3.2.2對數(shù)函數(shù),一,二,一、對數(shù)函數(shù)的定義【問題思考】1.指數(shù)式ab=N如何化為對數(shù)式?提示:根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化關(guān)系可知logaN=b.2.在logaN=b(a0,且a1)這一關(guān)系式中,若把N看成自變量,b看成函數(shù)值,你能得到一個(gè)具有什么特征的函數(shù)?提示:可以得到函數(shù)y=logax(a0,且a1),此類函數(shù)的特征是以真數(shù)作為自變量,對數(shù)值作為函數(shù)值.這類函數(shù)就是本節(jié)將要研究的對數(shù)函數(shù).3.填空.函數(shù)y=logax(a0,a1,x0)稱為對數(shù)函數(shù),其中x是自變量.,一,二,二、對數(shù)函數(shù)y=logax(a0,a1,x0)的圖象與性質(zhì)【問題思考】1.利用初中所學(xué)的作圖方法作出函數(shù)y=log2x與函數(shù)y=log3x的圖象,進(jìn)而研究一下函數(shù)y=logax(a0,a1,x0)的底數(shù)變化對圖象位置有何影響.,一,二,提示:在同一平面直角坐標(biāo)系中,分別作出函數(shù)y=log2x及y=log3x的圖象,如圖所示,可以看出:底數(shù)越大,圖象越靠近x軸.同理,當(dāng)0<a<1時(shí),底數(shù)越小,函數(shù)圖象越靠近x軸.利用這一規(guī)律,我們可以解決真數(shù)相同,對數(shù)不等時(shí)底數(shù)大小的問題.,一,二,一,二,2.填寫下表:,一,二,一,二,思考辨析判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號里打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)函數(shù)(a0,且a1)是對數(shù)函數(shù).()(2)函數(shù)y=log2x是非奇非偶函數(shù).()(3)函數(shù)y=logax(a0,且a1)的圖象均在x軸上方.()(4)y-4=logm(x+9)(m0,且m1)的圖象恒過定點(diǎn)(-8,4).()(5)當(dāng)01時(shí),y=logax為R上的增函數(shù).(6)因?yàn)閤2+10恒成立,所以y=log5(x2+1)的值域?yàn)镽.()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6),探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,求對數(shù)函數(shù)的定義域,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,反思感悟求對數(shù)函數(shù)定義域的步驟,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例2】作出函數(shù)f(x)=|log3x|的圖象,并求出其值域、單調(diào)區(qū)間以及在區(qū)間上的最大值.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,反思感悟與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象問題注意以下規(guī)律:(1)一般地,函數(shù)y=-f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱,函數(shù)y=f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,函數(shù)y=-f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.利用上述關(guān)系,可以快速識別一些函數(shù)的圖象.(2)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的一些對數(shù)型函數(shù),如y=logax+k,y=loga|x|,y=|logax+k|等,其圖象可由y=logax的圖象,通過平移變換、對稱變換或翻折變換而得到.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,將以上例題中的函數(shù)改為“f(x)=|log3(x+1)|”再研究以下問題.(1)利用函數(shù)圖象,并寫出函數(shù)的值域及單調(diào)區(qū)間;(2)若方程f(x)=k有兩解,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.,解:(1)函數(shù)f(x)=|log3(x+1)|的圖象如圖所示.由圖象知,其值域?yàn)?,+),f(x)在(-1,0上是減少的,在0,+)內(nèi)是增加的.(2)由(1)的圖象知,當(dāng)k0時(shí),方程f(x)=k有兩解,故k的取值范圍是(0,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【例3】比較大小:(1)log0.27與log0.29;(2)log35與log65;(3)(lgm)1.9與(lgm)2.1(m1);(4)log85與lg4.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,解:(1)log0.27和log0.29可看作是函數(shù)y=log0.2x,當(dāng)x=7和x=9時(shí)對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值,由y=log0.2x在(0,+)上是減函數(shù),得log0.27log0.29.(2)函數(shù)y=log3x(x1)的圖象在函數(shù)y=log6x(x1)的圖象的上方,故log35log65.(3)把lgm看作指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)的底數(shù),要比較兩數(shù)的大小,關(guān)鍵是比較底數(shù)lgm與1的關(guān)系.若lgm1,即m10,則y=(lgm)x在R上是增函數(shù),故(lgm)1.9(lgm)2.1;若lgm=1,即m=10,則(lgm)1.9=(lgm)2.1.(4)因?yàn)榈讛?shù)8,10均大于1,且108,所以log85lg5lg4,即log85lg4.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,4.本題恰好代表了幾個(gè)典型的題型.其中題(1)是直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;題(2)是對數(shù)函數(shù)的底數(shù)變化規(guī)律的應(yīng)用;題(3)是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用;題(4)是中間量的運(yùn)用.當(dāng)兩個(gè)對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)都不相同時(shí),需要找出中間量來“搭橋”,再利用對數(shù)函數(shù)的增減性.常用的中間量有0,1等,可通過估算加以選擇.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例4】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1)y=log0.2(x2-2x+2);(2)y=loga(a-ax).分析:利用復(fù)合函數(shù)法確定其單調(diào)區(qū)間即可.解:(1)令u=x2-2x+2=(x-1)2+110.當(dāng)x1時(shí),u=x2-2x+2是增函數(shù),又y=log0.2u是減函數(shù),所以y=log0.2(x2-2x+2)在1,+)內(nèi)是減函數(shù).同理可得函數(shù)y=log0.2(x2-2x+2)的單調(diào)增區(qū)間為(-,1.故函數(shù)y=log0.2(x2-2x+2)的單調(diào)增區(qū)間為(-,1,單調(diào)減區(qū)間為1,+).,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,(2)當(dāng)a1時(shí),y=logat是增函數(shù),且t=a-ax是減函數(shù),而a-ax0,即ax0,即ax1時(shí),函數(shù)y=loga(a-ax)在(-,1)內(nèi)是減函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=loga(a-ax)在(-,1)內(nèi)是增函數(shù).反思感悟求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟:(1)求出函數(shù)的定義域;(2)將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù);(3)分別確定各個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)性;(4)根據(jù)復(fù)合函數(shù)原理求出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,將本例題(1)中函數(shù)改為“y=log2(x2-2x+2)”,例題(2)中函數(shù)改為“y=loga(ax-a)”結(jié)果又如何?解:(1)y=log2(x2-2x+2)在1,+)內(nèi)為增函數(shù),在(-,1上為減函數(shù).(2)當(dāng)a1時(shí),y=loga(ax-a)在(1,+)內(nèi)為增函數(shù);當(dāng)0<a<1時(shí),y=loga(ax-a)在(1,+)內(nèi)為減函數(shù).,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,因忽視真數(shù)的取值范圍而致誤【典例】解不等式loga(2x-5)loga(x-1).,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,以上解答過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何訂正?你怎么防范?提示:錯(cuò)解一中沒考慮真數(shù)的取值范圍,也沒有對a進(jìn)行分類討論;錯(cuò)解二中沒有對a進(jìn)行分類討論;錯(cuò)解三中出現(xiàn)邏輯性錯(cuò)誤,運(yùn)算變形的順序出現(xiàn)了問題,即開始默認(rèn)了a1對原不等式進(jìn)行了轉(zhuǎn)化是不正確的,雖然后來對a又進(jìn)行了討論,看起來結(jié)果正確,而實(shí)際上解答過程是錯(cuò)誤的.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,防范措施1.在解決含有對數(shù)式的方程或不等式時(shí),一定要注意底數(shù)及真數(shù)的限制條件,一般要有檢驗(yàn)的意識.2.當(dāng)對數(shù)的底數(shù)含參數(shù)時(shí),不能直接化簡原式,需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論,做到不重復(fù)、不遺漏.,探究一,探究二,探究三,探究四,思維辨析,1,2,3,4,5,1.設(shè)0a1.答案:B,1,2,3,4,5,2.方程log2(x+2)=x2的實(shí)數(shù)解有()A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)解析:在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出y=log2(x+2)與y=x2的圖象,如圖所示.由圖象觀察知,二者有兩個(gè)交點(diǎn),所以方程log2(x+2)=x2有兩個(gè)解.答案:C,1,2,3,4,5,3.函數(shù)f(x)=log2(3x2-2x-1)的單調(diào)增區(qū)間為.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+loga(x+3),其中0<a<1.(1)求函數(shù)f(x)的定義域D;(2)求函數(shù)f(x)的值域.,解得-3<x<1.函數(shù)f(x)的定義域D為(-3,1).(2)f(x)=loga(1-x)(x+3)=loga(-x2-2x+3)=loga-(x+1)2+4.-3<x<1,0<-(x+1)2+44.0<a<1,loga-(x+1)2+4loga4,即f(x)min=loga4.函數(shù)f(x)的值域?yàn)閘oga4,+).,