5.2平面向量基本定理 及向量的坐標(biāo)表示,知識梳理,考點自診,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a=.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組.把一個向量分解為兩個的向量,叫做把向量正交分解. 2.平面向量的坐標(biāo)表示 在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為基底,a為坐標(biāo)平面內(nèi)的任意向量,以坐標(biāo)原點O為起點 =a,由平面向量基本定理可知,有且只有一對實數(shù)x,y,使得 =xi+yj,因此a=xi+yj,我們把實數(shù)對叫做向量a的坐標(biāo),記作a=.,不共線,1e1+2e2,基底,互相垂直,(x,y),(x,y),知識梳理,考點自診,3.平面向量的坐標(biāo)運算 (1)向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點是坐標(biāo)原點,則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo). 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則 =. (2)向量的加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=, a-b=,a=,4.平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab .,(x2-x1,y2-y1),(x1+x2,y1+y2),(x1-x2,y1-y2),(x1,y1),x1y2-x2y1=0,知識梳理,考點自診,5.向量的夾角 已知兩個向量a和b,作 ,則AOB= (0180)叫做向量a與b的夾角.如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直,記作.,1.若a與b不共線,a+b=0,則=0. 2.已知 (,為常數(shù)),則A,B,C三點共線的充要條件是+=1.,非零,ab,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底. () (2)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變. () (3)在ABC中,向量 的夾角為ABC. () (4)已知向量a,b是一組基底,若實數(shù)1,1,2,2滿足1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2. () (5)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件是 . (),知識梳理,考點自診,2.(2017河北石家莊二模,文9)已知向量a=(1,m),b=(m,1),則“m=1”是“ab”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,A,解析:當(dāng)m=1時,a=b,可以推出ab;當(dāng)ab時,m2=1,解得m=1,不能推出m=1.所以“m=1”是“ab”的充分不必要條件.故選A.,知識梳理,考點自診,C,4.(2018衡水中學(xué)月考,13)已知向量 ,b=(k,1),若ab,則k=.,1,5.(2018全國3,文13)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,).若c(2a+b),則=.,解析:2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,), 由c(2a+b),得4-2=0,得= .,考點1,考點2,考點3,考點四,平面向量基本定理的應(yīng)用,C,2,D,考點1,考點2,考點3,考點四,考點1,考點2,考點3,考點四,考點1,考點2,考點3,考點四,考點1,考點2,考點3,考點四,思考用平面向量基本定理解決問題的一般思路是什么? 解題心得1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算. 2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是:先選擇一組基底,再通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來.,考點1,考點2,考點3,考點四,C,考點1,考點2,考點3,考點四,考點1,考點2,考點3,平面向量的坐標(biāo)運算,D,A,C,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考利用向量的坐標(biāo)運算解決問題的一般思路是什么? 解題心得向量的坐標(biāo)運算主要是利用加、減、數(shù)乘運算法則進行的.解題過程中,常利用“向量相等,則其坐標(biāo)相同”這一原則,通過列方程(組)來進行求解.,考點1,考點2,考點3,C,B,考點1,考點2,考點3,平面向量共線的坐標(biāo)表示 例3(1)(2018河南洛陽三模)已知平面向量a=(2,-1),b=(1,1),c=(-5, 1),若(a+kb)c,則實數(shù)k的值為(),B,考點1,考點2,考點3,思考向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些應(yīng)用? 解題心得1.向量共線的兩種表示形式 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用. 2.兩個向量共線的充要條件的應(yīng)用 判斷兩個向量是否共線(或平行),可解決三點共線的問題;另外,利用兩個向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練3(1)(2018衡水中學(xué)押題二,13)向量a=(m,n),b=(-1,2),若向量a,b共線,且|a|=2|b|,則mn的值為. (2)已知向量a=(1,2),b=(x,6),且ab,則|a-b|=. (3)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若pq,則角C的大小為.,-8,60,