課時 21 圖形的相似,第四單元 三角形,中考對接,1. 2016湘潭 如圖21-1,直線abc,點B是線段AC的中點. 若DE=2,則EF=. 圖21-1,2. 2018永州 如圖21-2,在ABC中,點D是邊AB上的一點,ADC=ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為() A. 2B. 4C. 6D. 8 圖21-2,3. 2017湘潭 如圖21-3,在ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點,則ADE與ABC的面積比SADE:SABC=. 圖21-3,4. 2018邵陽 如圖21-4,點E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點,連接AE,交CD于點F,連接BF. 寫出圖中任意一對相似三角形: . 圖21-4,ADFECF(答案不唯一),5. 2018邵陽 如圖21-5,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點A(2,4),過點A作ABx軸于點B,將AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的,得到COD,則CD的長度是() 圖21-5 A. 2B. 1C. 4D. 2,【答案】A 【解析】點A(2,4),過點A作ABx軸于點B,將AOB以坐標(biāo)原點O為位似中心縮小為原圖形的,得到COD,C(1,2),CD的長度是2.故選A.,6. 2017長沙 如圖21-6,ABO三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,4),B(6,0),O(0,0). 以原點O為位似中心,把這個三角形縮小為原來的,可以得到ABO. 已知點B的坐標(biāo)是(3,0),則點A的坐標(biāo)是. 圖21-6,【答案】(1,2) 【解析】根據(jù)位似變換的性質(zhì)及位似比可知點A的坐標(biāo)為(1,2).,7. 2018岳陽 如圖21-7,九章算術(shù)是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問:該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是步. 圖21-7,考點自查,bc,黃金分割點,黃金分割比,0.618,1. 定理:兩條直線被一組平行線所截,所得的對應(yīng)線段成比例. 2. 推論:(1)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應(yīng)線段成比例; (2)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,截得的三角形與原三角形相似.,三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下:,1. 相似三角形的性質(zhì): (1)相似三角形的對應(yīng)邊;(2)相似三角形的對應(yīng)角;(3)相似三角形的周長之比等于;(4)相似三角形的面積之比等于 ;(5)相似三角形對應(yīng)邊上的高之比、對應(yīng)邊上的中線之比、對應(yīng)角的平分線之比等于. 2. 相似多邊形的性質(zhì): (1)相似多邊形的對應(yīng)邊; (2)相似多邊形的對應(yīng)角; (3)相似多邊形的周長之比等于; (4)相似多邊形的面積之比等于 .,成比例,相等,相似比,相似比的平方,相似比,成比例,相等,相似比,相似比的平方,1. 位似圖形的性質(zhì):(1)位似圖形上的任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離的比等于; (2)位似圖形對應(yīng)點的連線或延長線相交于點; (3)位似圖形的對應(yīng)邊(或在一條直線上); (4)位似圖形的對應(yīng)角相等. 2. 以坐標(biāo)原點為中心的位似變換:在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似是以原點為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于. 3. 位似作圖:(1)確定位似中心O; (2)連接圖形各頂點與位似中心O并延長; (3)按照相似比取點; (4)順次連接各點,所得圖形就是所求作的圖形.,相似比,一,平行,k或-k,易錯警示,【失分點】 1. 在相似三角形中,對應(yīng)邊成比例,在解題中所列的比例式錯誤,而導(dǎo)致計算錯誤. 2. 在位似中,要準(zhǔn)確理解位似比(位似比就是新圖形的邊與原圖形的對應(yīng)邊的長度之比)的含義,作圖時要分清在位似中心的同側(cè)還是異側(cè)作圖.,例1 2018南充 如圖21-9,在ABC中,DEBC,BF平分ABC,交DE的延長線于點F,若AD=1,BD=2,BC=4,則EF=. 圖21-9,方法模型 在成比例的線段中,要注意:(1)平行線分線段成比例中各線段的對應(yīng)關(guān)系;(2)分清平行線分線段成比例與相似三角形中對應(yīng)邊成比例的關(guān)系.,拓展1 2017婁底 湖南地圖出版社首發(fā)的豎版中華人民共和國地圖,將南海諸島與中國大陸按同一比例尺16700000表示出來,使讀者能夠全面、直觀地認識我國版圖,若在這種地圖上量得我國南北的圖上距離是82. 09厘米,則我國南北的實際距離大約是千米(結(jié)果精確到1千米).,【答案】5500 【解析】我國南北的實際距離大約是82.096700000=550003000(cm)5500(km).,拓展2 2018舟山 如圖21-10,直線l1l2l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點D,E,F,已知=,則=. 圖21-10,2,拓展3 2018綿陽 如圖21-11,在ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC邊上的中線BE,AD垂直相交于點O,則AB=.,例2 2017常德 如圖21-12,在RtABC中,BAC=90,點D在BC上,連接AD,過點B作BFAD分別交AD于點E,AC于點F. (1)如圖,若BD=BA,求證:ABEDBE. (2)如圖,若BD=4DC,取AB的中點G,連接CG交AD于點M,求證:GM=2MC;AG2=AFAC.,拓展1 2018江西 如圖21-17,在ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CDAB,BD是ABC的平分線,BD交AC于點E. 求AE的長.,拓展2 2015湘潭 如圖21-18,在RtABC中,C=90,將ACD沿AD折疊,使點C落在斜邊AB上的點E處. (1)求證:BDEBAC. (2)已知AC=6,BC=8,求線段AD的長度.,拓展1 2018銅仁 已知ABCDEF,相似比為2,且ABC的面積為16,則DEF的面積為() A. 32B. 8C. 4D. 16 拓展2 2018重慶A卷 要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為5 cm,6 cm和9 cm,另一個三角形的最短邊長為2. 5 cm,則它的最長邊長為() A. 3 cmB. 4 cmC. 4. 5 cmD. 5 cm,C,C,拓展3 2018玉林 如圖21-20,AOB=60,OA=OB,動點C從點O出發(fā),沿射線OB方向移動,以AC為邊在右側(cè)作等邊三角形ACD,連接BD,則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是() 圖21-20 A. 平行B. 相交 C. 垂直D. 平行、相交或垂直,拓展4 2018荊州 如圖21-21,將鋼球放置到一個倒立的空心透明圓錐中,測得相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示(圖中數(shù)據(jù)單位:cm),則鋼球的半徑為cm(圓錐的壁厚忽略不計). 圖21-21,例4 2017涼山州 如圖21-22,若要在寬AD為20米的城南大道兩邊安裝路燈,路燈的燈臂BC長2米,且與燈柱AB成120角,路燈采用圓錐形燈罩,燈罩的軸線CO與燈臂BC垂直,當(dāng)燈罩的軸線CO通過公路路面的中心線時照明效果最好,此時,路燈的燈柱AB的高應(yīng)該設(shè)計為多少米(結(jié)果保留根號)?,方法模型 相似三角形主要應(yīng)用于求線段的長,在解題中一般轉(zhuǎn)化為兩個三角形,結(jié)合相似三角形對應(yīng)邊成比例或?qū)?yīng)角相等,列出比例式或構(gòu)造出直角三角形,利用方程的思想,解出其結(jié)果即可.,拓展1 2018紹興 學(xué)校門口的欄桿如圖21-23,欄桿從水平位置BD繞點O旋轉(zhuǎn)到AC的位置,已知ABBD,CDBD,垂足分別為B,D,AO=4 m,AB=1. 6 m,CO=1 m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為() A. 0. 2 mB. 0. 3 m C. 0. 4 mD. 0. 5 m,拓展2 2018泰安 九章算術(shù)是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步而見木?”用今天的話說,大意是:如圖21-24,四邊形DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點,南門K位于ED的中點,出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點D在直線AC上)?請你計算KC的長為步.,拓展3 2015邵陽 如圖21-25,某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度. 他們通過調(diào)整測量位置,使斜邊DF與地面保持平行,并使邊DE與旗桿頂端A在同一直線上. 已知DE=0. 5 m,EF=0. 25 m,目測點D到地面的距離DG=1. 5 m,到旗桿的水平距離DC=20 m,求旗桿的高度. 圖21-25,例5 如圖21-26,在1010的正方形網(wǎng)格中,點A,B,C,D均在格點上,以點A為位似中心畫四邊形ABCD,使它與四邊形ABCD位似,且相似比為2. (1)在圖中畫出四邊形ABCD; (2)ACD是三角形.,方法模型 位似圖形中的相似比是指“變換后的圖形中對應(yīng)點到相似中心的距離”與“原圖形中的對應(yīng)點到相似中心的距離”之比. 當(dāng)相似比k1時,變換后所得到的圖形是放大的圖形;當(dāng)相似比k<1時,變換后所得到的圖形是縮小的圖形;當(dāng)相似比k=1時,變換后所得到的圖形與原圖形全等.,拓展1 2018濱州 在平面直角坐標(biāo)系中,線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2). 若以原點O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD,則點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為() A. (5,1)B. (4,3)C. (3,4)D. (1,5),拓展2 如圖21-27,以原點O為位似中心,把OAB放大后得到OCD,求OAB與OCD的相似比. 圖21-27,拓展3 2017涼山州 如圖21-28,在邊長為1的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系,已知ABC三個頂點分別為A(-1,2),B(2,1),C(4,5). (1)畫出ABC關(guān)于x軸對稱的A1B1C1; (2)以原點O為位似中心,在x軸的上方畫出A2B2C2,使A2B2C2與ABC位似,且相似比為2,并求出A2B2C2的面積.,