第 7 講拋物線(xiàn)最新考綱1掌握拋物線(xiàn)的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2理解數(shù)形結(jié)合的思想3了解拋物線(xiàn)的實(shí)際背景及拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.知 識(shí) 梳 理1拋物線(xiàn)的定義(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線(xiàn) l(F l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(xiàn)點(diǎn) F 叫做拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，直線(xiàn) l 叫做拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|d(其中 d 為點(diǎn) M 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離)2拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)y22px (p>0)       y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)方程續(xù)表p 的幾何意義：焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線(xiàn) l 的距離頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱(chēng)軸y0x0Fç2，0÷Fç2，0÷Fç0，2÷Fç0，2÷性質(zhì)焦點(diǎn)æp  öè    øæ  p  öè      øæ pöè    øæ pöè      ø離心率e1x2      px2y2      py2準(zhǔn)線(xiàn)方程pp范圍x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR開(kāi)口方向向右        向左辨 析 感 悟向上        向下1對(duì)拋物線(xiàn)定義的認(rèn)識(shí)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線(xiàn) l 的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線(xiàn)(×)(2)拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離是 4.(×)2對(duì)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)的理解1(3)(2013· 北京卷改編)若拋物線(xiàn) yax2 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，則 a4，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y1.()(4)拋物線(xiàn)既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形(×)(5)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸垂直的直線(xiàn)被拋物線(xiàn)截得的線(xiàn)段叫做拋物線(xiàn)的通徑，那么拋物線(xiàn) x22ay(a0)的通徑長(zhǎng)為 2a.()感悟· 提升1一點(diǎn)提醒拋物線(xiàn)方程中，字母 p 的幾何意義是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F 到準(zhǔn)線(xiàn)的距p離，2等于焦點(diǎn)到拋物線(xiàn)頂點(diǎn)的距離牢記它對(duì)解題非常有益如(2)2兩個(gè)防范一是求拋物線(xiàn)方程時(shí)，首先弄清拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸和開(kāi)口方向，正確地選擇拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程；二是求拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，首先要把拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，如(3).考點(diǎn)一拋物線(xiàn)的定義及其應(yīng)用【例 1】 (2014· 深圳一模)已知點(diǎn) A(2,0)，拋物線(xiàn) C：x24y 的焦點(diǎn)為 F，射線(xiàn) FA與拋物線(xiàn) C 相交于點(diǎn) M，與其準(zhǔn)線(xiàn)相交于點(diǎn) N，則|FM|MN|()A2 5C1 5B12D13解析如圖所示，由拋物線(xiàn)定義知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，|MH|OF|1則 |HN| |OA|2，則|MH|MN|1 5，即|MF|MN|1 5.答案C規(guī)律方法 拋物線(xiàn)的定義是解決拋物線(xiàn)問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離 )進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化如果問(wèn)題中涉及拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用拋物線(xiàn)定義就能解決問(wèn)題【訓(xùn)練 1】 (2014· 山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)已知點(diǎn) P 是拋物線(xiàn) y24x 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P 在 y 軸上的射影是 M，點(diǎn) A 的坐標(biāo)是(4，a)，則當(dāng)|a|4 時(shí)，|PA|PM|的最小值是_解析將 x4 代入拋物線(xiàn)方程 y24x，得 y±4，|a|4，所以 A 在拋物線(xiàn)的外部，如圖，x|由題意知 F(1,0)，則拋物線(xiàn)上點(diǎn) P 到準(zhǔn)線(xiàn) l： 1 的距離為|PN|，由定義知，PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.當(dāng) A，P，F(xiàn) 三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，|PA|PF|取最小值，此時(shí)|PA|PM|也最小，最小值為|AF|1答案9a219a21.考點(diǎn)二拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)【例 2】 (2014· 鄭州一模)如圖，過(guò)拋物線(xiàn) y22px(p>0)的焦點(diǎn) F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) A，B，交其準(zhǔn)線(xiàn) l 于點(diǎn) C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線(xiàn)的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2 3x解析如圖，分別過(guò) A，B 作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，由拋物線(xiàn)的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，AFx60°，連接 A1F，則AA1F 為等邊三角形，過(guò) F 作 FF1AA1 于 F1，則 F1113為 AA1 的中點(diǎn)，設(shè) l 交 x 軸于 K，則|KF|A1F1|2|AA1|2|AF|，即 p2，拋物線(xiàn)方程為 y23x，故選 C.答案C規(guī)律方法 (1)求拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置，開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù) p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)在解決與拋物線(xiàn)的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線(xiàn)的問(wèn)題更是如此11【訓(xùn)練 2】 (2014· 蘭州一模)已知圓 x2y2mx40 與拋物線(xiàn) y4x2 的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則 m()A±2 2B. 3              C. 2               D± 3解析拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x24y，所以準(zhǔn)線(xiàn)為 y1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為çx 2 ÷2æmöèøæ  m  öy2m21è 2 ，0ø4  ，所以圓心為ç       ÷，半徑為m212.所以圓心到直線(xiàn)的距離為 1，即  m2121，解得 m± 3.解(1)由題意知，拋物線(xiàn) E 的焦點(diǎn)為 Fç0，2÷，直線(xiàn) l1 的方程為 yk1x2.ìïïîx22py    得 x22pk1xp20.答案D考點(diǎn)三直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系lll【例 3】 (2013· 湖南卷)過(guò)拋物線(xiàn) E：x22py(p0)的焦點(diǎn) F 作斜率分別為 k1，k2的兩條不同直線(xiàn) l1，2，且 k1k22，1 與 E 相交于點(diǎn) A，B，2 與 E 相交于點(diǎn) C，D，以 AB，CD 為直徑的圓 M，圓 N(M，N 為圓心)的公共弦所在直線(xiàn)記為 l. (1)若 k10，k20，證明：FM· FN2p2；7 5(2)若點(diǎn) M 到直線(xiàn) l 的距離的最小值為 5 ，求拋物線(xiàn) E 的方程審題路線(xiàn)(1)寫(xiě)出直線(xiàn) l1 的方程與拋物線(xiàn)聯(lián)立用根與系數(shù)的關(guān)系求 M，N 的坐標(biāo)寫(xiě)出FM，F(xiàn)N的坐標(biāo)求FM· FN用基本不等式求得結(jié)論(2)由拋物線(xiàn)定義求|AB|，|CD|得到圓 M 與圓 N 的半徑求出圓 M 與圓 N 的方程得出圓 M 與圓 N 的公共弦所在直線(xiàn) l 的方程點(diǎn) M 到直線(xiàn) l 的距離求出其關(guān)于 k1 的函數(shù)式求其最小值求得 p.æpöpèøp由íyk1x2，pö22所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為çpk1，pk12÷，F(xiàn)M(pk1，pk1)pö2同理可得點(diǎn) N 的坐標(biāo)為çpk2，pk22÷，F(xiàn)N(pk2，pk22)，æk k2ö21所以 0k1k2ç2|2pk21pk1p|p|2k1k11| k14÷2  úç   è2ø 2故圓 M 的方程為(xpk1)2çypk212÷設(shè) A，B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1，x2 是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根從而 x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pk21p.æèøæèø 于是FM· FNp2(k1k2k21k2)因?yàn)?#160;k1k22，k10，k20，k1k2，÷ 1. 故FM· FNp2(112)2p2.pp|(2)由拋物線(xiàn)的定義得|FA|y12，F(xiàn)B|y22，所以|AB|y1y2p2pk212p，從而圓 M 的半徑 r1pk21p.æpöèø(pk21p)2，32化簡(jiǎn)得 x2y22pk1xp(2k11)y4p20.3同理可得圓 N 的方程為 x2y22pk2xp(2k21)y4p20.1于是圓 M，圓 N 的公共弦所在直線(xiàn) l 的方程為(k2k1)x(k22k2)y0.又 k2k10，k1k22，則 l 的方程為 x2y0.因?yàn)?#160;p0，所以點(diǎn) M 到直線(xiàn) l 的距離d55é æ1ö7ùëpê2èø8û.517p8   5故當(dāng) k14時(shí)，d 取最小值.由拋物線(xiàn)定義知|AD|FA|  |AB|.7p7 5   由題設(shè)，8 5 5 ，解得 p8.故所求的拋物線(xiàn) E 的方程為 x216y.規(guī)律方法 (1)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系和直線(xiàn)與橢圓、雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線(xiàn)是否過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式【訓(xùn)練 3】 設(shè)拋物線(xiàn) C：x22py(p0)的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線(xiàn)為 l，A 為 C 上一點(diǎn)，已知以 F 為圓心，F(xiàn)A 為半徑的圓 F 交 l 于 B，D 兩點(diǎn).(1)若BFD90°，ABD 的面積為 42，求 p 的值及圓 F 的方程；(2)若 A，B，F(xiàn) 三點(diǎn)在同一直線(xiàn) m 上，直線(xiàn) n 與 m 平行，且 n 與 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求坐標(biāo)原點(diǎn)到 m，n 距離的比值解(1)由已知可得BFD 為等腰直角三角形，|BD|2p，圓 F 的半徑|FA| 2p.由拋物線(xiàn)定義可知 A 到 l 的距離 d|FA|2p.1因?yàn)锳BD 的面積為 42，所以2|BD|· d42，1即2·2p·2p42，解得 p2(舍去)或 p2.所以 F(0,1)，圓 F 的方程為 x2(y1)28.(2)因?yàn)?#160;A，B，F(xiàn) 三點(diǎn)在同一直線(xiàn) m 上，所以 AB 為圓 F 的直徑，ADB90°.1233所以ABD30°，m 的斜率為 3 或 3 .3323當(dāng) m 的斜率為 3 時(shí)，由已知可設(shè) n：y 3 xb，代入 x22py 得 x2 3 px2pb0.4由于 n 與 C 只有一個(gè)公共點(diǎn)，故 3p28pb0，p解得 b6.p|b |因?yàn)?#160;m 的縱截距 b12， |b1 3，所以坐標(biāo)原點(diǎn)到 m，n 距離的比值也為 3.3當(dāng) m 的斜率為 3 時(shí)，由圖形對(duì)稱(chēng)性可知，坐標(biāo)原點(diǎn)到 m，n 距離的比值為 3.綜上，坐標(biāo)原點(diǎn)到 m，n 距離的比值為 3.1認(rèn)真區(qū)分四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)區(qū)分 yax2(a0)與 y22px(p0)，前者不是拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)求標(biāo)準(zhǔn)方程要先確定形式，必要時(shí)要進(jìn)行分類(lèi)討論，標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)可設(shè)為 y2mx 或 x2my(m0)2拋物線(xiàn)的離心率 e1，體現(xiàn)了拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離因此，涉及拋物線(xiàn)的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以?xún)?yōu)先考慮利用拋物線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，這樣就可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化p拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離根據(jù)定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，即|PF|x|2或|PF|p|y|2，它們?cè)诮忸}中有重要的作用，注意運(yùn)用教你審題 9靈活運(yùn)用拋物線(xiàn)焦點(diǎn)弦巧解題【典例】 已知過(guò)拋物線(xiàn) y22px(p0)的焦點(diǎn)，斜率為 2 2的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點(diǎn)，且|AB|9.(1)求該拋物線(xiàn)的方程；(2)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，C 為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，若OCOAOB，求  的值審題一審：由直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)可利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式求解解(1)直線(xiàn) AB 的方程是 y2   2çx2÷，與 y22px 聯(lián)立，從而有 4x25pxp2二審：由點(diǎn) C 為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，可設(shè)出 C 點(diǎn)坐標(biāo)，利用OCOA OB表示出點(diǎn) C 坐標(biāo)，將點(diǎn) C 坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程求解æpöèø5p0，所以 x1x2 4 ，5p由拋物線(xiàn)定義得：|AB|x1x2p 4 p9，所以 p4，從而拋物線(xiàn)方程為 y28x.(2)由于 p4,4x25pxp20 可簡(jiǎn)化為 x25x40，從而 x11，x24，y12 2，y24 2，從而 A(1，2 2)，B(4,4 2)；2設(shè) C(x3，y3)，則OC(x3，y3)(1，2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)，又 y38x3，即2 2(21)28(41)，即(21)241，解得 0 或 2.p2y|反思感悟 (1)解決與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題，常用到 x1x2 4 ， 1y2p2，AB|2p112|x1x2psin2( 為 AB 的傾斜角)，AF|BF|p這些結(jié)論，就會(huì)帶來(lái)意想不到的效果(2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平時(shí)善于總結(jié)、歸納同類(lèi)題的解題方法，并注意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊(yùn)涵的一般規(guī)律，就一定會(huì)有更多發(fā)現(xiàn)【自主體驗(yàn)】1(2012· 安徽卷)過(guò)拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)交該拋物線(xiàn)于 A，B 兩點(diǎn)若|AF|3，則|BF|_.25|AF|·|BF|ïî，解得|AF|  ，|BF|  .1123解析法一由|AF|BF|p.得|BF|2.ìï|AF|p|AF|cos ，法二設(shè)BFO，則íïî|BF|p|BF|cos ，13由|AF|3，p2，得 cos 3，|BF|2.3答案22(2012· 重慶卷)過(guò)拋物線(xiàn) y22x 的焦點(diǎn) F 作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于 A，B 兩點(diǎn)，若|AB|2512，|AF|BF|，則|AF|_.1122525解析由 |AF|  |BF|  p  2 及 |AB|  |AF|  |BF|  12 ，得 |AF|·|BF|  24 ，再由12ìï|AF|BF|25，í2455645答案6基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40 分鐘)一、選擇題y21(2013· 四川卷)拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn) x2 3 1 的漸近線(xiàn)的距離是()13A.2B. 2C1D. 3y2解析拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn) F(1,0)，雙曲線(xiàn) x2 3 1 的漸近線(xiàn)方程是 y± 3x，即 3x±y0，故所求距離為| 3±0|( 3)2(±1)23 2 .選 B.解析拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為ç2，0÷，準(zhǔn)線(xiàn)為 x2.雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為(3,0)，所以2答案B2 (2014· 濟(jì)寧模擬)已知圓 x2y26x70 與拋物線(xiàn) y22px(p0)的準(zhǔn)線(xiàn)相切，則 p 的值為()1A1B2C.2D4解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x3)2y216，圓心為(3,0)，半徑為 4.圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距æpöèø離為 3ç2÷4，解得 p2.答案B3點(diǎn) M(5,3)到拋物線(xiàn) yax2 的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 6，那么拋物線(xiàn)的方程是()Ay12x2By12x2 或 y36x211Cy36x2Dy12x2 或 y36x211解析分兩類(lèi) a>0，a<0 可得 y12x2，y36x2.答案Dx2y24(2014· 濰坊一模)已知拋物線(xiàn) y22px(p0)的焦點(diǎn) F 與雙曲線(xiàn) 4  5 1 的右焦點(diǎn)重合，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與 x 軸的交點(diǎn)為 K，點(diǎn) A 在拋物線(xiàn)上且|AK| 2|AF|，則A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A2 2B3C2 3D4æpöppèø3，即 p6，即 y212x.過(guò) A 做準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為 M，則|AK| 2|AF| 2|AM|，即|KM|AM|，設(shè) A(x，y)，則 yx3，代入 y212x，解得 x3.答案Bx2y25(2013· 天津卷 )已知雙曲線(xiàn) a2b21(a>0，b>0)的兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn) y22px(p>0)的準(zhǔn)線(xiàn)分別交于 A，B 兩點(diǎn)，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若雙曲線(xiàn)的離心率為 2，AOB 的面積為 3，則 p()3A1B.2C2D3c解析由已知得雙曲線(xiàn)離心率 ea2，得 c24a2，b2c2a23a2，即 b 3bpa.又雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為 y±ax± 3x，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x2，所以æp3 öæp3pöè  2   ø，Bèø不妨令 Aç2，p÷ç2， 2 ÷，于是|AB| 3p由 AOB 的面積為 3可得1p2· 3p· 2 3，所以 p24，解得 p2 或 p2(舍去)答案C二、填空題6若點(diǎn) P 到直線(xiàn) y1 的距離比它到點(diǎn)(0,3)的距離小 2，則點(diǎn) P 的軌跡方程是_解析由題意可知點(diǎn) P 到直線(xiàn) y3 的距離等于它到點(diǎn)(0,3)的距離，故點(diǎn) P 的軌跡是以點(diǎn)(0,3)為焦點(diǎn)，以 y3 為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，且 p6，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為 x212y.答案x212y7已知拋物線(xiàn) y24x 上一點(diǎn) M 與該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F 的距離|MF|4，則點(diǎn) M 的橫坐標(biāo) x0_.解析拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)為 F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)為 x1.根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，點(diǎn) M 到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為 4，則 M 的橫坐標(biāo)為 3.答案3x2y28拋物線(xiàn) x22py(p0)的焦點(diǎn)為 F，其準(zhǔn)線(xiàn)與雙曲線(xiàn) 3  3 1 相交于 A，B 兩點(diǎn)，若ABF 為等邊三角形，則 p_.y22px(p0)，則焦點(diǎn) Fç2，0÷.2ìm 6p，pö故í2ç32÷ m25，  2p23解析如圖，在等邊三角形 ABF 中，DFp，BD 3 p，1æ 3pö3p4è 3øB 點(diǎn)坐標(biāo)為çp，2÷.又點(diǎn) B 在雙曲線(xiàn)上，故 3  3 1.解得 p6.答案6三、解答題9已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是 x 軸，拋物線(xiàn)上的點(diǎn) M(3，m)到焦點(diǎn)的距離為 5，求拋物線(xiàn)的方程和 m 的值解法一根據(jù)已知條件，拋物線(xiàn)方程可設(shè)為æpöèø點(diǎn) M(3，m)在拋物線(xiàn)上，且|MF|5，ïæîïèøìp4，ìp4，解得í或íîm2 6îm2 6.拋物線(xiàn)方程為 y28x，m±2 6.p法二設(shè)拋物線(xiàn)方程為 y22px(p>0)，則準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x2，由拋物線(xiàn)定義，Mp點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于 M 點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所以有2(3)5，p4.所求拋物線(xiàn)方程為 y28x，又點(diǎn) M(3，m)在拋物線(xiàn)上，故 m2(8)×(3)，m±2 6.10設(shè)拋物線(xiàn) C：y24x，F(xiàn) 為 C 的焦點(diǎn)，過(guò) F 的直線(xiàn) l 與 C 相交于 A，B 兩點(diǎn)(1)設(shè) l 的斜率為 1，求|AB|的大??； (2)求證：OA· OB是一個(gè)定值(1)解由題意可知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn) F 為(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x1，直線(xiàn) l 的設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，由í方程為 yx1，ìyx1，îy24x得 x26x10，x1x26，由直線(xiàn) l 過(guò)焦點(diǎn)，則|AB|AF|BF|x1x228.(2)證明設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 xky1，ìxky1，由íîy24x得 y24ky40.x22py  的焦點(diǎn)坐標(biāo)為ç0，2÷，a2b21 的漸近線(xiàn)方程為 y±ax，即 y±   3x.y1y24k，y1y24，OA(x1，y1)，OB(x2，y2) OA· OBx1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143. OA· OB是一個(gè)定值能力提升題組(建議用時(shí)：25 分鐘)一、選擇題x2y21已知雙曲線(xiàn) C1：a2b21(a>0，b>0)的離心率為 2.若拋物線(xiàn) C2：x22py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線(xiàn) C1 的漸近線(xiàn)的距離為 2，則拋物線(xiàn) C2 的方程為()8 316 3Ax2 3 yBx2 3 yCx28yDx216yx2y2解析a2b21 的離心率為 2，cc2a2b2ba2，即a2 a24，a 3.æpöx2y2bèø由題意，得p22，1( 3)2p8.故 C2：x216y，選 D.答案D2(2014· 洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知 P 是拋物線(xiàn) y24x 上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) P 到直線(xiàn) l：2xy30 和 y 軸的距離之和的最小值是()A. 3B. 5C2D. 51解析由題意知，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為 F(1,0)設(shè)點(diǎn) P 到直線(xiàn) l 的距離為 d，由拋物線(xiàn)的定義可知，點(diǎn) P 到 y 軸的距離為|PF|1，所以點(diǎn) P 到直線(xiàn) l 的距離與到 y軸的距離之和為 d|PF|1.易知 d|PF|的最小值為點(diǎn) F 到直線(xiàn) l 的距離，故 d|PF|的最小值為|23|22(1)2 5，所以 d|PF|1 的最小值為 51.11，所以 yA2   3.因?yàn)?#160;PAl，所以 yPyA2   3，代答案D二、填空題x2y23(2014· 鄭州二模)已知橢圓 C： 4  3 1 的右焦點(diǎn)為 F，拋物線(xiàn) y24x 的焦點(diǎn)為 F，準(zhǔn)線(xiàn)為 l，P 為拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，PAl，A 為垂足如果直線(xiàn) AF 的傾斜角為 120°，那么|PF|_.解析拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F(1,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為 x1.因?yàn)橹本€(xiàn) AF 的傾斜角為120°，所以 tan 120°yA入 y24x，得 xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答題4(2013· 遼寧卷)如圖，拋物線(xiàn) C1：x24y，C2：x22py(p0)點(diǎn) M(x0，y0)在拋物線(xiàn) C2 上，過(guò) M 作 C1 的切線(xiàn)，切點(diǎn)為 A，B(M 為原點(diǎn) O 時(shí)，A，B 重合于 O)當(dāng) x01 2MA 的斜率為2，所以 A 點(diǎn)坐標(biāo)為ç1，4÷，(2)設(shè) N(x，y)，Açx1， 4 ÷，Bçx2， 4 ÷，x1x2，1時(shí)，切線(xiàn) MA 的斜率為2.(1)求 p 的值；(2)當(dāng) M 在 C2 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線(xiàn)段 AB 中點(diǎn) N 的軌跡方程(A，B 重合于 O 時(shí)，中點(diǎn)為 O)x解(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn) C1：x24y 上任意一點(diǎn)(x，y)的切線(xiàn)斜率為 y2，且切線(xiàn)1æ1öèø11故切線(xiàn) MA 的方程為 y2(x1)4.因?yàn)辄c(diǎn) M(1 2，y0)在切線(xiàn) MA 及拋物線(xiàn) C2 上，1132 2于是 y02(2 2)44，(1 2)232 2y02p2p.由得 p2.  1x2öææx2öèøèø2  .由 N 為線(xiàn)段 AB 中點(diǎn)知 xx1x2x21x228  .y 2 (xx1) 4 ，y 2 (xx2) 4 .所以 x1x2 6 .y切線(xiàn) MA，MB 的方程為x1x21x2x22由得 MA，MB 的交點(diǎn) M(x0，y0)的坐標(biāo)為x xx x1x0 1 22，y0 4 2.2因?yàn)辄c(diǎn) M(x0，y0)在 C2 上，即 x04y0，x21x2因此 AB 中點(diǎn) N 的軌跡方程為 x   y.24由得 x23y，x0.4當(dāng) x1x2 時(shí)，A，B 重合于原點(diǎn) O，AB 中點(diǎn) N 為 O，坐標(biāo)滿(mǎn)足 x23y.43