5.2平面向量基本定理及向量 的坐標(biāo)表示,知識梳理,雙擊自測,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=1e1+2e2.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐標(biāo)運算 (1)向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點是坐標(biāo)原點,則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1). (2)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2), a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),知識梳理,雙擊自測,3.平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0.,知識梳理,雙擊自測,1.已知向量a=(2,3),b=(x,-6),若ab,則x的值為() A.2B.-2C.-4D.-3,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,2.(教材改編)已知ABCD的頂點A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),則頂點D的坐標(biāo)為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.下列向量組能夠作為基底表示向量a=(-2,3)的序號是. (2,1),(-4,-2);(0,1),(1,2);(1,4),(2,5),答案,解析,知識梳理,雙擊自測,4.已知向量a=(3,2),b=(0,-1),則2a+b與2a-b的坐標(biāo)分別為.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.已知向量a=(x,y),b=(-1,2),且a+b=(1,3),則|a-2b|等于.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點評 1.能作為基底的兩個向量必須是不共線的. 2.向量的坐標(biāo)與點的坐標(biāo)不同,向量平移后,其起點和終點的坐標(biāo)都變了,但向量的坐標(biāo)不變. 3.求向量的夾角要注意向量的方向,否則,得到的是向量夾角的補角. 4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成 ,因為x2,y2有可能等于0,應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0.,考點一,考點二,考點三,平面向量基本定理的應(yīng)用(考點難度),答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)(2017課標(biāo)高考)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若 ,則+的最大值為(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運算. 2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練(1)(2017四川七中三診)設(shè)D為ABC中BC邊上的中點,且O為AD邊上靠近點A的三等分點,則(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)如圖,A,B,C是圓O上的三點,CO的延長線與線段BA的延長線,A.(0,1) B.(1,+) C.(-,-1) D.(-1,0),答案,解析,考點一,考點二,考點三,平面向量的坐標(biāo)運算(考點難度),求3a+b-3c; 求滿足a=mb+nc的實數(shù)m,n;,解: 由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8). 3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),考點一,考點二,考點三,考點一,考點二,考點三,(2)設(shè)向量a=(n,1),b=(2,1),且|a-b|2=|a|2+|b|2,則n=(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進(jìn)行的.解題過程中要注意方程思想的運用及運算法則的正確使用.兩個向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對應(yīng)相同.,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練(1)若向量a=(1,2),b=(1,-1),則2a+b=.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,答案,解析,考點一,考點二,考點三,平面向量共線的坐標(biāo)表示(考點難度),答案,解析,考點一,考點二,考點三,(2)在等腰直角三角形ABC中,AC=BC,ABC所在平面內(nèi)的點D滿足: ,若ACD=60,則t的值為(),答案,解析,考點一,考點二,考點三,方法總結(jié)1.向量共線的兩種表示形式: (1)ab(b0)a=b(R); (2)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0. 2.兩向量共線的充要條件的作用: (1)判斷兩向量是否共線(平行),可解決三點共線的問題; (2)利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.,考點一,考點二,考點三,對點訓(xùn)練(1)設(shè)向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,則實數(shù)x的值為.,答案,解析,考點一,考點二,考點三,答案,解析,思想方法坐標(biāo)法在向量中的應(yīng)用 平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性,比如向量運算的平行四邊形法則、三角形法則、平面向量基本定理等都可以認(rèn)為是從幾何的角度來研究向量的特征.平面直角坐標(biāo)系是溝通平面向量的代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的橋梁.若對某些平面向量的問題運用好坐標(biāo)系這一工具,將收到化繁為簡,事半功倍的效果.,解析:根據(jù)題意知,A,B1,P,B2構(gòu)成一個矩形AB1PB2, 以AB1,AB2所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系,如圖所示. 設(shè)|AB1|=a,|AB2|=b,點O的坐標(biāo)為(x,y),則點P的坐標(biāo)為(a,b).,(x-a)2+y2=1,y2=1-(x-a)21. y21. 同理x21. x2+y22.,答題指導(dǎo)本例中利用直線的垂直關(guān)系建立坐標(biāo)系,利用向量坐標(biāo)法解決模長問題.,解析:以C為原點,BC所在直線為x軸,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,高分策略1.若a,b為非零向量,當(dāng)ab時,a,b的夾角為0或180,求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯. 2.向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關(guān),只與其相對位置有關(guān). 3.三個結(jié)論向量中必須掌握的三個結(jié)論: (1)若a與b不共線,a+b=0,則=0;,(3)平面向量的基底中一定不含零向量.,