  3 1(x±2)x2y2動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程是 4  3 1(x±2)æ1öèø12ïîx2y212ìïxmy1由í43，消去 x 得x0my02 2y0    m3m24      x024m24當(dāng) m0 時(shí)，k  1綜合，直線 AM 的斜率 k 的取值范圍是ê8，8ú.4(3m24)y212my450，設(shè) E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，M(x0，y0)，y y3m3m，y0  1 222(3m24)y1y23m24，1，k，當(dāng) m0 時(shí)，k0，444 ，又|4mm|4|m|m|8，4mm1110<|k|8，8k8，且 k0，é11ùëû能力提升題組(建議用時(shí)：25 分鐘)一、選擇題A1設(shè)圓(x1)2y225 的圓心為 C， (1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q 為圓周上任一點(diǎn)線段 AQ 的垂直平分線與 CQ 的連線交于點(diǎn) M，則 M 的軌跡方程為()4x24y24x24y2A. 21  25 1B. 21  25 14x24y24x24y2C. 25  21 1D. 25  21 1解析M 為 AQ 垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|MQ|，|MC|MA|MC|MQ|521|CQ|5，故 M 的軌跡為橢圓，a2，c1，則 b2a2c2 4 ，4x24y2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 25  21 1.答案D2有一動(dòng)圓 P 恒過(guò)定點(diǎn) F(1,0)，且與 y 軸相交于點(diǎn) A，若ABP 為等邊三角形，則圓心 P 的軌跡方程是()(x3)2y2(x3)2y2A.12 4 1B.12 4 1(x3)2y2(x3)2y2C.12 4 1D.12 4 13解設(shè)圓心 P(x，y)，半徑為 R，由圓的幾何性質(zhì)， |x| 2 R，又 R |PF|(x1)2y2，所以 2|x| 3· (x1)2y2，即(x3)23y212，點(diǎn) P 的軌跡(x3)2y2方程為12 4 1.答案A二、填空題x2y23P 是橢圓a2b21 上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2 是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OQPF1PF2，則動(dòng)點(diǎn) Q 的軌跡方程是_解析由橢圓的對(duì)稱性， PF1PF22PO，OQ2PO，即OQ2OP，設(shè)點(diǎn)æxyöx2y2èøQ(x，y)，則 Pç2，2÷，由點(diǎn) P 在橢圓上，得4a24b21.x2y2答案4a24b21三、解答題F2(1,0)，且橢圓 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) Pç3，3÷.x2y24(2013· 四川卷)已知橢圓 C：a2b21(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為 F1(1,0)，æ41öèø(1)求橢圓 C 的離心率；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn) A(0,2)的直線 l 與橢圓 C 交于 M，N 兩點(diǎn)，點(diǎn) Q 是線段 MN 上的點(diǎn)，211且|AQ|2|AM|2|AN|2，求點(diǎn) Q 的軌跡方程解(1)由橢圓定義知ç31÷2ç3÷2ç31÷2ç3÷22   2.2a|PF1|PF2|æ4  ö æ1öè    ø  è øæ4  ö æ1öè    ø  è ø的坐標(biāo)為ç0，25  ø(1k2)x2(1k2)x21(1k2)x22即x2x2x2        .所以 a 2.c122又由已知得，c1，所以橢圓 C 的離心率 ea 2.x2(2)由(1)知，橢圓 C 的方程為 2 y21.設(shè)點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為(x，y)(i)當(dāng)直線 l 與 x 軸垂直時(shí)，直線 l 與橢圓 C 交于(0,1)，(0，1)兩點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn) Qæ3 5ö÷.è(ii)當(dāng)直線 l 與 x 軸不垂直時(shí)，設(shè)直線 l 的方程為 ykx2.因?yàn)?#160;M，N 在直線 l 上，可設(shè)點(diǎn) M，N 的坐標(biāo)分別為(x1，kx12)，(x2，kx22)，則2|AM|2(1k2)x1，|AN|2(1k2)x22.又|AQ|2x2(y2)2(1k2)x2.211由|AQ|2|AM|2|AN|2，得211，211(x1x2)22x1x2112x2x2x2將 ykx2 代入 2 y21 中，得(2k21)x28kx60.210k 3又ç0，2÷滿足 10(y2)23x218，(y2) ê5，4÷，且1y1，則 yç  ，22è25  ûú.÷ ， y è25  û  即 xç，0÷ç0，÷.2  故 xç，÷.2      æ13   5ùé99ö  所以點(diǎn)   Q  的軌跡方程為10(y  2)2  3x2  18 ，其中   x  ç3由 (8k)24×(2k21)×60，得 k22.8k61，x1x21由可知，x1x22k22k2，代入中并化簡(jiǎn)，得18x2.y2因?yàn)辄c(diǎn) Q 在直線 ykx2 上，所以 k x ，代入中并化簡(jiǎn)，得 10(y2)23x218.33由及 k22，可知 0x22，öææ66öè2øèøæ3 5öè5 øæ66öè2ø由題意知點(diǎn) Q(x，y)在橢圓 C 內(nèi)，所以1y1，又由 10(y2)2183x2 有ëøæ66öè2 ， 2 øæ13 5ùç ，2ú.學(xué)生用書第 156 頁(yè)