第3講 數(shù)列的綜合問題,專題三 數(shù)列與不等式,板塊三 專題突破核心考點(diǎn),考情考向分析,1.數(shù)列的綜合問題，往往將數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合，探求數(shù)列中的最值或證明不等式. 2.以等差數(shù)列、等比數(shù)列為背景，利用函數(shù)觀點(diǎn)探求參數(shù)的值或范圍. 3.與數(shù)列有關(guān)的不等式的證明問題是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，主要涉及到的方法有作差法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等,熱點(diǎn)分類突破,真題押題精練,內(nèi)容索引,熱點(diǎn)分類突破,熱點(diǎn)一 利用Sn，an的關(guān)系式求an,1.數(shù)列an中，an與Sn的關(guān)系,2.求數(shù)列通項(xiàng)的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項(xiàng)公式. (2)在已知數(shù)列an中，滿足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)an.,(4)將遞推關(guān)系進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列).,例1 (2018浙江)已知等比數(shù)列an的公比q>1，且a3a4a528，a42是a3，a5的等差中項(xiàng).數(shù)列bn滿足b11，數(shù)列(bn1bn)an的前n項(xiàng)和為2n2n. (1)求q的值；,解答,解 由a42是a3，a5的等差中項(xiàng)， 得a3a52a44， 所以a3a4a53a4428，解得a48.,因?yàn)閝>1，所以q2.,(2)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式.,解答,解 設(shè)cn(bn1bn)an，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Sn.,由(1)可得an2n1，,當(dāng)n1時(shí)，b11也滿足上式，,給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.,跟蹤演練1 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：a1anS1Sn. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解答,解 由已知a1anS1Sn， ,當(dāng)n2時(shí)，由已知可得a1an1S1Sn1， ,若a10，則an0，此時(shí)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0.,即此時(shí)數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列， 故an2n(nN*). 綜上所述，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an0或an2n(nN*).,解答,解 因?yàn)閍n>0，故an2n.,由n50，解得n5，所以當(dāng)n4或n5時(shí)，Tn最小，,數(shù)列與函數(shù)的綜合問題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，解決這類問題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化.,熱點(diǎn)二 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題,(1)若x0時(shí)，f(x)0，求的最小值；,解答,解 由已知可得f(0)0，,若0，則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增， f(x)f(0)0，不合題意；,則當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減， 當(dāng)x0時(shí)，f(x)f(0)0，符合題意.,證明,以上各式兩邊分別相加可得,解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題要注意以下幾點(diǎn) (1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視. (2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件. (3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s.,跟蹤演練2 設(shè)fn(x)xx2xn1，x0，nN，n2. (1)求fn(2)；,解答,解 由題設(shè)fn(x)12xnxn1， 所以fn(2)122(n1)2n2n2n1， 則2fn(2)2222(n1)2n1n2n， 由得，fn(2)12222n1n2n,所以fn(2)(n1)2n1.,證明,證明 因?yàn)閒n(0)10，,熱點(diǎn)三 數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,數(shù)列與不等式的綜合問題把數(shù)列知識(shí)與不等式的內(nèi)容整合在一起，形成了關(guān)于證明不等式、求不等式中的參數(shù)取值范圍、求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)、比較數(shù)列中項(xiàng)的大小等問題，求解方法既要用到不等式知識(shí)，又要用到數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，經(jīng)常涉及到放縮法和數(shù)學(xué)歸納法的使用.,例3 (2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)已知數(shù)列an中，a11，an12an(1)n(nN*).,證明,證明 an12an(1)n，,證明,證明,數(shù)列中的不等式問題主要有證明數(shù)列不等式、比較大小或恒成立問題，解決方法如下： (1)利用數(shù)列(或函數(shù))的單調(diào)性. (2)放縮法：先求和后放縮；先放縮后求和，包括放縮后成等差(或等比)數(shù)列再求和，或者放縮后用裂項(xiàng)相消法求和. (3)數(shù)學(xué)歸納法.,跟蹤演練3 (2018杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a11，an1an (c>0，nN*). (1)證明：an1>an1；,證明,證明 因?yàn)閏>0，a11，,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明an1. 當(dāng)n1時(shí)，a111； 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，ak1，,所以當(dāng)nN*時(shí)，an1. 所以an1>an1.,證明,證明 由(1)知當(dāng)nm時(shí)，anam1，,證明,真題押題精練,真題體驗(yàn),1.(2018全國(guó))記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若Sn2an1，則S6_.,解析,答案,63,解析 Sn2an1，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an11， anSnSn12an2an1(n2)， 即an2an1(n2). 當(dāng)n1時(shí)，a1S12a11，得a11. 數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公比q2的等比數(shù)列，,S612663.,2.(2017浙江)已知數(shù)列xn滿足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*). 證明：當(dāng)nN*時(shí)， (1)0<xn10. 當(dāng)n1時(shí)，x11>0. 假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，xk>0， 那么當(dāng)nk1時(shí)，若xk10， 則00， 因此xn>0(nN*). 所以xnxn1ln(1xn1)>xn1， 因此0<xn1<xn(nN*).,證明,證明 由xnxn1ln(1xn1)得，xnxn14xn12xn,記函數(shù)f(x)x22x(x2)ln(1x)(x0).,函數(shù)f(x)在0，)上單調(diào)遞增， 所以f(x)f(0)0，,證明,證明 因?yàn)閤nxn1ln(1xn1)xn1xn12xn1，,押題依據(jù) 數(shù)列與不等式的綜合是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容，常以解答題的形式出現(xiàn)，也是這部分的難點(diǎn)，考查學(xué)生的綜合能力.,解答,押題依據(jù),(1)求b2的值；,解 由已知得a23a128，,押題預(yù)測(cè),解答,(2)求證：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式；,解 由條件得an13an2，,所以數(shù)列an1是以a11為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列. 即an1(a11)3n13n， 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n1(nN*).,證明,所以原不等式成立；,先證明不等式左邊，當(dāng)n2時(shí)，,再證明不等式右邊，當(dāng)n2時(shí)，,綜上所述，不等式成立.,