第二章有理數(shù)及其運(yùn)算,初中數(shù)學(xué)（北師大版）七年級(jí)上冊(cè),第二章有理數(shù)及其運(yùn)算,知識(shí)點(diǎn)一用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量1.正、負(fù)數(shù)的概念我們小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)了像1,2,的數(shù),現(xiàn)在我們把像上面這樣的數(shù)叫做正數(shù),即大于0的數(shù)叫做正數(shù),而在正數(shù)前面加上“-”號(hào)的數(shù)叫做負(fù)數(shù).溫馨提示(1)0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù).這里“0”是一個(gè)比較特殊的數(shù),它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線,但不屬于它們當(dāng)中的任何一個(gè).(2)正數(shù)前面的“+”號(hào)可以省略,負(fù)數(shù)前面的“-”號(hào)不能省略.,2.具有相反意義的量,例1(1)如果節(jié)約10噸水記作+10噸,那么浪費(fèi)2噸水記作什么?(2)如果-2015元表示虧本2015元,那么+1009元表示什么?(3)如果+20%表示增加20%,那么-8%表示什么?,解析(1)浪費(fèi)2噸水記作-2噸.(2)+1009元表示盈利1009元.(3)-8%表示減少8%.,知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的概念及分類,溫馨提示(1)在對(duì)有理數(shù)進(jìn)行分類時(shí),分類標(biāo)準(zhǔn)不同,分類的形式也不同,對(duì)于每一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),要做到不重、不漏、不混淆.(2)有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù),所以是有理數(shù);無限不循環(huán)小數(shù),如,0.252252225(相鄰的兩個(gè)5之間依次多一個(gè)2)不能化成分?jǐn)?shù),所以不是有理數(shù).例1下列說法正確的是()A.正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)B.非負(fù)整數(shù)就是指0、正整數(shù)和所有分?jǐn)?shù)C.正整數(shù)和負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)D.整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù),解析A項(xiàng)中,有理數(shù)應(yīng)該包括正有理數(shù)、0和負(fù)有理數(shù);B項(xiàng)中,非負(fù)整數(shù)是指0和正整數(shù),不包括分?jǐn)?shù);C項(xiàng)中,整數(shù)中還漏掉了數(shù)字0,D正確.,答案D,題型一用正數(shù)、負(fù)數(shù)表示誤差范圍例1某蘋果箱上標(biāo)明蘋果的總質(zhì)量為15k,則這箱蘋果的最大質(zhì)量為kg.如果某箱蘋果的總質(zhì)量為14.95kg,那么這箱蘋果(填“符合”或“不符合”)標(biāo)準(zhǔn).,解析蘋果的總質(zhì)量為15k,說明一箱蘋果的最大質(zhì)量比15kg多0.02kg,最小質(zhì)量比15kg少0.03kg,即符合標(biāo)準(zhǔn)的某箱蘋果的最小質(zhì)量為14.97kg,最大質(zhì)量為15.02kg.因?yàn)?4.95<14.97,所以這箱蘋果不符合標(biāo)準(zhǔn).,答案15.02;不符合點(diǎn)撥解決此類問題的關(guān)鍵是正確理解題中“+、-”號(hào)的含義:“+”號(hào)表示比標(biāo)準(zhǔn)量多,“-”號(hào)表示比標(biāo)準(zhǔn)量少.,題型二有理數(shù)的分類例2把下列這些數(shù)填入相應(yīng)的集合中:5,-,0,0.56,-3,-25.8,-0.0001,+2,-600,0.33333.正整數(shù)集合:;負(fù)整數(shù)集合:;正分?jǐn)?shù)集合:;負(fù)分?jǐn)?shù)集合:;正數(shù)集合:;負(fù)數(shù)集合:.分析有理數(shù)的分類:按照定義有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分,其中整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù);按照符號(hào)有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)三部分.,解析正整數(shù)集合:5,+2,;負(fù)整數(shù)集合:-3,-600,;正分?jǐn)?shù)集合:;負(fù)分?jǐn)?shù)集合:;正數(shù)集合:;負(fù)數(shù)集合:.,易錯(cuò)點(diǎn)不能正確理解有理數(shù)的分類例下列各數(shù)哪些是正數(shù)?哪些是負(fù)數(shù)?哪些是分?jǐn)?shù)?哪些是整數(shù)?+2016,-3.2,10.58,0,-9,+1,-.錯(cuò)解正數(shù):+2016,+1,;負(fù)數(shù):;分?jǐn)?shù):;整數(shù):+2016,0,+1,.正解正數(shù):;負(fù)數(shù):;,分?jǐn)?shù):;整數(shù):+2016,0,-9,+1,.錯(cuò)因分析沒有真正掌握有理數(shù)的分類,誤認(rèn)為含有“+”號(hào)的數(shù)才是正數(shù),導(dǎo)致正數(shù)中漏了,10.58,受小學(xué)時(shí)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)的影響,分?jǐn)?shù)中漏掉了-3.2,10.58,整數(shù)中漏掉了-9.,知識(shí)點(diǎn)一用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量1.(2015江蘇南通中考)如果水位升高6m時(shí)水位變化記作+6m,那么水位下降6m時(shí)水位變化記作()A.-3mB.3mC.6mD.-6m,答案D水位升高用正數(shù)表示,則水位下降用負(fù)數(shù)表示,故下降6m應(yīng)記作-6m.選D.,2.下列各組量中,具有相反意義的量有()“身高增加2cm”和“體重減少1kg”;水庫水位“上升1.6米”與“下降1.8米”;“盈利50萬元”與“虧損160萬元”.A.1組B.2組C.3組D.0組,答案B具有相反意義的量的序號(hào)為.故選B.,3.向東走3m,接著又向東走-3m,結(jié)果是()A.向東走6mB.向西走3mC.向西走6mD.回到原地,答案D向東走-3m,即向西走3m,故回到原地.,知識(shí)點(diǎn)二有理數(shù)的概念及分類4.下列說法錯(cuò)誤的是()A.-2是負(fù)有理數(shù)B.0不是整數(shù)C.是正有理數(shù)D.-0.25是負(fù)分?jǐn)?shù),答案B0是整數(shù),故B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤.,5.下列各數(shù):-2,+3.5,0,-,-0.7,11,其中負(fù)分?jǐn)?shù)有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),答案B負(fù)分?jǐn)?shù)有-和-0.7,共2個(gè).,6.把下列各數(shù)按要求分別填入相應(yīng)的集合中:0.05,1,-,-126,72.1,0,-12%,+729,-628,-3,3.,-1000.01.(1)正整數(shù)集合:;(2)負(fù)分?jǐn)?shù)集合:;(3)整數(shù)集合:;(4)非負(fù)數(shù)集合:.,解析(1)正整數(shù)集合:1,+729,.(2)負(fù)分?jǐn)?shù)集合:.(3)整數(shù)集合:1,-126,0,+729,-628,.(4)非負(fù)數(shù)集合:.,1.(2016北京師大附中河南分校期中)若支出20元記為+20元,則-50元表示.,答案收入50元,解析支出與收入是一對(duì)具有相反意義的量,支出為正,則收入為負(fù).,2.(2017貴州遵義四中月考)在-1,0.618,0,-5%,2017,0.5中,整數(shù)有個(gè),分?jǐn)?shù)有個(gè).,答案3;4,解析整數(shù)有-1,0,2017,共3個(gè).分?jǐn)?shù)有,0.618,-5%,0.5,共4個(gè).,3.用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示下列具有相反意義的量.(1)溫度上升3和下降5(上升為正);(2)盈利5萬元和虧損10萬元(盈利為正);(3)向東走10米和向西走7米(向東為正);(4)運(yùn)進(jìn)50箱蘋果和運(yùn)出30箱蘋果(運(yùn)進(jìn)為正).,解析(1)+3,-5.(2)+5萬元,-10萬元.(3)+10米,-7米.(4)+50箱,-30箱.,1.下列語句:不帶“-”號(hào)的數(shù)都是正數(shù);如果a是正數(shù),那么-a一定是負(fù)數(shù);不存在既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù);0表示沒有溫度.其中正確的有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè),答案B只有正確.,2.一艘潛水艇所在的海拔高度為-50m,若一條鯊魚在潛水艇下方10m處,則鯊魚所在的海拔高度為()A.-60mB.-50mC.10mD.-10m,答案A潛水艇在海平面下50m處,鯊魚在潛水艇下方10m處,故鯊魚在海平面下60m處,所以鯊魚所在的海拔高度為-60m,故選A.,3.(2016山西大同一中期中)下列說法正確的有()(1)整數(shù)就是正整數(shù)和負(fù)整數(shù);(2)零是整數(shù),但不是自然數(shù);(3)分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù);(4)正數(shù)和負(fù)數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù);(5)一個(gè)有理數(shù),它不是整數(shù)就是分?jǐn)?shù).A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè),答案B整數(shù)包括正整數(shù)、0和負(fù)整數(shù),故(1)錯(cuò)誤;零是整數(shù),也是自然數(shù),故(2)錯(cuò)誤;正數(shù)、負(fù)數(shù)和0統(tǒng)稱為有理數(shù),故(4)錯(cuò)誤.正確的是(3)(5),共2個(gè).,1.下列說法中,錯(cuò)誤的是()A.整數(shù)一定是自然數(shù)B.自然數(shù)一定是整數(shù)C.自然數(shù)一定是非負(fù)整數(shù)D.自然數(shù)一定是有理數(shù),答案A負(fù)整數(shù)是整數(shù),但負(fù)整數(shù)不是自然數(shù),故A錯(cuò)誤.,2.圖中重合部分A處可以填入的數(shù)是.(只需填入一個(gè)滿足條件的數(shù)即可),答案-2(答案不唯一),解析因?yàn)檎麛?shù)包含正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù),負(fù)數(shù)包含負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),故重合部分表示負(fù)整數(shù),所以A處只需填上一個(gè)負(fù)整數(shù)即可.,3.在生產(chǎn)圖紙上通常用30來表示軸的加工要求,這里300表示直徑是300mm,+0.2和-0.5是指直徑在(300-0.5)mm到(300+0.2)mm之間的產(chǎn)品都屬于合格產(chǎn)品.現(xiàn)加工一批軸,尺寸要求是4,請(qǐng)檢驗(yàn)直徑為44.97mm和45.04mm的兩根軸是不是合格產(chǎn)品.,解析這批軸的尺寸要求是在(45-0.04)mm到(45+0.03)mm之間,即尺寸在44.96mm到45.03mm之間都為合格,所以直徑為44.97mm的軸合格,直徑為45.04mm的軸不合格.,一、選擇題1.(2018重慶巴南月考,7,)小明身高165cm,以小明的身高為標(biāo)準(zhǔn),小明爸爸身高175cm,記作+10cm,小明媽媽身高163cm,應(yīng)記作()A.-2cmB.12cmC.2cmD.-12cm,答案A165-163=2(cm),由已知可知,高出小明身高記為“+”,則小明媽媽比小明低2cm應(yīng)記為-2cm.,2.(2018遼寧本溪南芬中學(xué)第二次月考,3,)既不是正數(shù)也不是整數(shù)的有理數(shù)是()A.0和負(fù)分?jǐn)?shù)B.負(fù)分?jǐn)?shù)C.負(fù)整數(shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)D.正整數(shù)和正分?jǐn)?shù),答案B0是整數(shù),故選項(xiàng)A不正確;負(fù)分?jǐn)?shù)既不是正數(shù)也不是整數(shù),故選項(xiàng)B正確;負(fù)整數(shù)是整數(shù),故選項(xiàng)C不正確;正整數(shù)是整數(shù),故選項(xiàng)D不正確.,二、填空題3.(2018安徽合肥四十二中第一次月考,12,)在數(shù)、-2、0、15、130%、0.25中,正數(shù)有個(gè).,答案4,解析正數(shù)中的正號(hào)可以省略不寫,負(fù)數(shù)中的負(fù)號(hào)不能省略,0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù),故正數(shù)有、15、130%、0.25,共4個(gè).,1.(2018山西階段第二次質(zhì)量評(píng)估,1,)如果向北走3步記作+3步,那么向南走8步記作()A.+8步B.-8步C.+11步D.-11步,答案B向北走記為“+”,則向南走記為“-”,故選B.,2.(2016山東濰坊壽光世紀(jì)學(xué)校月考,8,)下列說法正確的是()A.一個(gè)數(shù)不是整數(shù)就是負(fù)數(shù)B.整數(shù)和小數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)C.有理數(shù)中沒有最小的非負(fù)整數(shù)D.0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),答案D如,既不是整數(shù)也不是負(fù)數(shù),選項(xiàng)A錯(cuò)誤;整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù),選項(xiàng)B錯(cuò)誤;最小的非負(fù)整數(shù)是0,選項(xiàng)C錯(cuò)誤,故選D.,3.(2018河南濟(jì)源期中,18,)把下面的有理數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里:15,-,0,-30,0.15,-128,+20,-2.6.(8分)正數(shù)集合:;負(fù)數(shù)集合:;整數(shù)集合:;分?jǐn)?shù)集合:.,解析正數(shù)集合:;負(fù)數(shù)集合:;整數(shù)集合:15,0,-30,-128,+20,;分?jǐn)?shù)集合:.,選擇題1.(2017四川成都中考,1,)九章算術(shù)中注有“今兩算得失相反,要令正負(fù)以名之”,意思是:今有兩數(shù)若其意義相反,則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù).若氣溫為零上10記作+10,則-3表示氣溫為()A.零上3B.零下3C.零上7D.零下7,答案B由題意知,“-”代表氣溫為零下,所以-3表示氣溫為零下3,故選B.,2.(2016甘肅天水中考,1,)四個(gè)數(shù)-3,0,1,中的負(fù)數(shù)是()A.-3B.0C.1D.,答案A-3是負(fù)數(shù);0既不是正數(shù),也不是負(fù)數(shù);1和都是正數(shù),故選A.,3.(2017貴州六盤水中考,1,)大米包裝袋上(100.1)kg的標(biāo)識(shí)表示此袋大米重()A.(9.910.1)kgB.10.1kgC.9.9kgD.10kg,答案A+0.1表示比標(biāo)準(zhǔn)10千克多0.1千克;-0.1表示比標(biāo)準(zhǔn)10千克少0.1千克,所以此袋大米重(9.910.1)kg,故選A.,1.(2016廣東廣州中考,1,)中國人很早開始使用負(fù)數(shù),中國古代數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)的“方程”一章,在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù).如果收入100元記作+100元,那么-80元表示()A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元,答案C如果收入100元記作+100元,那么-80元表示支出80元,故選C.,2.(2015廣東廣州中考,1,)四個(gè)數(shù)-3.14,0,1,2中,為負(fù)數(shù)的是()A.-3.14B.0C.1D.2,答案A比0小的數(shù)是負(fù)數(shù),四個(gè)數(shù)中為負(fù)數(shù)的是-3.14.故選A.,1.觀察下面依次排列的數(shù),請(qǐng)直接寫出后面的3個(gè)數(shù),并寫出第15個(gè)數(shù)、第101個(gè)數(shù)、第2018個(gè)數(shù).(1)-1,-2,+3,-4,-5,+6,-7,-8,;(2)-1,-3,-5,-7,.,解析(1)+9;-10;-11.第15個(gè)數(shù)為+15,第101個(gè)數(shù)為-101,第2018個(gè)數(shù)為-2018.(2)-9;-11.第15個(gè)數(shù)為-15,第101個(gè)數(shù)為-101,第2018個(gè)數(shù)為.,1.在小學(xué)我們學(xué)習(xí)了偶數(shù)0,2,4,6,8,以及奇數(shù)1,3,5,7,9,現(xiàn)在我們學(xué)習(xí)了負(fù)數(shù),也知道了負(fù)偶數(shù)與負(fù)奇數(shù),負(fù)偶數(shù)為-2,-4,-6,-8,負(fù)奇數(shù)為-1,-3,-5,-7,下面我們將這些負(fù)偶數(shù)與負(fù)奇數(shù)排列,如圖:在上述的這些數(shù)中,觀察它們的規(guī)律,并求-101在哪一列.,解析以8個(gè)數(shù)作為一個(gè)循環(huán)段,則第96個(gè)數(shù)在第一列,第100個(gè)數(shù)在第五列,所以第101個(gè)數(shù)在第四列,即-101在第四列.,2.一種商品的標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)是200元,但隨著季節(jié)的變化,商品的單價(jià)可浮動(dòng)10%.(1)10%的含義是什么?(2)請(qǐng)計(jì)算出該商品的最高單價(jià)和最低單價(jià);(3)如果以標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)為基準(zhǔn),超過標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)記為“+”,低于標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)記為“-”,則該商品單價(jià)的浮動(dòng)范圍又可以怎樣表示?,解析(1)+10%表示比標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)高10%,-10%表示比標(biāo)準(zhǔn)單價(jià)低10%.(2)最高單價(jià)為200(1+10%)=220(元),最低單價(jià)為200(1-10%)=180(元).(3)該商品單價(jià)的浮動(dòng)范圍可以表示為-20+20元.,