第一節(jié) 定積分的概念,一、問題的提出,二、定積分的定義,三、幾何意義,四、小結(jié) 思考題,磚是直邊的長方體,煙囪的截面是彎曲的圓,“直的磚”砌成了“彎的圓”,局部以直代曲,實例1 （求曲邊梯形的面積）,一、問題的提出,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,（四個小矩形）,（九個小矩形）,曲邊梯形如圖所示，,小曲邊梯形的底：,小曲邊梯形的高：,小曲邊梯形的面積：,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,例 1 求在區(qū)間 0, 1 上，以拋物線 y = x2 為曲邊的曲邊三角形的面積,解,分割：,因為定積分存在，對區(qū)間 0, 1 取特殊的分割,將區(qū)間 0, 1 等分成 n 等份, 分點為,每個小區(qū)間的長度,取,則有,實例2 （求變速直線運動的路程）,思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值,間間隔 上 t 的一個連續(xù)函數(shù)，且,求物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程,（1）分割,（2）求和,（3）取極限,路程的精確值,二、定積分的定義,定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意：,三 定積分的幾何意義.,當 f (x) 0，定積分,的幾何意義就是曲線 y = f (x) 直線 x = a， x = b， y = 0 所 圍成的曲邊梯形的面積,當函數(shù) f (x) 0 ， xa, b 時 定積分,就是位于 x 軸下方的曲邊梯形面積的相反數(shù). 即,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,四、定積分的幾何意義,幾何意義：,例1 利用定義計算定積分,解,規(guī)定：,性質(zhì)1：,性質(zhì)2：,性質(zhì)3：,性質(zhì)4：,五、小結(jié),定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,練 習 題,練習題答案,四、小結(jié),定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法：,求近似以直（不變）代曲（變）,取極限,3.定積分的幾何意義及簡單應用,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,Newton, Isaac (1642-1727) England,Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716) German,