第四節(jié) 第一類曲面積分 分布圖示 ★ 引例 曲面狀物質(zhì)的質(zhì)量 ★ 第一類曲面積分的概念 ★ 第一類曲面積分的計算 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題10-4 ★ 返回 內(nèi)容要點 一、第一類曲面積分的概念與性質(zhì) 定義1 設(shè)曲面是光滑的, 函數(shù)在上有界, 把任意分成n小塊(同時也表示第i小塊曲面的面積),在上任取一點作乘積 并作和 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值時, 這和式的極限存在, 則稱此極限值為在上第一類曲面積分或?qū)γ娣e的曲面積分，記為 (4.2) 其中稱為被積函數(shù)，稱為積分曲面. 二、對面積的曲面積分的計算法 (4.3) 例題選講 對面積的曲面積分的計算法 例1 計算曲面積分 其中是球面被平面截出的頂部. 解 的方程為 在面上的投影區(qū)域 又利用極坐標(biāo) 故有 例2 (E01) 計算 其中為平面被柱面所截得 的部分. 解 積分曲面其投影域 故 例3 (E02) 計算其中是由平面及所圍四面體的整個邊界曲面(見圖10-4-4). 解 記邊界曲面在及上的部分依次為及 則有 注意到在上，被積函數(shù)故上式右端前三項積分等于零. 在上，所以 從而其中是在面上的投影區(qū)域. 例4 計算 其中為拋物面 解 根據(jù)拋物面對稱性,及函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)面對稱,有 例5 計算 其中是圓柱面平面及所圍成的空間立體的表面. 解 在面上得投影域 于是 將投影到面上，得投影域 所以 例6 計算 為內(nèi)接于球面的八面體 表面. 解 被積函數(shù)關(guān)于三個坐標(biāo)面和原點均對稱.積分曲面也具有對稱性,故原積分 其中在面上的投影為而所以 例7 (E03) 求球面含在圓柱體內(nèi)部的那部分面積. 解 如圖10-4-5所示，根據(jù)對稱性知，所求曲面面積是第一卦限上面積的4倍. 的投影區(qū)域 曲面方程故 所以 例8 設(shè)有一顆地球同步軌道衛(wèi)星, 距地面的高度為km，運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同. 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑km). 解 取地心為坐標(biāo)原點，地心到通訊衛(wèi)星重心的連線為軸，建立如圖坐標(biāo)系.衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面倍半頂角為的圓錐面所截得的部分. 的方程為 它在面上的投影區(qū)域 于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為 將代入上式得 由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 由以上結(jié)果可知，衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積，故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面. 課堂練習(xí) 求半徑為的球的表面積.