8.2空間幾何體的表面積與體積,知識梳理,考點自診,1.多面體的表(側)面積 因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側面積就是,表面積是側面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式,所有側面的面積之和,2rl,rl,(r1+r2)l,知識梳理,考點自診,3.柱、錐、臺和球的表面積和體積,Sh,4R2,知識梳理,考點自診,1.與體積有關的幾個結論 (1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. (2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等. 2.長方體的外接球 (1)球心:體對角線的交點.,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)如果圓柱的一個底面積為S,側面展開圖是一個正方形,那么這個圓柱的側面積是2S. () (2)設長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3a2. () (3)若一個球的體積為 ,則它的表面積為12. () (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC繞直線BC旋轉一周所形成的幾何體的體積為9. () (5)將圓心角為 ,面積為3的扇形作為圓錐的側面,則圓錐的表面積等于4. (),知識梳理,考點自診,2.(2018山東春季聯(lián)考,19)已知矩形ABCD,AB=2BC,把這個矩形分別以AB、BC所在直線為軸旋轉一周,所成幾何體的側面積分別記為S1、S2,則S1與S2的比值等于 () A. B.1C.2D.4,B,解析:設BC=a,AB=2a,所以S1=2(2a)a,S2=2(a)2a, S1S2=11,故選B.,3.(2018全國1,文5)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1,O2,過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為(),B,解析:過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面為圓柱的軸截面,設底面半徑為r,母線長為l,因為軸截面是面積為8的正方形,所以 ,所以圓柱的表面積為2rl+2r2=8+4=12.,知識梳理,考點自診,4.(2018河北武邑中學四模,7)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則這個幾何體的外接球體積為(),B,知識梳理,考點自診,知識梳理,考點自診,5.(2018遼寧大連調研,14)如圖為一個半球挖去一個圓錐后的幾何體的三視圖,則剩余部分與挖去部分的體積之比為.,11,考點1,考點2,考點3,空間幾何體的表面積 例1(1)(2018河南模擬,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(),A,考點1,考點2,考點3,(2)(2018河南一模,6)九章算術是我國古代數(shù)學名著,在九章算術中將底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”,若某“陽馬”的三視圖如圖所示,其中主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形,則該“陽馬”的表面積為(),C,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,(2)由三視圖知該幾何體是側棱垂直于底面的四棱錐,如圖所示; 主視圖和左視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形, 故四棱錐的底面是正方形,且邊長為1,其中一條側棱PD底面ABCD,且側棱AD=1,考點1,考點2,考點3,思考求幾何體的表面積的關鍵是什么? 解題心得1.以三視圖為載體考查幾何體的體積,解題的一般思路是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構成,并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系,然后在直觀圖中求解. 2.求旋轉體體積的一般思路是理解所得旋轉體的幾何特征,確定得到計算體積所需要的幾何量. 3.計算柱、錐、臺的體積的關鍵是根據(jù)條件找出相應的底面積和高. 4.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補體法、轉化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法,應熟練掌握.,考點1,考點2,考點3,對點訓練1(1)(2018東北師范大學附屬中學五模,7)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中主視圖是半徑為1的半圓,則該幾何體的表面積為(),C,考點1,考點2,考點3,(2)(2018廣東深圳二模,6)一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓,則這個幾何體的表面積是() A.16B.14C.12D.8,A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,空間幾何體的體積(多考向) 考向1公式法求體積 例2(2018四川成都診斷,8)某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是() A.2B.4C.6D.8,C,解析:由三視圖可得,該幾何體是底面為直角梯形的柱體,其中棱柱的高為2,底面積為 (1+2)2=3,可得幾何體的體積為V=32=6,故選C.,考點1,考點2,考點3,思考由三視圖求解幾何體體積的解題策略是什么? 解題心得1.若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體,則可直接利用公式進行求解. 2.若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解. 3.若以三視圖的形式給出幾何體,則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.,考點1,考點2,考點3,對點訓練2(2018黑龍江仿真模擬(十),8)在四棱錐P-ABCD中, PA底面ABCD,底面ABCD為正方形,PA=AB,該四棱錐被一平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(),B,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向2割補法求體積 例3(2018廣東廣州調研,14)已知E,F分別是棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中點,則四棱錐C1-B1EDF的體積為.,考點1,考點2,考點3,解析: (方法一)如圖所示,連接A1C1,B1D1交于點O1, 連接B1D,EF,過點O1作O1HB1D于點H. 因為EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF, 所以A1C1平面B1EDF. 所以C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離. 易知平面B1D1D平面B1EDF, 又平面B1D1D平面B1EDF=B1D,所以O1H平面B1EDF, 所以O1H等于四棱錐C1-B1EDF的高. 因為B1O1HB1DD1,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考割補法求體積適用于何種題型?割補法的割補原則是什么? 解題心得1.當一個幾何體形狀不規(guī)則時,無法直接運用體積公式求解,一般通過分割和補形.將原幾何體分割或補形為較易的能利用公式計算體積的幾何體,從而求得原幾何體的體積. 2.割補法的原則是將不易求體積的幾何體轉化為易求體積的幾個幾何體,但要根據(jù)題意仔細分割,一般分割為已知底面面積或高易求的幾個簡單幾何體,以免分割的幾何體求不出體積.,考點1,考點2,考點3,對點訓練3(1)(2018山東沂水一中三模,9)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(),D,考點1,考點2,考點3,(2)(2018黑龍江哈爾濱六中押題(一),8)如圖為一個多面體的三視圖,則該多面體的體積為(),B,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向3等體積轉化法求體積 例4(2018河北阜城月考,5)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,各側棱和底面的邊長均為a,點D是CC1上任意一點,連接A1B,BD,A1D,AD,則三棱錐A-A1BD的體積為 (),B,考點1,考點2,考點3,思考等體積轉化法適用于什么題型? 解題心得1.等體積轉化法適用于三棱錐體積的求解,若題目條件所給的棱錐的底面和高不易求,則考慮轉化為底面和高易求的方向求解. 2.此法利用原理:VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC.,考點1,考點2,考點3,對點訓練4 (2018北京豐臺區(qū)期中,5)如圖所示,在邊長為2的正方形紙片ABCD中,AC與BD相交于O,剪去AOB,將剩余部分沿OC,OD折疊,使OA,OB重合,則四面體D-AOC的體積為(),A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向4組合體的體積求解 例5(2016山東,文5改編)一個由半球和四棱錐組成的幾何體,其三視圖如下圖所示,則該幾何體的體積為 (),C,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考組合體的體積如何求解? 解題心得組合體的體積,一般是利用分割法將其分割為幾個常見的簡單幾何體的體積求解.,考點1,考點2,考點3,對點訓練5(2018湖北荊州統(tǒng)考,9)如圖,網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長是1,在其上用粗實線和粗虛線畫出了某幾何體的三視圖,其中俯視圖中的曲線是四分之一的圓弧,則這個幾何體的體積可能是(),B,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,球及其與球有關的切、接問題,A,考點1,考點2,考點3,思考如何求解球的表面積、體積及與球有關的切、接問題中的表面積、體積問題? 解題心得1.求解球的表面積、體積問題的關鍵是求出球的半徑,一般方法是依據(jù)條件建立關于半徑的等式. 2.多面體的外接球和內切球問題,其解題關鍵在于確定球心在多面體中的位置,找到球的半徑或直徑與多面體相關元素之間的關系,結合原有多面體的特性求出球的半徑,然后利用球的表面積和體積公式進行正確計算.常見的方法是將多面體還原到正方體或長方體中再去求解. 3.球的截面問題,首先需理解兩個基本性質:球的任何一個截面都是圓面,球心和截面圓的圓心的連線垂直于截面.然后利用性質解三角形求出球的半徑.,考點1,考點2,考點3,對點訓練6 (2018黑龍江統(tǒng)考七模,6)如圖ABCD-A1B1C1D1是邊長為1的正方體,S-ABCD是高為1的正四棱錐,若點S,A1,B1,C1,D1在同一個球面上,則該球的表面積為 (),D,考點1,考點2,考點3,解析:如圖所示,連接A1C1,B1D1,交點為M,連接SM,易知球心O在直線SM上,設球的半徑R=OS=x,在RtOMB1中,考點1,考點2,考點3,1.求柱體、錐體、臺體與球的表面積、體積的問題,要結合它們的結構特點與平面幾何知識來解決. 2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面. 3.與球有關的組合體問題,一種是內切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關元素間的數(shù)量關系,并作出合適的截面圖.,考點1,考點2,考點3,1.求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積問題易出錯. 2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時,由于幾何體的還原不準確及幾何體的結構特征認識不準易導致錯誤. 3.易混側面積與表面積的概念.,答案:B,典例2九章算術是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有委米依垣內角,下周八尺,高五尺.問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內墻角處堆放米(如圖,米堆為一個圓錐的四分之一),米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺,問米堆的體積和堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1.62立方尺,圓周率約為3,估算出堆放的米約有() A.14斛B.22斛 C.36斛D.66斛 答案:B,答案:D,典例4我國南北朝時期偉大的數(shù)學家祖暅提出了著名的祖暅原理:“冪勢既同,則積不容異”.“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高,意思是兩等高立方體,若在每一等高處的截面積都相等,則兩立方體體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所對應的幾何體滿足“冪勢同”,則該不規(guī)則幾何體的體積為(),答案:C,解析:由三視圖知,該幾何體是從一個正方體中挖去一個半圓柱,所以三視圖對應幾何體的體積V=8-. 根據(jù)祖暅原理,不規(guī)則幾何體的體積V=V=8-.,答案:A,解析:如圖,由三視圖可知,天池盆上底面半徑為12寸,下底面半徑為6寸,高為12寸, 積水深6寸,反思提升幾個例題很好地詮釋了考綱中對數(shù)學文化內容的要求,加強對中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的考查,引導考生提高人文素養(yǎng)、傳承民族精神,樹立民族自信心和自豪感,試題的價值遠遠超出試題本身.以中國古代數(shù)學典籍、九章算術、祖暅原理為背景,考查幾何體的體積、三視圖及體積計算.不僅檢測了考生的基礎知識和基本技能,又展示了中華民族的優(yōu)秀傳統(tǒng)文化.,(二)簡單幾何體的內切球與外接球問題 簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點,此類問題實質是解決球的半徑長或確定球心O的位置問題,其中球心的確定是關鍵.,1.外接球的問題 (1)必備知識: 簡單多面體外接球的球心的結論. 結論1:正方體或長方體的外接球的球心是其體對角線的中點. 結論2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點. 結論3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點. 結論4:正棱錐的外接球的球心在其高上,具體位置可通過計算找到. 構造正方體或長方體確定球心. 利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質,確定球心. (2)方法技巧:幾何體補成正方體或長方體.,2.內切球問題 (1)必備知識: 內切球球心到多面體各面的距離均相等,外接球球心到多面體各頂點的距離均相等. 正多面體的內切球和外接球的球心重合. 正棱錐的內切球和外接球球心都在高線上,但不一定重合. (2)方法技巧:體積分割是求內切球半徑的通用做法.,3.典例剖析 典例1已知A,B是球O的球面上兩點,AOB= 90,C為該球面上的動點.若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為() A.36B.64C.144D.256 答案:C 解析:由AOB面積確定,若三棱錐O-ABC的底面OAB上的高最大,則其體積才最大.因為高最大為半徑R,所以VO-ABC= R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.,典例2(2018山西太原三模,7)下圖是某四棱錐的三視圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則該四棱錐的外接球的表面積為(),答案:C,解析:,典例3在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(),答案:B 解析:由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個面相切.,變式探究1若將本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球O的表面積.,解 將直三棱柱補形為長方體ABEC-A1B1E1C1, 則球O是長方體ABEC-A1B1E1C1的外接球. 體對角線BC1的長為球O的直徑. 因此 . 故S球=4R2=169.,變式探究2若將本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”,若該棱錐的高為4,底面邊長為2,求該球的體積.,典例4(2018湖北荊州統(tǒng)考,11)在直三棱柱A1B1C1-ABC中, A1B1=3, B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,則其外接球與內切球的表面積之比為(),答案:A,反思提升1.幾何體補成正方體或長方體的情況. (1)正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐都可構造正方體. (2)三條側棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都可構造長方體. (3)若已知棱錐含有線面垂直關系,則可將棱錐補成長方體或正方體. 2.(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時,一般過球心及接、切點作截面,把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題,再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解. (2)切球一般利用體積相等,把幾何體分割成以幾何體各個面為底面的小棱錐,求解切球半徑,接球半徑常用到截面圓半徑和球心距以及求半徑的直角三角形求解.也常常找到球心位置,利用平面幾何知識求解.,