11.使學(xué)生正確理解排列的意義;2.了解排列、排列數(shù)的意義,能根據(jù)具體的問題,寫出符合要求的排列;3.掌握排列的計算公式;4.會分析與數(shù)字有關(guān)的計數(shù)問題,以及與其他專題的綜合運用,培養(yǎng)學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力;通過本講的學(xué)習(xí),對排列的一些計數(shù)問題進(jìn)行歸納總結(jié),并掌握一些排列技巧,如捆綁法等一、排列問題在實際生活中經(jīng)常會遇到這樣的問題,就是要把一些事物排在一起,構(gòu)成一列,計算有多少種排法,就是排列問題在排的過程中,不僅與參與排列的事物有關(guān),而且與各事物所在的先后順序有關(guān)一般地,從n個不同的元素中取出m(mn)個元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列根據(jù)排列的定義,兩個排列相同,指的是兩個排列的元素完全相同,并且元素的排列順序也相同如果兩個排列中,元素不完全相同,它們是不同的排列;如果兩個排列中,雖然元素完全相同,但元素的排列順序不同,它們也是不同的排列排列的基本問題是計算排列的總個數(shù)從n個不同的元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同的元素的排列中取出m個元素的排列數(shù),我們把它記做mnP根據(jù)排列的定義,做一個m元素的排列由m個步驟完成：步驟1：從n個不同的元素中任取一個元素排在第一位,有n種方法;步驟2：從剩下的(1n)個元素中任取一個元素排在第二位,有(1n)種方法;步驟m：從剩下的(1)nm個元素中任取一個元素排在第m個位置,有11nmnm（）(種)方法;由乘法原理,從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)是121nnnnm（）（）（）,即12.1mnPn nnnm（）（）（）,這里,mn,且等號右邊從n開始,后面每個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,共有m個因數(shù)相乘二、排列數(shù)一般地,對于mn的情況,排列數(shù)公式變?yōu)?23 2 1nnPnnn （）（）表示從n個不同元素中取n個元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)這種n個排列全部取出的排列,叫做n個不同元素的全排列式子右邊是從n開始,后面每一個因數(shù)比前一個因數(shù)小1,一直乘到1的乘積,記為!n,讀做n的階乘,則nnP還可以寫為：!nnPn,其中!123 2 1nnnn （）（）模塊一、排列之計算【例例 1 1】計算：25P;4377PP【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】由排列數(shù)公式12.1mnPn nnnm（）（）（）知：例題精講例題精講知識要點知識要點教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)7-4-1.7-4-1.簡單的排列問題簡單的排列問題2 255420P 477654840P ,37765210P ,所以4377840210630PP【答案】20 630【鞏固】計算：23P;32610PP【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】23326P 326106541091209030PP【答案】6 30【鞏固】計算：321414PP;53633PP【考點】簡單排列問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】32141414 13 1214 132002PP;536333(65432)32 12154PP 【答案】2002 2154模塊二、排列之排隊問題【例例 2 2】有 4 個同學(xué)一起去郊游,照相時,必須有一名同學(xué)給其他 3 人拍照,共可能有多少種拍照情況?(照相時 3 人站成一排)【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】由于4人中必須有一個人拍照,所以,每張照片只能有3人,可以看成有3個位置由這3人來站由于要選一人拍照,也就是要從四個人中選3人照相,所以,問題就轉(zhuǎn)化成從四個人中選3人,排在3個位置中的排列問題要計算的是有多少種排法由排列數(shù)公式,共可能有：3443224P (種)不同的拍照情況也可以把照相的人看成一個位置,那么共可能有：44432 124P (種)不同的拍照情況【答案】24【鞏固】4 名同學(xué)到照相館照相他們要排成一排,問：共有多少種不同的排法?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】4個人到照相館照相,那么4個人要分坐在四個不同的位置上所以這是一個從4個元素中選4個,排成一列的問題這時4n,4m 由排列數(shù)公式知,共有44432 124P (種)不同的排法【答案】24【鞏固】9 名同學(xué)站成兩排照相,前排 4 人,后排 5 人,共有多少種站法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】如果問題是9名同學(xué)站成一排照相,則是9個元素的全排列的問題,有99P種不同站法而問題中,9個人要站成兩排,這時可以這么想,把9個人排成一排后,左邊4個人站在前排,右邊5個人站在后排,所以實質(zhì)上,還是9個人站9個位置的全排列問題方法一：由全排列公式,共有999 8765432 1362880P (種)不同的排法方法二：根據(jù)乘法原理,先排四前個,再排后五個45959 8765432 1362880pp 【答案】362880【鞏固】5 個人并排站成一排,其中甲必須站在中間有多少種不同的站法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】由于甲必須站在中間,那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題,是一個全排列問題,且4n 由全排列公式,共有44432 124P (種)不同的站法【答案】243【鞏固】丁丁和爸爸、媽媽、奶奶、哥哥一起照“全家福”,5人并排站成一排,奶奶要站在正中間,有多少種不同的站法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】由于奶奶必須站在中間,那么問題實質(zhì)上就是剩下的四個人去站其余四個位置的問題,是一個全排列問題,且 n=4由全排列公式,共有44432 124P (種)不同的站法【答案】24【例例 3 3】5 個同學(xué)排成一行照相,其中甲在乙右側(cè)的排法共有_種?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯,4 年級,第 8 題【解析】5個人全排列有5!120種,其中甲在乙右側(cè)應(yīng)該正好占一半,也就是60種【答案】60 種【例例 4 4】一列往返于北京和上海方向的列車全程?？?4個車站(包括北京和上海),這條鐵路線共需要多少種不同的車票【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】21414 13182P(種)【答案】182【例例 5 5】班集體中選出了 5 名班委,他們要分別擔(dān)任班長,學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員問：有多少種不同的分工方式?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】55120P(種)【答案】120【例例 6 6】有五面顏色不同的小旗,任意取出三面排成一行表示一種信號,問：共可以表示多少種不同的信號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】這里五面不同顏色的小旗就是五個不同的元素,三面小旗表示一種信號,就是有三個位置我們的問題就是要從五個不同的元素中取三個,排在三個位置的問題由于信號不僅與旗子的顏色有關(guān),而且與不同旗子所在的位置有關(guān),所以是排列問題,且其中5n,3m 由排列數(shù)公式知,共可組成3554360P (種)不同的信號【答案】60【鞏固】有紅、黃、藍(lán)三種信號旗,把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號,問共可以組成多少種不同的信號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】23326P 【答案】6【鞏固】在航海中,船艦常以“旗語”相互聯(lián)系,即利用不同顏色的旗子發(fā)送出各種不同的信號如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子,按一定順序同時升起表示一定的信號,問這樣總共可以表示出多少種不同的信號?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】方法一：這里三面不同顏色的旗子就是三個不同的元素,紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號,也就是從三個元素中選三個的全排列的問題由排列數(shù)公式,共可以組成3332 16P (種)不同的信號方法二：首先,先確定最高位置的旗子,在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個,有3種方法;其次,確定中間位置的旗子,當(dāng)最高位置確定之后,中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取,有2種方法剩下那面旗子,放在最低位置根據(jù)乘法原理,用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數(shù)是：32 16 (種)4【補充說明】這個問題也可以用乘法原理來做,一般,乘法原理中與順序有關(guān)的問題常?？梢杂门帕袛?shù)公式做,用排列數(shù)公式解決問題時,可避免一步步地分析考慮,使問題簡化【答案】6模塊三、排列之?dāng)?shù)字問題【例例 7 7】用 1、2、3、4、5、6、7、8 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】這是一個從8個元素中取4個元素的排列問題,已知8n,4m,根據(jù)排列數(shù)公式,一共可以組成4887651680P (個)不同的四位數(shù)【答案】1680【鞏固】由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】36120P【答案】120【例例 8 8】用0、1、2、3、4可以組成多少個沒重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】（法1）本題中要注意的是0不能為首位數(shù)字,因此,百位上的數(shù)字只能從1、2、3、4這四個數(shù)字中選擇一個,有4種方法;十位和個位上的數(shù)字可以從余下的4個數(shù)字中任選兩個進(jìn)行排列,有24P種方法由乘法原理得,此種三位數(shù)的個數(shù)是：24448P(個)（法2）：從0、1、2、3、4中任選三個數(shù)字進(jìn)行排列,再減去其中不合要求的,即首位是0的從0、1、2、3、4這五個數(shù)字中任選三個數(shù)字的排列數(shù)為35P,其中首位是0的三位數(shù)有24P個三位數(shù)的個數(shù)是：32545434348PP (個)本題不是簡單的全排列,有一些其它的限制,這樣要么先全排列再剔除不合題意的情況,要么直接在排列的時候考慮這些限制因素【答案】48【例例 9 9】用 1、2、3、4、5、6 可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的個位是 5 的三位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】個位數(shù)字已知,問題變成從從5個元素中取2個元素的排列問題,已知5n,2m,根據(jù)排列數(shù)公式,一共可以組成255420P(個)符合題意的三位數(shù)【答案】20【鞏固】用 1、2、3、4、5、6 六張數(shù)字卡片,每次取三張卡片組成三位數(shù),一共可以組成多少個不同的偶數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】由于組成偶數(shù),個位上的數(shù)應(yīng)從2,4,6中選一張,有3種選法;十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張,有255420P(種)選法由乘法原理,一共可以組成32060(個)不同的偶數(shù)【答案】60【例例 10 10】由0,2,5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的數(shù),四位數(shù)有多少個?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】方法一：先考慮從六個數(shù)字中任取四個數(shù)字的排列數(shù)為466543360P ,由于0不能在千位上,而以0為千位數(shù)的四位數(shù)有3554360P ,它們的差就是由0,2,5,6,7,8組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù),即為：36060300個方法二：完成這件事組成一個四位數(shù),可分為4個步驟進(jìn)行,第一步：確定千位數(shù);第二步：確定百位數(shù);第三步：確定十位數(shù);第四步：確定個位數(shù);5這四個步驟依次完成了,“組成一個四位數(shù)”這件事也就完成了,從而這個四位數(shù)也完全確定了,思維過程如下：根據(jù)乘法原理,所求的四位數(shù)的個數(shù)是：5543300 (個)【答案】300【例例 11 11】用1、2、3、4、5這五個數(shù)字,不許重復(fù),位數(shù)不限,能寫出多少個 3 的倍數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有1個3;兩位數(shù)：由1與2,1與5,2與4,4與5四組數(shù)字組成,每一組可以組成222 12P (個)不同的兩位數(shù),共可組成248(個)不同的兩位數(shù);三位數(shù)：由1,2與3;1,3與5;2,3與4;3,4與5四組數(shù)字組成,每一組可以組成3332 16P (個)不同的三位數(shù),共可組成6424(個)不同的三位數(shù);四位數(shù)：可由1,2,4,5這四個數(shù)字組成,有44432 124P (個)不同的四位數(shù);五位數(shù)：可由1,2,3,4,5組成,共有555432 1120P (個)不同的五位數(shù)由加法原理,一共有182424120177(個)能被3整除的數(shù),即3的倍數(shù)【答案】177【例例 12 12】用 1、2、3、4、5 這五個數(shù)字可組成多少個比20000大且百位數(shù)字不是3的無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】可以分兩類來看：把 3 排在最高位上,其余 4 個數(shù)可以任意放到其余 4 個數(shù)位上,是 4 個元素全排列的問題,有44432 124P (種)放法,對應(yīng) 24 個不同的五位數(shù);把 2,4,5 放在最高位上,有 3 種選擇,百位上有除已確定的最高位數(shù)字和 3 之外的 3 個數(shù)字可以選擇,有 3 種選擇,其余的 3 個數(shù)字可以任意放到其余 3 個數(shù)位上,有336P 種選擇由乘法原理,可以組成3 3 654(個)不同的五位數(shù)由加法原理,可以組成245478(個)不同的五位數(shù)【答案】78【鞏固】用 0 到 9 十個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù);若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列,則 5687 是第幾個數(shù)?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】從高位到低位逐層分類：6 千位上排1,2,3或4時,千位有4種選擇,而百、十、個位可以從0 9中除千位已確定的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇,因為數(shù)字不重復(fù),也就是從9個元素中取3個的排列問題,所以百、十、個位可有399 87504P (種)排列方式由乘法原理,有45042016(個)千位上排5,百位上排0 4時,千位有1種選擇,百位有5種選擇,十、個位可以從剩下的八個數(shù)字中選擇也就是從8個元素中取2個的排列問題,即288756P,由乘法原理,有1 556280(個)千位上排5,百位上排6,十位上排0,1,2,3,4,7時,個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇,有1 1 6742 (個)千位上排5,百位上排6,十位上排8時,比5687小的數(shù)的個位可以選擇0,1,2,3,4共5個綜上所述,比5687小的四位數(shù)有20162804252343(個),故5687是第2344個四位數(shù)【答案】2344【例例 13 13】用數(shù)字 l8 各一個組成 8 位數(shù),使得任意相鄰三個數(shù)字組成的三位數(shù)都是 3 的倍數(shù)共有_種組成方法【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯,六年級,初賽,第 7 題【解析】l8 中被三除余 1 和余 2 的數(shù)各有 3 個,被 3 整除的數(shù)有兩個,根據(jù)題目條件可以推導(dǎo),符合條件的排列,一定符合“被三除所得余數(shù)以 3 位周期”,所以 8 個數(shù)字,第 1、4、7 位上的數(shù)被 3 除同余,第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除同余,第 3、6 位上的數(shù)被 3 除同余,顯然第 3、6 位上的數(shù)被 3 整除,第1、4、7 位上的數(shù)被 3 除可以余 1 也可以余 2,第 2、5、8 位上的數(shù)被 3 除可以余 2 可以余 1,余數(shù)的安排上共有 2 種方法,余數(shù)安排定后,還有同余數(shù)之間的排列,一共有 3！3！2！=144 種方法.【答案】144種【例例 14 14】由數(shù)字 0、2、8（既可全用也可不全用）組成的非零自然數(shù),按照從小到大排列2008 排在 個【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】比2008小的4位數(shù)有2000和2002,比2008小的3位數(shù)有23 318（種）,比2008小的2位數(shù)有236（種）,比2008小的1位數(shù)有2（種）,所以2008排在第21862129（個）【答案】29【例例 15 15】千位數(shù)字與十位數(shù)字之差為 2（大減小),且不含重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有多少個?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】千位數(shù)字大于十位數(shù)字,千位數(shù)字的取值范圍為29:,對應(yīng)的十位數(shù)字取07:,每確定一個千位數(shù)字,十位數(shù)字就相應(yīng)確定了,只要從剩下的8個數(shù)字中選出2個作百位和個位就行了,因此總共有288P個這樣的四位數(shù)千位數(shù)字小于十位數(shù)字,千位數(shù)字取17:,十位數(shù)字取39:,共有287P個這樣的四位數(shù)所以總共有228887840PP個這樣的四位數(shù)【答案】840模塊四、排列之策略問題【例例 16 16】某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字,只記得是由四個非0數(shù)碼組成,且四個數(shù)碼之和是9,那么確保打開保險柜至少要試幾次?【考點】簡單排列問題 【難度】4 星 【題型】解答【解析】四個非0數(shù)碼之和等于 9 的組合有 1,1,1,6;1,1,2,5;1,1,3,4;1,2,2,4;1,2,3,3;2,2,2,3 六種第一種中,可以組成多少個密碼呢?只要考慮6的位置就可以了,6可以任意選擇4個位置中的一個,其余位置放1,共有4種選擇;第二種中,先考慮放2,有4種選擇,再考慮5的位置,可以有3種選擇,剩下的位置放1,共有4312(種)選擇同樣的方法,可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種,與第一種的情形相似,3的位置有4種選擇,其余位置放2,共有4種選擇綜上所述,由加法原理,一共可以組成412121212456(個)不同的四位數(shù),即確保能打開保險柜至少要試56次【答案】567【例例 17 17】幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子,有多少種坐法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】在這個問題中,只要把3把椅子看成是3個位置,而6名小朋友作為6個不同元素,則問題就可以轉(zhuǎn)化成從6個元素中取3個,排在3個不同位置的排列問題由排列數(shù)公式,共有：36654120P (種)不同的坐法【答案】120【鞏固】幼兒園里 3 名小朋友去坐 6 把不同的椅子(每人只能坐一把),有多少種不同的坐法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】與例5不同,這次是椅子多而人少,可以考慮把6把椅子看成是6個元素,而把3名小朋友作為3個位置,則問題轉(zhuǎn)化為從6把椅子中選出3把,排在3名小朋友面前的排列問題由排列公式,共有：36654120P (種)不同的坐法【答案】120【鞏固】10 個人走進(jìn)只有6輛不同顏色碰碰車的游樂場,每輛碰碰車必須且只能坐一個人,那么共有多少種不同的坐法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】把6輛碰碰車看成是6個位置,而10個人作為10個不同元素,則問題就可以轉(zhuǎn)化成從10個元素中取6個,排在6個不同位置的排列問題 共有610109 8765151200P (種)不同的坐法【答案】151200【例例 18 18】一個籃球隊有五名隊員A,B,C,D,E,由于某種原因,E不能做中鋒,而其余4個人可以分配到五個位置的任何一個上,問一共有多少種不同的站位方法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】方法一：此題先確定做中鋒的人選,除E以外的四個人任意一個都可以,則有4種選擇,確定下來以后,其余4個人對應(yīng)4個位置,有44432 124P (種)排列由乘法原理,42496,故一共有96種不同的站位方法方法二：五個人分配到五個位置一共有555432 1120P (種)排列方式,E能做中鋒一共有44432 124P (種)排列方式,則E不能做中鋒一共有54541202496PP種不同的站位方法【答案】96【例例 19 19】小明有 10 塊大白兔奶糖,從今天起,每天至少吃一塊.那么他一共有多少種不同的吃法?【考點】簡單排列問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】我們將 10 塊大白兔奶糖從左至右排成一列,如果在其中 9 個間隙中的某個位置插入“木棍”,則將lO 塊糖分成了兩部分我們記從左至右,第 1 部分是第 1 天吃的,第 2 部分是第 2 天吃的,如:|表示第一天吃了 3 粒,第二天吃了剩下的 7 粒：|表示第一天吃了 4 粒,第二天吃了 3 粒,第三天吃了剩下的 3 粒不難知曉,每一種插入方法對應(yīng)一種吃法,而 9 個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立,故共有 29=512 種不同的插入方法,即 512 種不同的吃法【答案】512