第3節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,最新考綱1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.,1.平面的基本性質(zhì),(1)公理1：如果一條直線上的在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). (2)公理2：過 的三點(diǎn)，有且只有一個平面. (3)公理3：如果兩個不重合的平面有公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.,知 識 梳 理,兩點(diǎn),不在同一條直線上,一個,2.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系,3.平行公理(公理4)和等角定理 平行公理：平行于同一條直線的兩條直線. 等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角. 4.異面直線所成的角 (1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線aa，bb，把a(bǔ)與b所成的叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).,互相平行,相等或互補(bǔ),銳角（或直角）,常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒 1.空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，則兩個角相等或互補(bǔ). 2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線互為異面直線. 3.唯一性的幾個結(jié)論： (1)過直線外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知直線垂直. (2)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行. (3)過平面外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直.,1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)兩個平面，有一個公共點(diǎn)A，就說，相交于過A點(diǎn)的任意一條直線.() (2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.() (3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合.() (4)若直線a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線與a異面.(),診 斷 自 測,解析(1)如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，故錯誤. (3)如果兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面相交或重合，故錯誤. (4)由于a不平行于平面，且a，則a與平面相交，故平面內(nèi)有與a相交的直線，故錯誤. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P52B1(2)改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為(),A.30 B.45C.60 D.90 解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角.又B1D1B1CD1C，D1B1C60. 答案C,3.(2018貴陽調(diào)研)是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點(diǎn)，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關(guān)系不可能是() A.垂直 B.相交 C.異面 D.平行 解析依題意，mA，n，m與n異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行. 答案D,4.(一題多解)(2017全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是(),解析法一對于選項(xiàng)B，如圖(1)所示，連接CD，因?yàn)锳BCD，M，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，所以MQCD，所以ABMQ，又AB平面MNQ，MQ平面MNQ，所以AB平面MNQ.同理可證選項(xiàng)C，D中均有AB平面MNQ.因此A項(xiàng)不正確.,圖(1),法二對于選項(xiàng)A，其中O為BC的中點(diǎn)(如圖(2)所示)，連接OQ，則OQAB，因?yàn)镺Q與平面MNQ有交點(diǎn)，所以AB與平面MNQ有交點(diǎn)，即AB與平面MNQ不平行.A項(xiàng)不正確.,答案A,圖(2),5.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面上，且ABCD，則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為_.,解析EF與正方體左、右兩側(cè)面均平行.所以與EF相交的側(cè)面有4個. 答案4,考點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用,【例1】 (1)(2016山東卷)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,解析由題意知a，b，若a，b相交，則a，b有公共點(diǎn)，從而，有公共點(diǎn)，可得出，相交；反之，若，相交，則a，b的位置關(guān)系可能為平行、相交或異面.因此“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要條件. 答案A,證明：四邊形BCHG是平行四邊形； C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？,四邊形BCHG為平行四邊形.,四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG. 由(1)知BG綉CH，EFCH，EF與CH共面. 又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面.,規(guī)律方法1.證明線共面或點(diǎn)共面的常用方法 (1)直接法，證明直線平行或相交，從而證明線共面. (2)納入平面法，先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi). (3)輔助平面法，先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面，再證明其余元素確定平面，最后證明平面，重合. 2.證明點(diǎn)共線問題的常用方法 (1)基本性質(zhì)法，一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個平面的公共點(diǎn)，再根據(jù)基本性質(zhì)3證明這些點(diǎn)都在這兩個平面的交線上. (2)納入直線法，選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.,【訓(xùn)練1】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證：,(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面； (2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn).,證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B. E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFA1B. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面. (2)EFCD1，EF<CD1， CE與D1F必相交， 設(shè)交點(diǎn)為P，如圖所示. 則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直線DA.CE，D1F，DA三線共點(diǎn).,考點(diǎn)二判斷空間兩直線的位置關(guān)系,【例2】 (1)若m，n為兩條不重合的直線，為兩個不重合的平面，則下列命題中正確的是() 若直線m，n都平行于平面，則m，n一定不是相交直線； 若直線m，n都垂直于平面，則m，n一定是平行直線； 已知平面，互相垂直，且直線m，n也互相垂直，若m，則n； 若直線m，n在平面內(nèi)的射影互相垂直，則mn. A. B. C. D.,(2)(2018唐山一中月考)如圖，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填上所有正確答案的序號).,解析(1)對于，m與n可能平行，可能相交，也可能異面，錯誤； 對于，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，m與n一定平行，故正確； 對于，還有可能n或n與相交，錯誤； 對于，把m，n放入正方體中，如圖，取A1B為m，B1C為n，平面ABCD為平面，則m與n在內(nèi)的射影分別為AB與BC，且ABBC.而m與n所成的角為60，故錯誤.,(2)圖中，直線GHMN； 圖中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M平面GHN，NGH，因此直線GH與MN異面； 圖中，連接MG，GMHN， 因此GH與MN共面； 圖中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN， 因此GH與MN異面. 所以在圖中，GH與MN異面. 答案(1)A(2),規(guī)律方法1.異面直線的判定方法： (1)反證法：先假設(shè)兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線異面. (2)定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線. 2.點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認(rèn)識空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系.,【訓(xùn)練2】 (1)(2018哈爾濱一模)下列命題正確的是() A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行 B.若一直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行 C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行 D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行 (2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，則EF與BD1的位置關(guān)系是(),A.相交但不垂直 B.相交且垂直 C.異面 D.平行,解析(1)A選項(xiàng)，兩條直線可能平行，可能異面，也可能相交；B選項(xiàng)，一直線可以與兩垂直平面所成的角都是45；易知C正確；D中的兩平面也可能相交.,答案(1)C(2)D,(2)連接D1E并延長，與AD交于點(diǎn)M，因?yàn)锳1E2ED，可得M為AD的中點(diǎn)，,考點(diǎn)三異面直線所成的角,【例3】 (2017全國卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(),解析將直三棱柱ABCA1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCDA1B1C1D1， 如圖所示，連接AD1，B1D1，BD. 由題意知ABC120，AB2，BCCC11，,在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，,又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角，,答案C,規(guī)律方法1.求異面直線所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三種類型：利用圖中已有的平行線平移；利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移；補(bǔ)形平移. 2.求異面直線所成角的三個步驟 (1)作：通過作平行線，得到相交直線的夾角. (2)證：證明相交直線夾角為異面直線所成的角. (3)求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角.,解析取A1C1的中點(diǎn)E，連接B1E，ED，AE，易知BDB1E. 在RtAB1E中，AB1E為異面直線AB1與BD所成的角.,