第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件,1.命題的概念,2.四種命題及其關(guān)系,3.充分條件與必要條件,教材研讀,考點(diǎn)一 四種命題的相互關(guān)系及真假判斷,考點(diǎn)二 充分條件、必要條件的判斷,考點(diǎn)三 充分條件、必要條件的探求及應(yīng)用,考點(diǎn)突破,教材研讀,1.命題的概念 用語言、符號(hào)或式子表達(dá)的,可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語句叫做真命題,判斷為假的語句叫做假命題.,2.四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題間的相互關(guān)系 (2)四種命題的真假關(guān)系,(i)兩個(gè)命題互為逆否命題,它們有相同的真假性; (ii)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題,它們的真假性沒有關(guān)系. 提醒在判斷命題之間的關(guān)系時(shí),要先分清命題的條件與結(jié)論,再比較每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系.要注意四種命題關(guān)系的相對(duì)性.,3.充分條件與必要條件 (1)若pq,則p是q的充分條件,q是p的必要條件. (2)若pq,且q/ p,則p是q的充分不必要條件. (3)若p/ q,且qp,則p是q的必要不充分條件. (4)若pq,則p與q互為充要條件. (5)若p/ q,且q/ p,則p是q的既不充分也不必要條件. 提醒不能將“若p,則q”與“pq”混為一談,只有“若p,則q”為真命題時(shí),才有“pq”.,知識(shí)拓展 1.充分、必要條件的兩個(gè)結(jié)論 (1)若p是q的充分不必要條件,q是r的充分不必要條件,則p是r的充分不必要條件; (2)若p是q的充分不必要條件,則q是p的充分不必要條件.,2.充分、必要條件與集合的關(guān)系,1.判斷正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”) (1)“x2+2x-3<0”是命題.( ) (2)命題“若p,則q”的否命題是“若p,則q”.( ) (3)若原命題為真,則這個(gè)命題的否命題、逆命題、逆否命題中至少有一個(gè)為真.( ) (4)當(dāng)q是p的必要條件時(shí),p是q的充分條件.( ),答案(1)(2)(3)(4),2.(教材習(xí)題改編)下列命題是真命題的是() A.矩形的對(duì)角線相等 B.若ab,cd,則acbd C.若整數(shù)a是素?cái)?shù),則a是奇數(shù) D.命題“若x20,則x1”的逆否命題,答案A,A,3.命題“若ab,則a-1b-1”的否命題是() A.若ab,則a-1b-1 B.若ab,則a-1<b-1 C.若ab,則a-1b-1 D.若a<b,則a-1<b-1,答案C,C,4.命題“若x2y2,則xy”的逆否命題是() A.若xy,則x2y2 D.若xy,則x2y2,答案B,B,5.設(shè)xR,則“2-x0”是“(x-1)21”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案B由2-x0,得x2,由(x-1)21,得0 x2,所以“2-x0”是“(x-1)21”的必要不充分條件.,B,6.(教材習(xí)題改編)命題p:x2=3x+4,命題q:x=,則p是q的條 件.,答案必要不充分,解析當(dāng)x2=3x+4時(shí),x=-1或4,當(dāng)x=-1時(shí),x=不成立,即p/ q. 當(dāng)x=時(shí),x0,3x+40,則x2=3x+4,即qp, 所以p是q的必要不充分條件.,四種命題的相互關(guān)系及真假判斷,考點(diǎn)突破,典例1(1)命題“若x2+y2=0,x,yR,則x=y=0”的逆否命題是() A.若xy0,x,yR,則x2+y2=0 B.若x=y0,x,yR,則x2+y20 C.若x0且y0,x,yR,則x2+y20 D.若x0或y0,x,yR,則x2+y20,D,(2)有以下命題: “若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題; “面積相等的兩個(gè)三角形全等”的否命題; “若m1,則x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題; “若AB=B,則AB”的逆否命題. 其中真命題為() A.B.C.D.,D,答案(1)D(2)D(3)C,(3)原命題:“設(shè)a,b,cR,若ab,則ac2bc2”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中,真命題共有() A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.4個(gè),解析(1)將原命題的條件和結(jié)論否定,并互換位置即可. (2)“若x,y互為倒數(shù),則xy=1”是真命題; “面積不相等的兩個(gè)三角形一定不全等”是真命題; 若m1,則=4-4m0,所以原命題是真命題,故其逆否命題也是真命題; 由AB=B,得BA,所以原命題是假命題,故其逆否命題也是假命題.所以選D.,C,(3)原命題:若c=0,則不成立,由等價(jià)命題同真同假知其逆否命題也為假;逆命題為“設(shè)a,b,cR,若ac2bc2,則ab”.由ac2bc2知c20,由不等式的基本性質(zhì)得ab,逆命題為真,由等價(jià)命題同真同假知否命題也為真,真命題共有2個(gè).故選C.,規(guī)律總結(jié) 1.寫一個(gè)命題的其他三種命題時(shí)的兩個(gè)注意點(diǎn) (1)對(duì)于不是“若p,則q”形式的命題,需先改寫成“若p,則q”的形式; (2)若命題有大前提,寫其他三種命題時(shí)需保留大前提. 四種命題的關(guān)系具有相對(duì)性,一旦一個(gè)命題定為原命題,相應(yīng)地也就有了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”.,2.判斷命題的真假的兩種方法 (1)直接判斷:判斷一個(gè)命題為真命題,要給出嚴(yán)格的推理證明過程;判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉出一個(gè)反例. (2)間接判斷:當(dāng)一個(gè)命題不易直接判斷真假時(shí),可轉(zhuǎn)化為判斷其等價(jià)命題的真假.,1-1已知命題:如果x<3,那么x<5;命題:如果x3,那么x5;命題:如果x5,那么x3.關(guān)于這三個(gè)命題之間的關(guān)系中,下列說法正確的是 () 命題是命題的否命題,且命題是命題的逆命題; 命題是命題的逆命題,且命題是命題的否命題; 命題是命題的否命題,且命題是命題的逆否命題. A.B. C.D.,答案A,A,1-2已知集合P=,Q=,記原命題:“若x P,則xQ”,那么在原命題及其逆命題、否命題、逆否命題中,真命題的個(gè)數(shù)是() A.0B.1C.2D.4,C,答案C因?yàn)镻=,Q= ,所以P Q, 所以原命題:“xP,則xQ”為真命題, 則原命題的逆否命題為真命題. 原命題的逆命題:“xQ,則xP”為假命題, 則原命題的否命題為假命題, 所以真命題的個(gè)數(shù)為2.,充分條件、必要條件的判斷,典例2(1)(2018北京,4,5分)設(shè)a,b,c,d是非零實(shí)數(shù),則“ad=bc”是“a,b,c,d成等比數(shù)列”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 (2)(2019成都模擬)已知銳角ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則“sin Asin B”是“tan Atan B”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,B,C,答案(1)B(2)C,解析(1)本題主要考查充分條件與必要條件,等比數(shù)列的性質(zhì). 由a,b,c,d成等比數(shù)列,可得ad=bc,即必要性成立; 當(dāng)a=1,b=-2,c=-4,d=8時(shí),ad=bc,但a,b,c,d不成等比數(shù)列,即充分性不成立,故選B. (2)因?yàn)锳BC是銳角三角形,所以sin Asin BAB0tan Atan B, 所以“sin Asin B”是“tan Atan B”的充要條件,故選C.,方法技巧 判斷充要條件的三種常用方法 (1)定義法:直接判斷“若p,則q”“若q,則p”的真假. (2)等價(jià)法:利用AB與BA,BA與AB,AB與BA的等價(jià)性.對(duì)于條件或結(jié)論為否定式的命題,一般運(yùn)用等價(jià)法. (3)利用集合間的包含關(guān)系判斷:若AB,則A是B的充分條件或B是A的必要條件;若A=B,則A是B的充要條件.,易錯(cuò)警示 判斷充要條件需注意以下三點(diǎn) (1)要分清條件與結(jié)論分別是什么; (2)要從充分性、必要性兩個(gè)方面進(jìn)行判斷; (3)直接判斷比較困難時(shí),可舉出反例說明.,2-1(2019河北石家莊質(zhì)量檢測(cè))已知p:-1<x<2,q:log2x<1,則p是q成立的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,答案B由log2x<1,解得0<x<2,所以-1<x<2是log2x<1的必要不充分條件,故選B.,B,2-2設(shè)a,b是實(shí)數(shù),則“ab”是“a2b2”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件,答案Dab不能推出a2b2,例如a=-1,b=-2;a2b2也不能推出ab,例如a=-2,b=1.故“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要條件.,D,2-3(2018天津,4,5分)設(shè)xR,則“<”是“x3<1”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要條件,A,答案A本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷. 由<得-<x-<,解得0<x<1. 由x3<1得x<1.當(dāng)0<x<1時(shí)能得到x<1一定成立;當(dāng)x<1時(shí),0<x<1不一定成立.所以“<”是“x3<1”的充分而不必要條件.,充分條件、必要條件的探求及應(yīng)用,典例3(1)(2019湖南湘東五校聯(lián)考)“不等式x2-x+m0在R上恒定成立”的一個(gè)必要不充分條件是() A.mB.00D.m1 (2)已知P=x|x2-8x-200,非空集合S=x|1-mx1+m.若“xP”是“xS”的必要條件,則m的取值范圍是.,C,答案(1)C(2)0,3,解析(1)若不等式x2-x+m0在R上恒成立,則=(-1)2-4m,因 此當(dāng)不等式x2-x+m0在R上恒定成立時(shí),必有m0,但當(dāng)m0時(shí),不一定推出不等式在R上恒成立,故所求的必要不充分條件可以是m0.,(2)由x2-8x-200得-2x10, P=x|-2x10, 由“xP”是“xS”的必要條件,知SP. 則 0m3. 當(dāng)0m3時(shí),“xP”是“xS”的必要條件.,探究(變問法)本例(2)條件不變,若“xP”是“xS”的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.,解析易知P=x|-2x10, 因?yàn)椤皒P”是“xS”的必要不充分條件, 所以PS. 所以-2,10 1-m,1+m. 所以或 所以m的取值范圍是9,+).,方法技巧 根據(jù)充要條件求解參數(shù)范圍的方法 解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件化為集合之間的關(guān)系,然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解.,易錯(cuò)警示 求解參數(shù)的取值范圍時(shí),一定要注意對(duì)區(qū)間端點(diǎn)值的處理,尤其是利用兩個(gè)集合之間的包含關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí),不等式中的等號(hào)能否取得決定著端點(diǎn)值的取舍,處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.,3-1使“a0,b0”成立的一個(gè)必要不充分條件是() A.a+b0B.a-b0 C.ab1D.1,答案A由a0,b0a+b0,反之不成立,而由a0,b0不能推出a-b0,ab1,1,故選A.,A,3-2若“x2-x-60”是“xa”的必要不充分條件,則a的最小值為.,答案3,解析由x2-x-60,解得x3. 因?yàn)椤皒2-x-60”是“xa”的必要不充分條件, 所以x|xa是x|x3的真子集, 即a3,故a的最小值為3.,