數(shù)學(xué) 練習(xí)（2009北京高考）1若正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60°角，則到底面的距離為 A B1 C D（2005北京高考）2在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是（ ）ABC/平面PDF BDFPAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC（2010北京高考）3正方體ABCD-的棱長為2，動(dòng)點(diǎn)E、F在棱上，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DPz（x，y，z大于零），則四面體PEFQ的體積A與x，y，z都有關(guān)B與x有關(guān)，與y，z無關(guān)C與y有關(guān)，與x，z無關(guān)D與z有關(guān)，與x，y無關(guān)（2008北京高考）4如圖，動(dòng)點(diǎn)在正方體的對角線上過點(diǎn)作垂直于平面的直線，與正方體表面相交于設(shè)，則函數(shù)的圖象大致是ABCDMNPA1B1C1D1yxAOyxBOyxCOyxDO（2011北京高考）5如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，.（）求證：平面（）若求與所成角的余弦值；（）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長.證明：（）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以ACBD.又因?yàn)镻A平面ABCD.所以PABD.所以BD平面PAC.（）設(shè)ACBD=O.因?yàn)锽AD=60°，PA=PB=2,所以BO=1，AO=CO=.如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則P（0，2），A（0，0），B（1，0，0），C（0，0）.所以設(shè)PB與AC所成角為，則.（）由（）知設(shè)P（0，t）（t>0），則設(shè)平面PBC的法向量,則所以令則所以同理，平面PDC的法向量因?yàn)槠矫鍼CB平面PDC,所以=0，即解得所以PA=（2010北京高考）6如圖，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，CEAC,EFAC,AB=，CE=EF=1.（）求證：AF平面BDE；（）求證：CF平面BDE；（）求二面角A-BE-D的大小。（）略（）因?yàn)檎叫蜛BCD和四邊形ACEF所在的平面 相互垂直，且CEAC， 所以CE平面ABCD. 如圖，以C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系C-.則C（0，0，0），A（，0），B（0，0）,D(, 0, 0)，E(0, 0, 1)， .所以，.所以,所以,. 所以BDE.（）二面角的大小為.（2009北京高考）7如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且（）求證：平面；（）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大小；（）是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由。（）略（）與平面所成的角的大小.（）在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AEPC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.ACBP（2008北京高考）8如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大?。唬ǎ┣簏c(diǎn)到平面的距離（）略（）二面角的大小為（）點(diǎn)到平面的距離為（2007北京高考）9如圖，在中，斜邊可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角動(dòng)點(diǎn)的斜邊上（I）求證：平面平面；（II）當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線與所成角的大小；（III）求與平面所成角的最大值（I）略（II）異面直線與所成角的大小為（III）CD與平面所成角的最大值為（2006北京高考）10如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（）求證：；（）求證：平面；（）求二面角的大小.（）略 （）略（）二面角的大小為（2005北京高考）11 如圖, 在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，DC2，AA1，ADDC，ACBD, 垂足未E， （I）求證：BDA1C； （II）求二面角A 1BDC 1的大?。?（III）求異面直線 AD與 BC 1所成角的大?。↖）略（II）二面角A1BDC1的大小為90°（III）異面直線AD與BC1所成角的大小為OABDC（2011西城一模）12如圖，四面體的三條棱兩兩垂直，,，為四面體外一點(diǎn).給出下列命題.不存在點(diǎn),使四面體有三個(gè)面是直角三角形不存在點(diǎn),使四面體是正三棱錐存在點(diǎn),使與垂直并且相等存在無數(shù)個(gè)點(diǎn),使點(diǎn)在四面體的外接球面上其中真命題的序號是A B C D（2011東城一模文）13空間點(diǎn)到平面的距離如下定義：過空間一點(diǎn)作平面的垂線，該點(diǎn)和垂足之間的距離即為該點(diǎn)到平面的距離平面，兩兩互相垂直，點(diǎn)，點(diǎn)到，的距離都是，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)，滿足到的距離是到到點(diǎn)距離的倍，則點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)到的距離的最小值為A BC D（2011西城一模）14ABCDFE如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平面所成角為.（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明你的結(jié)論.（）證明： 因?yàn)槠矫妫瑈BCAEzDFxM所以. 2分因?yàn)槭钦叫?，所以，從而平? 4分（）解：因?yàn)閮蓛纱怪?，所以建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示.因?yàn)榕c平面所成角為，即， 5分所以.由可知，. 6分則，所以， 7分設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因?yàn)槠矫?，所以為平面的法向量，所? 9分因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角的余弦值為. 10分（）解：點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè).則，因?yàn)槠矫妫裕?11分即，解得. 12分此時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，符合題意. 13分（2011海淀一模）15在如圖的多面體中，平面，,，是的中點(diǎn)() 求證：平面；() 求證：；() 求二面角的余弦值. 解：()證明：，. 又,是的中點(diǎn)， ， 四邊形是平行四邊形， . 2分 平面，平面， 平面. 4分() 解法1證明：平面，平面， 又，平面， 平面. 5分過作交于，則平面.平面， . 6分，四邊形平行四邊形，又，四邊形為正方形， ， 7分又平面，平面,平面. 8分平面,. 9分解法2平面，平面，平面，又,兩兩垂直. 5分以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.由已知得，（0，0，2），（2，0，0），（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），（2，2，0）. 6分，7分, 8分. 9分()由已知得是平面的法向量. 10分設(shè)平面的法向量為，即，令,得. 12分設(shè)二面角的大小為，則， 13分二面角的余弦值為 14分（2011海淀二模）15在一個(gè)正方體中，為正方形四邊上的動(dòng)點(diǎn)，為底面正方形的中心，分別為中點(diǎn)，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，線段與互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)的值有 A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)（2011海淀二模）16如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個(gè)邊長為的正三角形，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn) ()求證：平面； ()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值（）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，F(xiàn)四邊形為正方形，為的中點(diǎn)，為的交點(diǎn)， ， .2分，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：連接，為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由已知得：，則，.平面，平面，平面； 9分() 設(shè)平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個(gè)法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. （2011西城二模）17如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（）若點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，求證:平面；（）求二面角的余弦值；M（）設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使得，并證明你的結(jié)論.（）證明：因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對角線的交點(diǎn)，所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以是的中位線，. 1分因?yàn)槠矫?平面,ABCODxyzM所以平面. 3分（）解：由題意，因?yàn)?，所以? 4分又因?yàn)榱庑危裕?建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.所以 6分設(shè)平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因?yàn)?所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. 8分，因?yàn)槎娼鞘卿J角，所以二面角的余弦值為. 9分（）解：因?yàn)槭蔷€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 13分（也可以答是線段的三等分點(diǎn)，或）（2010海淀一模）18如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，,且,O為中點(diǎn).（）證明：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值；（）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點(diǎn)的位置.解：（）證明：因?yàn)椋襉為AC的中點(diǎn)， 所以.1分 又由題意可知，平面平面，交線為，且平面， 所以平面.4分（）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由題意可知，又所以得:則有： 6分 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有 ，令，得 所以. 7分 . 9分 因?yàn)橹本€與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以. 10分（）設(shè) 11分即，得所以得 12分 令平面，得 ， 13分 即得即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn). 14分（2009海淀一模）19如圖，在Rt中，點(diǎn)、分別在線段、上，且，將沿折起到的位置，使得二面角的大小為. （）求證：； （）當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成角的大小； （）求四棱錐體積的最大值. （）證明：在Rt中，. 又， 平面. 2分 又平面，. 4分（）解法一：過點(diǎn)作交于，連結(jié).平面，平面，.，平面.是在平面內(nèi)的射影. 是與平面所成的角. 6分點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， .，是二面角的平面角. 8分二面角的大小為，.在Rt中，.在Rt中，.在Rt中，.與平面所成角的大小為. 9分解法二：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系點(diǎn)為線段的中點(diǎn)， .，是二面角的平面角.二面角的大小為，. 6分可得，.則，且平面的法向量n.與平面所成角的大小為. 9分（）設(shè)，則.同（）可求得.在等腰直角三角形中，. . 11分 設(shè)，則，由得.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，四棱錐體積取最大值為.14分（2009海淀二模）19在棱長均為2的正四棱錐中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則下列命題正確的是 （ ）A平面，且到平面的距離為B平面，且到平面的距離為C與平面不平行，且與平面所成的角大于 D與平面不平行，且與平面所成的角小于（2009西城二模）20如圖，在直三棱柱中，D是AA1的中點(diǎn).() 求異面直線與所成角的大小；() 求二面角C-B1D-B的大小； C B C1 B1 A A1 D() 在B1C上是否存在一點(diǎn)E，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.方法一：（）解：如圖，設(shè)F為BB1的中點(diǎn)，連接AF，CF，C G BC1 B1 A A1 D E F 直三棱柱，且D是AA1的中點(diǎn)， ， 為異面直線與所成的角或其補(bǔ)角. -2分 在Rt中，AB=1，BF=1， ，同理， 在中， 在中， 異面直線與所成的角為. -4分（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內(nèi)的射影，為二面角C-B1D-B的平面角. -7分在中, , BC=1, ，,二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）答：在B1C上存在一點(diǎn)E，使得平面，此時(shí).-10分以下給出證明過程.證明：如圖，設(shè)E為B1C的中點(diǎn)，G為BC的中點(diǎn)，連接EG，AG，ED， 在中， ，且， 又，且， ， 四邊形為平行四邊形， ， -12分 又平面ABC，平面ABC， 平面. -14分 方法二：（）如圖，以B為原點(diǎn)，BC、BA、BB1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz， 則， , -2分，異面直線與所成的角為. -4分 C B C1 B1 A A1 Dxy z E G（）解：直三棱柱， 又，平面. -5分 如圖，連接BD，在中，即，是CD在平面內(nèi)的射影， 為二面角C-B1D-B的平面角. -7分， 二面角C-B1D-B的大小為. -9分（）同方法一. -14分（2010西城一模）21如圖，平面平面，直線，是內(nèi)不同的兩點(diǎn),是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且直線, 分別是線段的中點(diǎn). 下列判斷正確的是A當(dāng)lBACDMN··時(shí)，兩點(diǎn)不可能重合B兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線與直線不可能相交C當(dāng)與相交，直線平行于時(shí)，直線可以與相交D當(dāng)是異面直線時(shí)，可能與平行ABCDEP（2010西城一模）22在四棱錐中，側(cè)面底面，為中點(diǎn)，底面是直角梯形，.（）求證：平面； （）求證：平面；（）設(shè)為側(cè)棱上一點(diǎn)，試確定的值，使得二面角為.解：（）取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，在梯形中，所以，四邊形為平行四邊形，所以， 2分平面，平面，所以平面. 4分（）平面底面，所以平面，所以.5分ABCDEPyxzQF如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.則6分，所以，8分又由平面，可得，所以平面.9分（）平面的法向量為，10分，所以，11分設(shè)平面的法向量為，由，得所以，所以，12分所以，13分注意到，得. 14分 （2012海淀高三期末）23在四棱錐中，底面是直角梯形，平面平面.（）求證：平面； （）求平面和平面所成二面角（小于）的大小；（）在棱上是否存在點(diǎn)使得平面？若存在，求的值；若不存在，請說明理由. （）證明：因?yàn)?，所以 . 1分因?yàn)?平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 3分（）解：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)椋?所以 .因?yàn)?平面平面，平面平面，平面，所以 平面. 4分如圖，以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，在平面內(nèi)過垂直于的直線為軸，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系不妨設(shè).由直角梯形中可得，.所以 ，.設(shè)平面的法向量.因?yàn)?所以 即令，則.所以 . 7分取平面的一個(gè)法向量n.所以 .所以 平面和平面所成的二面角（小于）的大小為. 9分（）解：在棱上存在點(diǎn)使得平面，此時(shí). 理由如下： 10分取的中點(diǎn)，連接，.則 ，.因?yàn)?，所以 .因?yàn)?，所以 四邊形是平行四邊形.所以 .因?yàn)?，所以 平面平面. 13分因?yàn)?平面，所以 平面. 14分1D2C3D4B12D13D15C19D21B（2012西城高三期末）24如圖，在直三棱柱中，是的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成 角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由 （）證明：連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié).由 是直三棱柱，得 四邊形為矩形，為的中點(diǎn).又為中點(diǎn)，所以為中位線，所以 ， 2分因?yàn)?平面，平面， 所以 平面. 4分（）解：由是直三棱柱，且，故兩兩垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系. 5分設(shè)，則.所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，得. 7分易知平面的法向量為. 8分由二面角是銳角，得 . 9分所以二面角的余弦值為.（）解：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn).因?yàn)樵诰€段上，故可設(shè)，其中.所以 ，. 11分因?yàn)榕c成角，所以. 12分即，解得，舍去. 13分所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角. 14分第 27頁，共27頁