經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分,本章重點(diǎn) 1、函數(shù)概念 2、函數(shù)的定義域 3、函數(shù)值的計(jì)算 4、函數(shù)奇偶性的判別,本章難點(diǎn) 復(fù)合函數(shù)的分解,第一篇第一章函 數(shù),一. 函數(shù)概念,函數(shù)是微積分學(xué)的關(guān)鍵概念，沒(méi)有函數(shù)，就沒(méi)有微積分學(xué)。,1.在某一變化過(guò)程中可以取不同數(shù)值的量稱為變量。,【例如】,復(fù)利問(wèn)題,圓的面積,一般用x,y,z,s,t等表示變量。,2.在某過(guò)程中始終同一數(shù)值的量稱為常量,3.變量的取值范圍稱為該變量的變域。,注：變域可用區(qū)間、不等式表示：,【例如】,圓周率,中山到廣州的直線距離S,一般用大寫(xiě)字母X,D,L等表示變域。,一般用a,b,c,k等表示常量。,4、函數(shù)的定義（P-5）,記作：yf (x) ，并稱 y 是 x 的函數(shù)， 其中x是自變量，y是因變量，f是對(duì)應(yīng)規(guī)則。,函數(shù)yf (x) 是兩個(gè)變量之間的關(guān)系， 其中x是自變量，y是因變量，f 是對(duì)應(yīng)規(guī)則。,定義域,值域,對(duì)應(yīng)法則,函數(shù)的定義域：是使函數(shù)有意義的自變量x取值的全體。 也就是自變 量x允許取值的范圍。,二. 求定義域,確定函數(shù)定義域的三條基本要求：,(1) 分式的分母不能為零。即若,則要求,(2) 偶次方根下的表達(dá)式非負(fù)。,即若：,則要求,(3) 對(duì)數(shù)函數(shù)中的真數(shù)表達(dá)式大于零。,即若：,則要求,【例 2.1】,【解】,于是所求的函數(shù)的定義域?yàn)?【例 2.2】,求函數(shù),的定義域。,【解】,要使得表達(dá)式有意義,必須,解這組不等式，得,所以，所求函數(shù)的定義域?yàn)椋?寫(xiě)成區(qū)間的形式，得到定義域：,x,3,2,2,【練習(xí)1】,【解】,公共部分,【練習(xí)2】,【解】,x,3,2,3,得到定義域：,接下來(lái)將：,寫(xiě)成區(qū)間的形式,三. 計(jì)算函數(shù)的值,就是將自變量的值代入函數(shù)的表達(dá)式中，計(jì)算出因變量(函數(shù))的值來(lái)。,解：,【練習(xí)3】,設(shè),則,解：,所以選擇C.,更復(fù)雜一點(diǎn)，可以根據(jù)函數(shù)在某個(gè)表達(dá)式上的值，反過(guò)來(lái)求該函數(shù)的計(jì)算公式。,例 3.2,已知,解：,代入已知表達(dá)式得到：,再將變量 u 替換成 x ,就得到所求函數(shù)計(jì)算公式：,注：這也叫做“換元法”。,省管形考冊(cè)第一次作業(yè) 一、1、2、3、4、9、12、13、14 二、3、4、5、6、7、8、15、21,判斷兩個(gè)函數(shù)相同的方法： 定義域和對(duì)應(yīng)法則都相等,四. 判斷兩函數(shù)相同,例 4.1,判斷下列函數(shù)是否相同：,解：,例 4.2,判斷下列函數(shù)是否相同：,【解】,所以它們是不同的函數(shù)。,表達(dá)式不同，定義域不同,定義域和表達(dá)式都相同， 所以它們是相同的函數(shù)。,五. 函數(shù)的幾何性質(zhì),單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性,重點(diǎn)：是奇偶性，這里主要討論函 數(shù)奇偶性的判別 （單調(diào)性放在第三章再講）,函數(shù)的奇偶性,奇偶性：定義1.3(P9),（1）奇函數(shù),（2）偶函數(shù),要注意：所有函數(shù)可以分為 奇函數(shù)、偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)。,通過(guò)圖像可以看出： 奇函數(shù)的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的， 偶函數(shù)的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的。,奇奇奇， 偶偶偶， 奇奇偶， 偶偶偶， 奇偶奇， 奇偶非奇非偶函數(shù)， f(x) + f(-x) 為偶函數(shù)， f(x) - f(-x) 為奇函數(shù)。,通過(guò)定義，我們可以證明得到下面的結(jié)論：,提示：有點(diǎn)類似正數(shù)(偶)和負(fù)數(shù)(奇)的關(guān)系。,【例 5.1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：,解：,(1) 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定義3.3,知f(x)是偶函數(shù)。,(2) 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定義3.3,知 是偶函數(shù)。,【練習(xí)4】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：,【解】 對(duì)任意x,用-x代替y=f(x)中的x，得,由定義3.3,知 是奇函數(shù)。,六. 四類基本初等函數(shù),（一）常數(shù)函數(shù),要求熟記這五類函數(shù)的表達(dá)式，定義域。,（二）冪函數(shù),例如：,歸納冪函數(shù)的性質(zhì)：,要學(xué)會(huì)將這些函數(shù)轉(zhuǎn)化為冪函數(shù)的形式,（三）指數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可依據(jù)冪函數(shù) 的運(yùn)算性質(zhì)(1)-(5)。,（四）對(duì)數(shù)函數(shù),其中a為底數(shù)，x為真數(shù),就稱為以3為底的對(duì)數(shù)函數(shù),歸納對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):（其中M,N0）,注意：對(duì)數(shù)一定要“同底數(shù)”才能相加減,(a0),七. 函數(shù)的運(yùn)算,1、四則運(yùn)算：加、減、乘、除與我們 通常所知數(shù)的運(yùn)算一樣。,2、復(fù)合運(yùn)算這對(duì)我們來(lái)說(shuō)，是一種新的運(yùn)算。,直觀地說(shuō)就是兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)函數(shù)里面再套 一個(gè)函數(shù)，就是復(fù)合。,例 7.1,解：,其中u稱為中間變量.,由此可見(jiàn)，簡(jiǎn)單函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合運(yùn)算，會(huì)變成復(fù)雜函數(shù)。更重要的是，我們可以研究：復(fù)雜函數(shù)是由哪些簡(jiǎn)單函數(shù)通過(guò)復(fù)合運(yùn)算得來(lái)的？即復(fù)合函數(shù)的分解。,例如：函數(shù),可以看作是：,三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成。,例 7.2 將初等函數(shù),分解為基本初等函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算或 四則運(yùn)算。,解：,有些函數(shù)在它的定義域的不同部分,其表達(dá)式不同，亦即用多個(gè)解析式表示函數(shù)，這類函數(shù)稱為分段函數(shù).,例 8.1:絕對(duì)值函數(shù),八. 分段函數(shù),注意,1分段函數(shù)的定義域是其各段定義域的并集；,【例8.1】,求函數(shù),的定義域。,【解】,定義域D=,分段函數(shù)在其整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù).,2求分段函數(shù)的函數(shù)值，先要確定x取值所對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，然后再代入求值。,【例 8.2】,給定函數(shù),解：,關(guān)鍵是要注意自變量所在的范圍，不同的范圍用不同的公式計(jì)算函數(shù)值。,【練習(xí)】,給定函數(shù),【解】,九、經(jīng)濟(jì)函數(shù),經(jīng)濟(jì)函數(shù)主要包括： 1、需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格) 2、成本函數(shù)C(q) 3、收入函數(shù)R(q) 4、利潤(rùn)函數(shù)L(q),生產(chǎn)和經(jīng)營(yíng)活動(dòng)中，人們所關(guān)心的問(wèn)題是產(chǎn)品的成本、銷(xiāo)售收入（又稱為收益）和利潤(rùn),它包括固定成本和可變成本,（一）需求函數(shù)q(p) (p為價(jià)格),（二）成本函數(shù),平均成本：,（三）收入函數(shù),【例9.1】某商品的需求函數(shù)為q=100-3p,求 收入函數(shù)R(q).,【解】,（四）利潤(rùn)函數(shù),【例9.2】,解：,生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為1萬(wàn)元，,每生產(chǎn)一個(gè)該產(chǎn)品所需費(fèi)用為20元，若該產(chǎn)品出售的單價(jià)為30元，試求：,(1) 生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本和平均成本；,(2) 售出x件該種產(chǎn)品的總收入；,(3) 若生產(chǎn)的產(chǎn)品都能夠售出，則生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)是多少？,（1）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的總成本為；,平均成本為,（2）售出x件該種產(chǎn)品的總收入為,（3）生產(chǎn)x件該種產(chǎn)品的利潤(rùn)為,【例9.3】,解,設(shè)該產(chǎn)品的線性需求函數(shù)為,練 習(xí),P35：1、（1）；2；3； P36：5；8； P-37：13；14,