第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、 平面之間的位置關(guān)系,.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題,整合主干知識(shí),1平面的基本性質(zhì)及推論 (1)平面的基本性質(zhì)： 基本性質(zhì)1：如果一條直線上的_在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi) 基本性質(zhì)2：經(jīng)過(guò)_的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們_過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線,兩點(diǎn),不在同一直線上,有且只有一條,(2)平面基本性質(zhì)的推論： 推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和_的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 推論2：經(jīng)過(guò)兩條_有且只有一個(gè)平面 推論3：經(jīng)過(guò)兩條_ ，有且只有一個(gè)平面,直線外,相交直線,平行直線,2空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)空間兩直線的位置關(guān)系,0,0,1,(2)平行公理和等角定理 平行公理 平行于_的兩條直線平行用符號(hào)表示：設(shè)a，b，c為三條直線，若ab，bc，則ac. 等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_,同一條直線,相等或互補(bǔ),(3)異面直線所成的角 定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的_叫做異面直線所成的角(或夾角),銳角或直角,3空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,1,0,無(wú)數(shù),0,無(wú)數(shù),1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b() A一定是異面直線B一定是相交直線 C不可能是平行直線 D不可能是相交直線 解析：由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a、b為異面直線相矛盾 答案：C,2已知A、B表示不同的點(diǎn)，l表示直線，、表示不同的平面，則下列推理錯(cuò)誤的是() AAl，A，Bl，Bl BA，A，B，BAB Cl，AlA DA，Al，llA 答案：C,3(2015臺(tái)州模擬)對(duì)于空間中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)”的() A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 解析：若兩條直線異面，則一定無(wú)公共點(diǎn)，兩條直線無(wú)公共點(diǎn)時(shí)，這兩條直線可能平行，故選A. 答案：A,4正方體各面所在平面將空間分成_部分 解析：如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個(gè)側(cè)面所在平面將上面的每一部分再分成三個(gè)部分；前后兩個(gè)側(cè)面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9327部分 答案：27,5如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為_(kāi),解析：連接BD，B1D1，如圖所示，易證EFBD，BDB1D1，故CB1D1就是異面直線B1C與EF所成的角或所成角的補(bǔ)角連接D1C知CB1D1為正三角形，故B1C與EF所成的角為60. 答案：60,聚集熱點(diǎn)題型,典例賞析1 (2015安順模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面 思路索引根據(jù)中位線定理可證明EFCD1，即可證得結(jié)論,平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,解析如圖，連接CD1，EF，A1B， 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)， 所以EFA1B且EFA1B. 又因?yàn)锳1D1BC，且A1D1BC， 所以四邊形A1BCD1是平行四邊形 所以A1BCD1，所以EFCD1， 即EF與CD1確定一個(gè)平面. 且E，F(xiàn)，C，D1，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面,思考本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？,所以四邊形CD1FE是梯形 所以CE與D1F必相交 設(shè)交點(diǎn)為P，如圖， 則PCE平面ABCD， 且PD1F平面A1ADD1. 又因?yàn)槠矫鍭BCD平面A1ADD1AD， 所以PAD，所以CE，D1F，DA交于一點(diǎn),名師講壇 1證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題的方法 (1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)公理3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上 (2)納入直線法：選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上,2點(diǎn)、線共面的常用判定方法 (1)納入平面法：先確定一個(gè)平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi) (2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合 (3)反證法 提醒在選擇已知條件確定平面時(shí)，要看其余的點(diǎn)或線在確定的平面內(nèi)是否能證明,變式訓(xùn)練 1在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào)),解析：圖中，直線GHMN； 圖中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M面GHN， 因此直線GH與MN異面； 圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面； 圖中，G、M、N共面，但H面GMN， 因此GH與MN異面 所以圖、中GH與MN異面 答案：,典例賞析2 (2015江南十校聯(lián)考)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)MAB1，NBC1，且AMBN，有以下四個(gè)結(jié)論：,空間中兩直線的位置關(guān)系,AA1MN；A1C1MN；MN平面A1B1C1D1；MN與A1C1是異面直線其中正確結(jié)論的序號(hào)是_(注：把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上) 思路索引過(guò)M、N作某些垂直于棱的直線找平行關(guān)系或者構(gòu)造平面判定,解析過(guò)N作NPBB1于點(diǎn)P，連接MP，可證AA1平面MNP， AA1MN，正確過(guò)M、N分別作MRA1B1、NSB1C1于點(diǎn)R、S，則當(dāng)M不是AB1的中點(diǎn)、N不是BC1的中點(diǎn)時(shí)，直線A1C1與直線RS相交；當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點(diǎn)時(shí)，A1C1RS，,A1C1與MN可以異面，也可以平行，故錯(cuò)誤由正確知，AA1平面MNP，而AA1平面A1B1C1D1， 平面MNP平面A1B1C1D1，故對(duì)綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是. 答案,拓展提高空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決,變式訓(xùn)練 2如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，,GH與EF平行； BD與MN為異面直線； GH與MN成60角； DE與MN垂直 以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_,解析：如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60角，DEMN. 答案：,典例賞析3 (2015寧波調(diào)研)正方體ABCDA1B1C1D1中 (1)求AC與A1D所成角的大??； (2)若E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小 思路索引(1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計(jì)算(2)可證A1C1與EF垂直,異面直線所成的角,解析(1)如圖所示，連接AB1，B1C，由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角 AB1ACB1C，B1CA60. 即A1D與AC所成的角為60.,(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCDA1B1C1D1中， ACBD，ACA1C1， E、F分別為AB、AD的中點(diǎn)， EFBD，EFAC. EFA1C1. 即A1C1與EF所成的角為90.,(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角 (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之,拓展提高求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn),變式訓(xùn)練,(1)證明：AC平面BCDE； (2)求直線AE與平面ABC所成的角的正切值,(2)解：在直角梯形BCDE中，由BDBC，DC2， 得BDBC，又平面ABC平面BCDE， 所以BD平面ABC. 作EFBD，與CB延長(zhǎng)線交于F，連接AF，則EF平面ABC.,備課札記 _,提升學(xué)科素養(yǎng),(理)平面直線所成的角與三角形內(nèi)角混淆,(注：對(duì)應(yīng)文數(shù)熱點(diǎn)突破之三十四),(2015廣州模擬)已知三棱錐ABCD中，ABCD，且直線AB與CD成60角，點(diǎn)M、N分別是BC、AD的中點(diǎn)，求直線AB和MN所成的角,所以MPN為AB與CD所成的角(或所成角的補(bǔ)角)則MPN60或MPN120， 若MPN60，因PMAB， 所以PMN是AB與MN所成的角(或所成角的補(bǔ)角) 又因ABCD，所以PMPN， 則PMN是等邊三角形，所以PMN60， 即AB與MN所成的角為60. 若MPN120，則易知PMN是等腰三角形 所以PMN30，即AB與MN所成的角為30. 故直線AB和MN所成的角為60或30.,易錯(cuò)分析在MPN中，找不清AB與CD、AB與MN所成的角 只得出MPN60一種情況，而忽略另一種情況MPN120，即混淆了異面直線所成的角與三角形內(nèi)角 防范措施(1)在用平行平移將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角時(shí)，不要忽視對(duì)三角形的內(nèi)角“即為兩異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)”的敘述；也就是平移線段后形成的三角形的內(nèi)角為鈍角時(shí)，其對(duì)應(yīng)的異面直線所成的角為它的補(bǔ)角求異面直線所成的角務(wù)必注意范圍0，90 (2)解三角形時(shí)要注意分析三角形是否為特殊三角形，可使解答簡(jiǎn)單：如本題的等腰三角形,如圖所示，等腰直角三角形ABC中，A90，BC，DAAC，DAAB，若DA1，且E為DA的中點(diǎn)求異面直線BE與CD所成角的余弦值,解：取AC的中點(diǎn)F，連接EF，BF， 在ACD中，E、F分別是AD、AC的中點(diǎn)，EFCD. BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角在RtEAB中，ABAC1，,1兩種方法異面直線的判定方法： (1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線 (2)反證法：假設(shè)共向(相交或平行)，寫(xiě)出矛盾 2三個(gè)作用 (1)公理1的作用：檢驗(yàn)平面；判斷直線在平面內(nèi)； 由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)；由直線的直刻畫(huà)平面的平,(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法 (3)公理3的作用：判定兩平面相交；作兩平面相交的交線；證明多點(diǎn)共線,