第一節(jié)變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計算,1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率,2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),教材研讀,4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,5.導(dǎo)數(shù)的運算法則,考點一 導(dǎo)數(shù)的計算,考點二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考點突破,教材研讀,1.函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率 函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率為,若x=x2-x1,y= f(x2)-f(x1),則平均變化率可表示為.,2.函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù) (1)定義 稱函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率=為函數(shù)y =f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù),記作f (x0)或y,即f (x0)= . (2)幾何意義 函數(shù)f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)f (x0)的幾何意義是在曲線y=f(x)上點(x0, f(x0),處的切線的斜率.相應(yīng)地,切線方程為y-f(x0)=f (x0)(x-x0). 提醒(1)曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線是指P為切點,斜率為k=f (x0) 的切線,是唯一的一條切線. (2)曲線y=f(x)過點P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過P,點P可以是切點,也可以不是切點,而且這樣的直線可能有多條. (3)函數(shù)y=f(x)在某點處的導(dǎo)數(shù)、曲線y=f(x)在某點處切線的斜率和傾斜角,這三者是可以相互轉(zhuǎn)化的.,3.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) 稱函數(shù)f (x)=為f(x)的導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)有時也記作y.,4.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,5.導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)f(x)g(x)=f (x)g(x); (2)f(x)g(x)=f (x)g(x)+f(x)g(x); (3)=(g(x)0).,知識拓展 1.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù),偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù). 2.af(x)+bg(x)=af (x)+bg(x). 3.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f (x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化方向,其大小|f (x)|反映了變化快慢,|f (x)|越大,曲線在這點處的切線越“陡”.,1. 判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”) (1)f (x0)與f(x0)表示的意義相同.( ) (2)f (x0)是導(dǎo)函數(shù)f (x)在x=x0處的函數(shù)值.( ) (3)曲線的切線不一定與曲線只有一個公共點.( ) (4)因為(ln x)=,所以=ln x.( ),答案(1)(2)(3)(4),2.下列求導(dǎo)運算正確的是() A.=1+B.(log2x)= C.(3x)=3xlog3eD.(x2cos x)=-2sin x,答案B=x+=1-;(3x)=3xln 3;(x2cos x)=(x2)cos x+x2(cos x)=2xcos x-x2sin x.故選B.,B,3.有一機器人的運動方程為s(t)=t2+(t是時間,s是位移),則該機器人在時 刻t=2時的瞬時速度為() A.B.C.D.,答案D由題意知,機器人的速度方程為v(t)=s(t)=2t-,故當(dāng)t=2時, 機器人的瞬時速度為v(2)=22-=.,D,4.函數(shù)y=f(x),y=g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示,則y=f(x),y=g(x)的圖象可能是(),D,答案D由y=f (x)的圖象知y=f (x)在(0,+)上單調(diào)遞減,所以函數(shù)y=f(x)的切線的斜率在(0,+)上也單調(diào)遞減,故排除A、C.又由圖象知y= f (x)與y=g(x)的圖象在x=x0處相交,所以y=f(x)與y=g(x)的圖象在x=x0處的切線的斜率相同,故排除B.,5.若f(x)=xex,則f (1)=.,答案2e,解析f (x)=ex+xex,f (1)=2e.,6.曲線y=1-在點(-1,-1)處的切線方程為.,答案2x-y+1=0,解析y=,y|x=-1=2.故所求切線方程為2x-y+1=0.,導(dǎo)數(shù)的計算,考點突破,典例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=x2sin x; (2)y=ln x+; (3)y=xsincos.,解析(1)y=(x2)sin x+x2(sin x) =2xsin x+x2cos x. (2)y= =(ln x)+ =-. (3)y=xsincos,=xsin(4x+) =-xsin 4x, y=-sin 4x-x4cos 4x =-sin 4x-2xcos 4x.,方法技巧 1.求導(dǎo)數(shù)的總原則:先化簡函數(shù)的解析式,再求導(dǎo). 2.具體方法: (1)遇到連乘的形式,先展開化為多項式形式,再求導(dǎo);(2)遇到根式形式,先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,再求導(dǎo);(3)遇到復(fù)雜的分式,先將分式化簡,再求導(dǎo);(4)遇到三角函數(shù)形式,先利用三角恒等變換對函數(shù)變形,再求導(dǎo);(5)遇到復(fù)合函數(shù),先確定復(fù)合關(guān)系,由外向內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時可換元.,提醒對解析式中含有導(dǎo)數(shù)值的函數(shù),即解析式類似f(x)=f (x0)g(x)+h(x)(x0為常數(shù))的函數(shù),解決這類問題的關(guān)鍵是明確f (x0)是常數(shù),其導(dǎo)數(shù)值為0.因此先求導(dǎo)數(shù)f (x),令x=x0,即可得到f (x0)的值,進而得到函數(shù)解析 式,求得所求導(dǎo)數(shù)值.,1-1f(x)=x(2 018+ln x),若f (x0)=2 019,則x0等于() A.e2B.1C.ln 2D.e,答案Bf (x)=2 018+ln x+x=2 019+ln x,故由f (x0)=2 019,得2 019+ln x0=2 019,則ln x0=0,解得x0=1.,B,1-2若函數(shù)f(x)=ax4+bx2+c滿足f (1)=2,則f (-1)=.,答案-2,解析f (x)=4ax3+2bx, f (x)為奇函數(shù),又f (1)=2,f (-1)=-2.,1-3已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),且滿足f(x)=2xf (1)+ln x,則f (1)=.,答案-1,解析f(x)=2xf (1)+ln x, f (x)=2f (1)+, f (1)=2f (1)+1, 即f (1)=-1.,導(dǎo)數(shù)的幾何意義 命題方向一求切線方程,典例2(1)(2018課標(biāo)全國,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為() A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x (2)已知函數(shù)f(x)=xln x,若直線l過點(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,則直線l的方程為.,答案(1)D(2)x-y-1=0,解析(1)本題主要考查函數(shù)的奇偶性及導(dǎo)數(shù)的幾何意義. f(x)=x3+(a-1)x2+ax為奇函數(shù),a-1=0,得a=1, f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y=x,故選D. (2)因為點(0,-1)不在曲線f(x)=xln x上, 所以設(shè)切點為(x0,y0). 又因為f (x)=1+ln x,所以,解得 所以切點為(1,0),所以f (1)=1+ln 1=1. 所以直線l的方程為y=x-1, 即x-y-1=0.,命題方向二求切點坐標(biāo) 典例3函數(shù)f(x)=xln x在點P(x0,f(x0)處的切線與直線x+y=0垂直,則切點P的坐標(biāo)為.,答案(1,0),解析f(x)=xln x,f (x)=ln x+1,由題意得f (x0)(-1)=-1,即f (x0)=1,ln x0+1=1,ln x0=0,x0=1, f(x0)=0,即P(1,0).,命題方向三求參數(shù)的值 典例4(2019河北唐山質(zhì)檢)已知直線y=kx+1與曲線y=x3+ax+b相切于點A(1,3),則b的值為() A.3B.-3C.5D.-5,答案A,解析由題意知,3=k+1,k=2,又(x3+ax+b)|x=1=(3x2+a)|x=1=3+a,3+a=2,a=-1,3=1-1+b,即b=3.,命題方向四兩曲線的公切線 典例5已知曲線f(x)=x3+ax+在x=0處的切線與曲線g(x)=-ln x相切,求a 的值.,解析由f(x)=x3+ax+得, f(0)=,f (x)=3x2+a,則f (0)=a, 曲線y=f(x)在x=0處的切線方程為y-=ax. 設(shè)直線y-=ax與曲線g(x)=-ln x相切于點(x0,-ln x0),又g(x)=-,命題方向五導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的圖象 典例6(1)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y= f (x)的圖象如圖所示,則該函數(shù)的圖象是(),B,(2)已知y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),如圖,直線y=kx+2是曲線y=f(x)在x=3處的切線,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g(3)=.,答案(1)B(2)0,規(guī)律總結(jié) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用及求解思路 (1)求切線方程時,注意區(qū)分曲線在某點處的切線和曲線過某點的切線,曲線y=f(x)在點P(x0, f(x0)處的切線方程是y-f(x0)=f (x0)(x-x0);求過某點的切線方程,需先設(shè)出切點坐標(biāo),再依據(jù)已知點在切線上求解. (2)已知切線方程(或斜率)求切點的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率,從而求出切點的橫坐標(biāo),將橫坐標(biāo)代入函數(shù)解析式求出切點的縱坐標(biāo).,(3)已知切線方程(或斜率)求參數(shù)值的關(guān)鍵就是列出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線斜率的方程. (4)函數(shù)圖象在某一點處的切線斜率的變化情況反映函數(shù)圖象在相應(yīng)點處的變化情況,由切線的傾斜程度可以判斷出函數(shù)圖象升降得快慢. (5)求兩條曲線的公切線的方法: 利用其中一條曲線在某點處的切線與另一條曲線相切,列出關(guān)系式求解.,利用公切線得出關(guān)系式. 設(shè)公切線l在y=f(x)上的切點P1(x1,y1),在y=g(x)上的切點P2(x2,y2),則f (x1)= g(x2)=.,2-1(2019河北唐山五校聯(lián)考)曲線y=在點(0,-1)處的切線與兩坐標(biāo) 軸圍成的封閉圖形的面積為() A.B.C.D.1,答案B易得y=,所以y|x=0=2,所以曲線在點(0,-1)處的切線方程 為y+1=2x,即y=2x-1,與兩坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為(0,-1),所以與 兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=|-1|=,故選B.,B,2-2(2019安徽合肥質(zhì)量檢測)已知直線2x-y+1=0與曲線y=aex+x相切(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)),則實數(shù)a的值是() A.B.1C.2D.e,答案B由題意知y=aex+1=2,則a0,x=-ln a,代入曲線方程得y=1-ln a,所以切線方程為y-(1-ln a)=2(x+ln a),即y=2x+ln a+1=2x+1a=1.,B,2-3(2019福建泉州一模)若一直線與曲線y=ln x和曲線x2=ay(a0)相切于同一點P,則a的值為.,答案2e,解析設(shè)切點P(x0,y0),由y=ln x,得y=,由x2=ay,得y=x,則有解 得a=2e.,