高考數(shù)學(xué)（浙江專用）,8.2空間點、線、面的位置關(guān)系,考點空間點、線、面的位置關(guān)系,考點清單,考向基礎(chǔ) 一、空間點、線、面的位置關(guān)系 1.公理1、公理2及其推論、公理3,2.空間兩條直線的位置關(guān)系,3.平行直線 平行于同一條直線的兩條直線互相平行,這就是公理4.用符號表示如下:設(shè)a、b、c為三條不同的直線,ab且bc,則ac. 4.等角定理 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.,二、異面直線及所成角的計算 1.異面直線 (1)定義:不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線. (2)性質(zhì):兩條異面直線既不相交又不平行. 2.兩條異面直線所成的角 過空間任意一點分別引兩條異面直線的平行直線,那么這兩條相交直線所成的銳角(或直角)叫做這兩條異面直線所成的角,若記這個角為,則.,考向突破,考向一空間點、線、面位置關(guān)系的判定,例1(2018浙江浙東北聯(lián)盟期中,16)正四面體ABCD的棱長為6,其中AB平面,E,F分別為線段AD,BC的中點,當正四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)時,線段EF在平面上的射影長的取值范圍是.,解析如圖,設(shè)AC中點為G,連接GF,GE,結(jié)合已知可得GFAB,在正四面體中,有ABCD,又GECD,GEGF,EF2=GE2+GF2,當四面體以AB為軸旋轉(zhuǎn)時,GF平面,GE與GF的垂直關(guān)系保持不變,當CD與平面垂直時,GE在平面上的射影長最短,為0,此時EF在平面上的射影E1F1的長取得最小值3,當CD與平面平行時,GE在平面上的射影長取得最大值3,E1F1取得最大值3,所以線段EF在平面上的射影長的取 值范圍是3,3.,答案3,3,考向二異面直線所成的角,例2(2018浙江9+1高中聯(lián)盟期中,9)已知PABC是正四面體(所有棱長都相等的四面體),E是PA中點,F是BC上靠近點B的三等分點,設(shè)EF與PA、PB、PC所成角分別為、,則() A.B. C.D.,解析分別取AB中點G,AC中點H,連接GE,GF,EH,FH,AF,如圖所示,設(shè)正四面體PABC的棱長為a,則=FEA,=FEG,=FEH,EH=,EG= . 根據(jù)余弦定理可得AF2=a2,GF2=a2,FH2=a2,cos =,cos =,cos =, cos .故選D.,答案D,方法求異面直線所成角的方法 1.定義法 利用定義求異面直線所成的角常采用“平移法”,“平移法”求異面直線所成的角的步驟: (1)平移找角(作角); (2)證明:推出所找(作)的角(或其補角)為異面直線所成的角; (3)求解:利用解三角形求出角的大小,注意異面直線所成的角的范圍. 平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(線段的端點或中點)作平行線平移;利用異面直線所在幾何體的特點,補,方法技巧,形平移.計算異面直線所成的角通常在三角形中進行. 2.向量法 建立空間直角坐標系,轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角(注意角的范圍的區(qū)別).,例(2017浙江溫州2月模擬,8)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABC平面BCD,BAC與BCD均為等腰直角三角形,且BAC=BCD=90,BC=2,點P是線段AB上的動點(不含端點),若線段CD上存在點Q(不含端點),使得異面直線PQ與AC成30的角,則線段PA的長度的取值范圍是( ),A.B. C.D.,解析解法一:如圖,將題圖中的三棱錐補全為一個長方體,在平面ABC內(nèi),過點P作AB的垂線交CE于點R.因為ACAB,PRAB,所以ACPR,因而RPQ即為異面直線PQ與AC所成的角,所以RPQ=.設(shè)AP=x,則 CR=x,在直角三角形PQR中,易求PR=,所以RQ=.在直角三角形 CRQ中,CQ=(0,2),故0<x2<,解得x,故選B.,解法二:以C為原點,CD,CB分別為x軸,y軸建立空間直角坐標系(圖略),則A(0,1,1),B(0,2,0),D(2,0,0).設(shè)Q(y,0,0),=x=x(0,1,-1)=(0,x,-x),其中0|=,即=在y(0,2)上有解,即y2=-2x2(0,4),所以0<x2<, 所以|=x|=,即|.故選B.,答案B,評析本題考查異面直線所成角的作法和運算,解三角形,解不等式等基礎(chǔ)知識,考查割補法和坐標法等數(shù)學(xué)方法,考查空間想象能力和函數(shù)與方程思想.,