2.2.1 雙曲線及其標準方程,1.雙曲線的定義 (1)前提要素:平面內(nèi),一個動點M，兩個_F1,F2,一個常數(shù)2a. (2)滿足關(guān)系:_. (3)限制條件:_. (4)相關(guān)概念：兩個定點F1,F2叫做雙曲線的_，兩個定點之 間的距離|F1F2|叫做雙曲線的_.,定點,|MF1|-|MF2|=2a,2a|F1F2|,焦點,焦距,基礎(chǔ)梳理,2.雙曲線的標準方程,（-c,0）,(c,0),(0,-c),(0,c),a2+b2,1.雙曲線中a，b，c的關(guān)系跟橢圓中a，b，c的關(guān)系有何區(qū)別？ 提示：雙曲線中的a，b，c滿足a2+b2=c2，而橢圓中a，b，c滿足a2=b2+c2，雙曲線中c最大,而橢圓中a最大. 2.要寫出雙曲線的標準方程需要確定哪些條件？ 提示：要寫出雙曲線的標準方程需要確定a,b的值，最關(guān)鍵的還要確定焦點的位置.,思考運用,3.a=3,且焦點為F1（-5，0）、F2（5，0）的雙曲線的標準方 程是_. 【解析】根據(jù)題意可得a=3,c=5,且焦點在x軸上, 又b2=c2-a2=25-9=16, 所以所求雙曲線的標準方程為 答案：,1.對雙曲線定義的理解 雙曲線的定義揭示了雙曲線的圖形特征,定義是判斷動點軌跡是否是雙曲線的重要依據(jù).設(shè)集合P=M|MF1|-|MF2|=2a, |F1F2|=2c,其中a,c均為大于0的常數(shù). 當2a2c時，集合P為雙曲線； 當2a=2c時，集合P為以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線； 當2a2c時，集合P為空集，即動點M的軌跡不存在.,知識點撥,2.對雙曲線標準方程的認識 (1)標準方程的代數(shù)特征:方程右邊是1,左邊是關(guān)于x，y的平方差,并且分母大小關(guān)系不確定. (2)a，b，c三個量的關(guān)系： 標準方程中的兩個參數(shù)a和b,確定了雙曲線的形狀和大小,是雙曲線的定形條件,這里b2=c2-a2,與橢圓中b2=a2-c2相區(qū)別,且橢圓中a>b>0,而雙曲線中,a,b大小不確定.,題目類型一、雙曲線的定義 【技法點撥】 雙曲線定義中的限制條件 （1）動點到兩定點的距離之差； （2）強調(diào)差的絕對值是常數(shù)； （3）常數(shù)小于兩定點間的距離. 只要上述三個條件有一個不滿足，動點的軌跡就不是雙曲線.,典例剖析,典例分析 1. 已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡為_. 2.動點P到點M(1,0)的距離與到點N(3,0)的距離之差為2，則點P的軌跡是_.,1.由已知動點P到兩定點M,N的距離之差是常數(shù)3，且3|MN|=4,所以動點P的軌跡是雙曲線的一支， 又|PM|-|PN|0，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支. 答案：以M，N為焦點的雙曲線的右支 2.由已知|PM|PN|2|MN|，所以點P的軌跡不是雙曲線，而是一條以N為端點的射線 答案：以N為端點的射線,【思考】雙曲線定義中去掉“絕對值”號，動點的軌跡有何變化？第1題中如何具體判斷是雙曲線的哪一部分？ 提示：（1）若將雙曲線定義中的絕對值號去掉，動點的軌跡成為雙曲線中的一支. （2）當去掉絕對值號時，要分清動點到兩個焦點距離的遠與近，此時動點的軌跡是近距離焦點所對應(yīng)的雙曲線的一支.,【變式訓(xùn)練】雙曲線 上一點P到點(5,0)的距離為 15，則點P到點(5,0)的距離為_. 【解析】雙曲線的焦點為F2(5,0)和F1(5,0) 由|PF1|PF2|8. |PF1|15|8，|PF1|23或|PF1|7. 答案:7或23,題目類型二、雙曲線標準方程的求法 【技法點撥】 1.雙曲線標準方程的兩種求法 (1)定義法:定義是研究雙曲線問題的基礎(chǔ)和根本,根據(jù)雙曲線 的定義得到相應(yīng)的a,b,c，再寫出雙曲線的標準方程. (2)待定系數(shù)法:先設(shè)出雙曲線的標準方程 或 (a，b均為正數(shù)）,然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方 程即可.,2.求雙曲線標準方程的兩個關(guān)注點 （1）定位：“定位”是指確定與坐標系的相對位置,在“標準方程”的前提下,確定焦點位于哪條坐標軸上,以判斷方程的形式; （2）定量：“定量”是指確定a2,b2的具體數(shù)值,常根據(jù)條件列方程求解.,【典例訓(xùn)練】 1. 已知雙曲線C： 的焦距為10，點 P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為( ) (A) (B) (C) (D) 2.求適合下列條件的雙曲線的標準方程 (1)a4，且經(jīng)過點 (2)焦點在坐標軸上，且過點,【解析】1.選A.由焦距為10，知2c=10，c=5.將p（2,1）代入 得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20，所以方程為 2.(1)若所求雙曲線的標準方程為 則將a4代入，得 又點 在雙曲線上， 由此得b2<0，不合題意，舍去,若所求雙曲線方程為 則將a4代入得 代入點 得b29， 雙曲線的標準方程為,（2）解題流程:,【總結(jié)】（1）雙曲線焦點的判斷方法; （2）在雙曲線焦點位置不明確的情況下,雙曲線標準方程的求解方法. 提示：（1）雙曲線的標準方程根據(jù)焦點位置不同有兩種形式,觀察雙曲線的標準方程,x2,y2中哪一項的系數(shù)為正，焦點就落在哪個軸上.,（2）當雙曲線的焦點位置不確定時,求雙曲線的標準方程有兩種思路:一是分別討論焦點在x軸，y軸的情況，求解時要注意檢驗；二是設(shè)為一般形式Ax2+By2=1(AB0)，這樣求解時既避免了分類討論，又簡化了運算過程.,【變式訓(xùn)練】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程: （1）雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，且經(jīng)過點（0，2） 與 （2） 經(jīng)過點（-5，2），焦點在x軸上. 【解題指南】根據(jù)焦點位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程形式,再利 用待定系數(shù)法求標準方程.,【解析】（1）因為雙曲線的中心在原點，焦點在y軸上，所以 可設(shè)雙曲線的方程為 又雙曲線經(jīng)過點（0，2）與 所以 所以雙曲線方程為,（2）焦點在x軸上， 設(shè)所求雙曲線方程為 （其中06）. 雙曲線經(jīng)過點（-5，2）， =5或=30（舍去）. 所求雙曲線方程是,1.雙曲線的兩焦點坐標是F1(3,0)，F(xiàn)2(3,0)，b2，則雙曲 線的標準方程是( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】選A.由題知b=2,c=3.a2=c2-b2=5. 又焦點在x軸上，故選A.,達標訓(xùn)練,2.雙曲線方程為x22y21，則它的右焦點坐標為( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】選C.將雙曲線方程化為標準形式 所以 右焦點坐標為,3.設(shè)是三角形的一個內(nèi)角，且 則方程 所表示的曲線為( ) (A)焦點在x軸上的橢圓 (B)焦點在y軸上的橢圓 (C)焦點在x軸上的雙曲線 (D)焦點在y軸上的雙曲線,【解析】選C.由 得sincos0, 又為三角形的一個內(nèi)角,sin0,cos0, 方程表示的是焦點在x軸上的雙曲線，故選C.,4.焦點在坐標軸上，中心在原點，且經(jīng)過點 和 的雙曲線方程是_. 【解析】設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，把P，Q兩點 的坐標代入，得 解得 所以雙曲線的標準方程是 答案：,