第二章圓錐曲線與方程1橢圓1.1橢圓及其標準方程,月球的運行軌道,橢圓的盤子,橢圓的鏡子,籃球在陽光下的投影,從這些圖片我們看到，在我們所生活的世界中，隨處可見橢圓這種圖形.而且我們也已經(jīng)知道了橢圓的大致形狀，那么如何確切的描述橢圓呢？我們能否動手畫一個橢圓呢？,1.了解橢圓的實際背景，感受橢圓刻畫現(xiàn)實世界和在實際生活中的作用.2.掌握橢圓的定義和標準方程.（重點）3.掌握橢圓的標準方程的推導(dǎo)過程.（難點）,探究點1橢圓的定義,對于籃球在陽光下的投影，把太陽光看成一束平行光，如圖所示，照射在籃球上的平行光線抽象為一個斜放的圓柱，籃球面抽象為一個球面，球心記作O1，籃球面與地面的接觸點抽象為球與平面的切點F1，影子恰好是圓柱面被平面斜截的截面，截面的邊界線稱為橢圓.,O1,F1,對于上圖所示的幾何模型，把圓柱面延伸，在截面下面也放一個與圓柱面和截面都相切，且同樣大的球，球心記作O2,該球與截面的切點為F2，如圖所示.,O2,F2,F1,O1,兩個球與圓柱面的切點分別構(gòu)成了兩個圓，圓心分別是球心O1,O2，若P為橢圓上一點，過點P作圓柱的母線，分別交O1O2于A,B兩點，則PA,PF1是球O1的切線段，所以PA=PF1，同理PB,PF2是球O2的切線段，所以PB=PF2，因此，PF1+PF2=AB.又AB=O1O2，由此可以發(fā)現(xiàn)橢圓上的點到兩切點的距離之和是定值O1O2.,O1,F1,F2,O2,動手操作：將一條細繩的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃直，圍繞定點旋轉(zhuǎn)，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？,平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.,提示：圓,思考1將細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在不同的兩點F1，F(xiàn)2處，并用筆尖拉緊繩子，再移動筆尖一周，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形呢？,結(jié)論：筆尖畫出的軌跡是橢圓.,思考2：在畫橢圓的過程中，,(1)細繩的兩端的位置是固定的還是運動的？提示：固定的.(2)繩子的長度變了沒有？為什么要拉緊繩子？提示：沒變化.保持筆尖到兩定點的距離和不變.(3)繩子長度與兩定點距離大小有怎樣的關(guān)系？提示：三點M，F(xiàn)1，F(xiàn)2不共線時，構(gòu)成三角形，兩邊之和大于第三邊長，可見繩子長度大于兩定點距離.,結(jié)合思考問題，你能給橢圓下一個定義嗎？,橢圓的定義：,橢圓的定義的符號表示：,平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和_（大于|F1F2|）的點的集合叫做橢圓.這兩個_叫做橢圓的焦點，兩個焦點間的距離叫做橢圓的_.,等于常數(shù),定點F1，F(xiàn)2,焦距,2a2c0時，為橢圓.,思考3：橢圓定義中為什么要求常數(shù)大于|F1F2|(即2a2c)？,提示：當|MF1|+|MF2|=2a=|F1F2|時,當|MF1|+|MF2|=2a<|F1F2|時,只有當2a|F1F2|時動點M的軌跡才是橢圓.,動點M的軌跡為以F1，F(xiàn)2為端點的線段；,動點M的軌跡不存在;,如何用方程來表示橢圓呢？,探究點2橢圓的標準方程,如圖，作直線F1F2和線段F1F2的垂直平分線,設(shè)P為橢圓上一點，根據(jù)橢圓的定義，P關(guān)于這兩條直線的對稱點也都在橢圓上，即這兩條直線是橢圓的對稱軸.以直線F1F2為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系xOy,則焦點F1，F(xiàn)2的坐標分別為(c,0)，(c,0).,根據(jù)橢圓的定義和橢圓的對稱性,且所以即,得A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b),如圖橢圓和x軸，y軸分別有兩個交點A1，A2和B1，B2，,設(shè)P（x,y)是橢圓上任意一點，,因為,所以,兩邊平方、整理，得,上式兩邊平方、整理，得,由橢圓的定義，橢圓上的點P滿足,即,兩邊同除以a2b2得,這說明橢圓上的點的坐標滿足以上方程.我們還可以證明，這個方程每一組解對應(yīng)的點都在橢圓上.,抽象概括：,我們將方程,叫作橢圓的標準方程，,焦點坐標是,如果橢圓的焦點在y軸上，如圖，其焦點坐標為,用同樣的方法可以推出它的標準方程為,其中,y,O,x,F1,F2,M,(0,-c),(0,c),總體印象：對稱、簡潔，“像”直線方程的截距式,焦點在y軸：,焦點在x軸：,3.橢圓的標準方程:,圖形,方程,焦點,F(c，0),F(0，c),a,b,c之間的關(guān)系,c2=a2-b2,|MF1|+|MF2|=2a(2a2c0),定義,注:,共同點：橢圓的標準方程表示的一定是焦點在坐標軸上，中心在坐標原點的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.,不同點：焦點在x軸的橢圓項分母較大.焦點在y軸的橢圓項分母較大.,練習1.下列方程哪些表示橢圓？,若是,則判定其焦點在何軸？并指明，寫出焦點坐標.,?,(2)焦點在x軸，焦點坐標（-3,0），（3,0）,(3)焦點在x軸，焦點坐標（-1,0），（1,0）,2.回顧橢圓方程的求解過程，有哪些主要步驟？,第一步：根據(jù)橢圓的對稱性建立坐標系；,提示：,第二步：設(shè)出橢圓上任意一點；,第三步：把橢圓定義用等式表示；,第四步：把等式中的距離用坐標表示；,第五步：把得到的方程化簡；,第六步：說明橢圓上點的坐標適合所求方程，以方程的解為坐標的點都在橢圓上.,思考交流,O,x,y,F1,F2,M,(-c,0),(c,0),提示：在橢圓的方程中，由,可見，當a為定值時，隨c的增大，b減小，橢圓變扁；隨c的減小，b增大，橢圓越接近于圓.,1.當橢圓定義中的常數(shù)2a為定值時，焦距2c的變化與橢圓形狀的變化有怎樣的關(guān)系？,即隨著焦距2c的增大，橢圓變扁；焦距減小，橢圓越接近于圓.,【解析】由已知,得,由定義可知點A的軌跡是一個橢圓，且,即,所以,如圖，建立平面直角坐標系，使x軸經(jīng)過B,C兩點，原點O為BC的中點.,提醒：求點的軌跡問題，要結(jié)合具體的情況剔除不滿足條件的點.,B,C,A,當點A在直線BC上，即y=0時，A，B，C三點不能構(gòu)成三角形，因此點A滿足的一個軌跡方程是,例2已知橢圓的兩個焦點坐標分別為,并且經(jīng)過點,求橢圓的標準方程.,【解析】因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標準方程為,解法1由橢圓的定義知,所以,又,所以橢圓的標準方程為,解法2因為點,在橢圓上，又c=2，得,解得,所以橢圓的標準方程為,【變式練習】,求經(jīng)過點,的橢圓的標準方程.,解析：當橢圓的焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為,將,的坐標代入橢圓方程，得,解得,與,矛盾，舍去.,當橢圓的焦點在y軸上時，設(shè)橢圓方程為,解得,故所求的橢圓方程為,【提升總結(jié)】,求橢圓標準方程的解題步驟：（1）確定焦點的位置；（2）設(shè)出橢圓的標準方程；（3）用待定系數(shù)法確定a，b的值，寫出橢圓的標準方程.,將,a,O,M,y,x,證明:將點M的坐標代入方程有,例3求證：,的幾何意義如圖所示.,1.動點P到兩定點F1(-4,0)，F(xiàn)2(4,0)的距離和是8，則動點P的軌跡為（）,A.橢圓B.線段F1F2C.直線F1F2D.無軌跡,B,2.已知橢圓的標準方程為,則焦點坐標為()A.(1,0)B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1),C,C,4.已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是(0,-3)(0,3)，橢圓上的點P到兩焦點距離的和等于8.求橢圓的標準方程.,解析:由題意知橢圓的焦點在y軸上，故可設(shè)橢圓的標準方程為,由題意，,所以，,橢圓的標準方程為,求橢圓標準方程的方法,求美意識，求簡意識，前瞻意識,不要只因一次失敗，就放棄你原來決心想達到的目的。威廉莎士比亞,