第28章 銳角三角函數(shù) 專項訓練 專訓1　求銳角三角函數(shù)值的常用方法 名師點金： 銳角三角函數(shù)刻畫了直角三角形中邊和角之間的關(guān)系，對于斜三角形，要把它轉(zhuǎn)化為直角三角形求解．在求銳角的三角函數(shù)值時，首先要明確是求銳角的正弦值，余弦值還是正切值，其次要弄清是哪兩條邊的比． 直接用銳角三角函數(shù)的定義 1．如圖，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，若CD＝5，AC＝6， (第1題) 則tan B的值是(　　) A. 　　　B. C. 　　　D. 2．如圖，在△ABC中， AD⊥BC，垂足是D，若BC＝14，AD＝12，tan ∠BAD＝，求sin C的值． (第2題) 3．如圖，直線y＝x＋與x軸交于點A，與直線y＝2x交于點B. (1)求點B的坐標； (2)求sin∠BAO的值． (第3題) 利用同角或互余兩角三角函數(shù)間的關(guān)系 4．若∠A為銳角，且sin A＝，則cos A＝(　　) A．1 B. C. D. 5．若α為銳角，且cosα＝，則sin(90°－α)＝(　　) A. B. C. D. 6．若α為銳角，且sin2α＋cos230°＝1，則α＝______． 巧設參數(shù) 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，則tan B的值為(　　) A. B. C. D. 8．已知，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊長分別為a，b，c，且a，b，c滿足b2＝(c＋a)(c－a)．若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值． 利用等角來替換 9．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜邊AB的中線，過點A作AE⊥CD，AE分別與CD，CB相交于點H，E且AH＝2CH，求sin B的值． (第9題) 專訓2　同角或互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系的應用 名師點金： 1．同角三角函數(shù)關(guān)系：sin2 α＋cos2α＝1，tan α＝. 2．互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系：sin α＝cos(90°－α)，cos α＝sin(90°－α)，tan α·tan(90°－α)＝1. 同角間的三角函數(shù)的應用 1．已知＝4，求的值． 2．若α為銳角，sin α－cos α＝，求sin α＋cos α的值． 余角間的三角函數(shù)的應用 3．若45°－α和45°＋α均為銳角，則下列關(guān)系式正確的是(　　) A．sin(45°－α)＝sin(45°＋α) B．sin2(45°－α)＋cos2(45°＋α)＝1 C．sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1 D．cos2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝1 4．計算tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°的值． 同角的三角函數(shù)間的關(guān)系在一元二次方程中的應用 5．已知sin α·cos α＝(α為銳角)，求一個一元二次方程，使其兩根分別為sin α和cos α. 6．已知α為銳角且sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一個根，求的值． 專訓3　用三角函數(shù)解與圓有關(guān)問題 名師點金： 用三角函數(shù)解與圓有關(guān)的問題，是近幾年中考熱門命題內(nèi)容，題型多樣化；一般以中檔題、壓軸題形式出現(xiàn)，應高度重視． 一、選擇題 1．如圖，已知△ABC的外接圓⊙O的半徑為3，AC＝4，則sin B＝(　　) A. B. C. D. (第1題) 　　　 (第2題) 2．如圖是以△ABC的邊AB為直徑的半圓O，點C恰好在半圓上，過C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD＝，BC＝4，則AC的長為(　　) A．1 B. C．3 D. 3．在△ABC中，AB＝AC＝5，sin B＝.⊙O過B，C兩點，且⊙O半徑r＝，則OA的長為(　　) A．3或5 B．5 C．4或5 D．4 4．如圖，在半徑為6 cm的⊙O中，點A是劣弧BC的中點，點D是優(yōu)弧BC上一點，且∠D＝30°.下列四個結(jié)論： (第4題) ①OA⊥BC； ②BC＝6 cm； ③sin∠AOB＝； ④四邊形ABOC是菱形． 其中正確結(jié)論的序號是(　　) A．①③　B．①②③④　C．②③④　D．①③④ 二、填空題 5．如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝15，AC＝9，則tan∠ADC＝________. (第5題) 　　　 (第6題) 6．如圖，直線MN與⊙O相切于點M，ME＝EF且EF∥MN，則cos E＝________. 7．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB＝6，點C是優(yōu)弧AB上的一點(不與A，B重合)，則cos C的值為________． (第7題) 　　　 (第8題) 8．如圖，在直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分別與OA，OC，BC相切于點E，D，B，與AB交于點F，已知A(2，0)，B(1，2)，則tan∠FDE＝________. 三、解答題 9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，tan B＝，半徑為2的⊙C分別交AC，BC于點D，E，得到. (1)求證：AB為⊙C的切線； (2)求圖中陰影部分的面積． (第9題) 10．如圖，AB是⊙O的直徑，∠ABT＝45°，AT＝AB. (1)求證：AT是⊙O的切線； (2)連接OT交⊙O于點C，連接AC，求tan∠TAC的值． (第10題) 11.如圖，AB是⊙O的直徑，CD與⊙O相切于點C，與AB的延長線交于點D，DE⊥AD且與AC的延長線交于點E. (1)求證：DC＝DE； (2)若tan∠CAB＝，AB＝3，求BD的長． (第11題) 12．如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其他兩邊AC，BC的交點分別為D，E，且＝. (1)試判斷△ABC的形狀，并說明理由； (2)已知半圓的半徑為5，BC＝12，求sin∠ABD的值． (第12題) 13．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，對角線AC，BD交于點E，點O在線段AE上，⊙O過B，D兩點，若OC＝5，OB＝3，且cos∠BOE＝. 求證：CB是⊙O的切線． (第13題) 答案 1．C 2．解：∵AD⊥BC，∴tan ∠BAD＝. ∵tan ∠BAD＝，AD＝12，∴＝，∴BD＝9. ∴CD＝BC－BD＝14－9＝5， ∴在Rt△ADC中，AC＝＝＝13， ∴sin C＝＝. 3．解：(1)解方程組得 ∴點B的坐標為(1，2)． (第3題) (2)如圖，過點B作BC⊥x軸于點C，由x＋＝0，解得x＝－3， 則A(－3，0)，∴OA＝3， ∴AB＝＝2， ∴sin ∠BAC＝＝＝， 即sin ∠BAO＝. 4．D　5.B　6.30°　7.B 8．解：∵b2＝(c＋a)(c－a)，∴b2＝c2－a2， 即c2＝a2＋b2，∴△ABC是直角三角形． ∵5b－4c＝0，∴5b＝4c， 則＝，設b＝4k，c＝5k，那么a＝3k. ∴sin A＋sin B＝＋＝. 9．解：∵CD是斜邊AB的中線， ∴CD＝AD＝BD. ∴∠DCB＝∠B. ∵∠ACD＋∠DCB＝90°，∠ACD＋∠CAH＝90°， ∴∠DCB＝∠CAH＝∠B. 在Rt△ACH中，AH＝2CH， ∴AC＝CH.∴sin B＝sin ∠CAH＝＝. 1．分析：本題可利用求解，在原式的分子、分母上同時除以cos A，把原式化為關(guān)于的代數(shù)式，再整體代入求解即可．也可直接由＝4，得到sin A與cos A之間的數(shù)量關(guān)系，代入式子中求值． 解：(方法1)原式＝＝. ∵＝4，∴原式＝＝. (方法2)∵＝4，∴sin A＝4cos A. ∴原式＝＝＝. 2．分析：要求sin α＋cos α的值，必須利用銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系找出它與已知條件的關(guān)系再求解． 解：∵sin α－cos α＝，∴(sin α－cos α)2＝， 即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝. ∴1－2sin αcos α＝，即2sin αcos α＝. ∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋＝. 又∵α為銳角，∴sin α＋cos α＞0. ∴sin α＋cos α＝. 3．C　點撥：∵(45°－α)＋(45°＋α)＝90°，∴sin (45°－α)＝cos (45°＋α)，sin2(45°－α)＋sin2(45°＋α)＝cos2(45°＋α)＋sin2(45°＋α)＝1. 4．解：tan 1°·tan 2°·tan 3°·…·tan 88°·tan 89°＝(tan 1°·tan 89°)·(tan 2°·tan 88°)·…·(tan 44°·tan 46°)·tan 45°＝1. 點撥：互余的兩角的正切值的積為1，即若α＋β＝90°，則tan α·tan β＝1. 5．解：∵sin2α＋cos2α＝1，sin α·cos α＝， ∴(sin α＋cos α)2＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝1＋2×＝. ∵α為銳角，∴sin α＋cos α＞0.∴sin α＋cos α＝. 又∵sin α·cos α＝， ∴以sin α，cos α為根的一元二次方程為x2－x＋＝0. 點撥：此題用到兩方面的知識：(1)公式sin2α＋cos2α＝1與完全平方公式的綜合運用；(2)若x1＋x2＝p，x1x2＝q，則以x1，x2為兩根的一元二次方程為x2－px＋q＝0 6．解：∵sin α是方程2x2－7x＋3＝0的一個根， ∴由求根公式，得 sin α＝＝. ∴sin α＝或sin α＝3(不符合題意，舍去)． ∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－＝. 又∵cos α＞0，∴cos α＝. ∴＝＝ ＝|sin α－cos α|＝＝. 一、1.D 2．D　點撥：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥AB，∴∠B＝∠ACD.∴cos B＝＝，∴AB＝.∴AC＝＝. 3．A　4.B 二、5.　6.　7.　8. 三、 (第9題) 9．(1)證明：如圖，過點C作CF⊥AB于點F，在Rt△ABC中，tan B＝＝，∴BC＝2AC＝2.∴AB＝＝＝5，∴CF＝＝＝2.∴AB為⊙C的切線． (2)解：S陰影＝S△ABC－S扇形CDE＝AC·BC－＝××2－＝5－π. 10．(1)證明：∵AB＝AT，∴∠ABT＝∠ATB＝45°，∴∠BAT＝90°，即AT為⊙O的切線． (2)解：如圖，過點C作CD⊥AB于D，則∠TAC＝∠ACD，tan ∠TOA＝＝＝2，設OD＝x，則CD＝2x，OC＝x＝OA.∵AD＝AO－OD＝(－1)x，∴tan ∠TAC＝tan ∠ACD＝＝＝. (第10題) 　　　 (第11題) 11．(1)證明：連接OC，如圖，∵CD是⊙O的切線， ∴∠OCD＝90°，∴∠ACO＋∠DCE＝90°. 又∵ED⊥AD，∴∠EDA＝90°，∴∠EAD＋∠E＝90°.∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠EAD，故∠DCE＝∠E，∴DC＝DE. (2)解：設BD＝x，則AD＝AB＋BD＝3＋x，OD＝OB＋BD＝1.5＋x.在Rt△EAD中，∵tan ∠CAB＝，∴ED＝AD＝(3＋x)．由(1)知，DC＝(3＋x)．在Rt△OCD中，OC2＋CD2＝DO2，則1.52＋＝(1.5＋x)2，解得x1＝－3(舍去)，x2＝1，故BD＝1. 12．解：(1)△ABC為等腰三角形，理由如下：連接AE，如圖， ∵＝，∴∠DAE＝∠BAE，即AE平分∠BAC. ∵AB為直徑，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC， ∴△ABC為等腰三角形． (2)∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC， ∴BE＝CE＝BC＝×12＝6. 在Rt△ABE中，∵AB＝10，BE＝6，∴AE＝＝8. ∵AB為直徑，∴∠ADB＝90°， ∴S△ABC＝AE·BC＝BD·AC，∴BD＝＝. 在Rt△ABD中，∵AB＝10，BD＝， ∴AD＝＝，∴sin ∠ABD＝＝＝. (第12題) 　　　 (第13題) 13．證明：如圖，連接OD，可得OB＝OD. ∵AB＝AD，∴AE垂直平分BD. 在Rt△BOE中，OB＝3，cos ∠BOE＝，∴OE＝. ∴CE＝OC－OE＝. 根據(jù)勾股定理得BE＝＝. 在Rt△CEB中，BC＝＝4. ∵OB＝3，BC＝4，OC＝5，∴OB2＋BC2＝OC2， ∴∠OBC＝90°，即BC⊥OB，∴CB為⊙O的切線．