一， 知識(shí)地圖容斥原理內(nèi)容小升初數(shù)學(xué)思維拓展第 21 講  容斥原理二者關(guān)系分類三者關(guān)系內(nèi)容   韋恩圖公式求總數(shù)，三項(xiàng)都參加，三項(xiàng)都不參加的基本計(jì)算題型求一項(xiàng)參加，兩項(xiàng)參加的- 方程法求多項(xiàng)未知- 方程法求只參加一項(xiàng)，只參加二項(xiàng)的- 間接計(jì)算正方形與圖形結(jié)合圓形整除與其他知識(shí)相結(jié)合與數(shù)論知識(shí)結(jié)合最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)平方數(shù)，立方數(shù)奇偶數(shù)算術(shù)法方程法最值問(wèn)題三次都會(huì)最大最小會(huì)兩次最大最小與排列組合結(jié)合電燈開(kāi)關(guān)應(yīng)用題型報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身其他題型圖形法表格法二，基礎(chǔ)知識(shí)趣題導(dǎo)引：有一次，學(xué)而思小升初培訓(xùn)部進(jìn)行數(shù)學(xué)和英語(yǔ)模擬測(cè)試，全體學(xué)員的考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)出來(lái)后，周老師在班上向同學(xué)報(bào)告所有學(xué)員的考試情況。周老師說(shuō)：“這次考試成績(jī)比上一次有了很大的提高，說(shuō)明同學(xué)們?cè)谶@一段時(shí)間內(nèi)非常認(rèn)真地學(xué)習(xí)了學(xué)而思的課程，有我們老師的功勞，但更重要的是你們的努力，希望下一次考試可以更上一層樓。我們?nèi)w六年級(jí)學(xué)員有 1106 人，其中數(shù)學(xué)成績(jī) 90 分以上的有 542 人，英語(yǔ)成績(jī) 90 分以上的有 479 人，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)都考 90 分以上的有 256 人，數(shù)學(xué)和英語(yǔ)成績(jī)都在 90 分以下的有 350 人，希望這部分同學(xué)可以?shī)^起直追，加倍努力，爭(zhēng)取在下一次考試中也都可以拿到 90 分以上的好成績(jī)?！薄爸芾蠋煹脑拕傉f(shuō)完，其中一個(gè)同學(xué)小明就舉手說(shuō)：“老師，您的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)有問(wèn)題，至少有一個(gè)人數(shù)是不對(duì)的?！敝芾蠋熀軓娜莸幕卮鹫f(shuō)： 沒(méi)錯(cuò)，小明同學(xué)說(shuō)得很對(duì)，確實(shí)有一個(gè)數(shù)據(jù)我故意說(shuō)錯(cuò)的，就看大家能不能反應(yīng)出來(lái)，你們知道是為什么嗎？”于是大家都熱烈討論了起來(lái)，同學(xué)們，你們知道小明是如何很快又肯定的說(shuō)有一個(gè)數(shù)據(jù)老師說(shuō)錯(cuò)了嗎？要想知道答案，先學(xué)好下面的內(nèi)容了?。ㄒ唬┤莩庠斫榻B本章節(jié)的主要內(nèi)容是解決 涉及包含與排除 關(guān)系的計(jì)算題與應(yīng)用題，運(yùn)用到的一個(gè)基本原理稱為容斥原理，下面我們將容斥原理的內(nèi)容介紹給大家，由于容斥原理中涉及的各部分之間的關(guān)系非常的微妙，希望同學(xué)可以仔細(xì)學(xué)習(xí)，細(xì)心體會(huì)。1、兩者容斥原理圖形與公式首先討論兩者之間的包含與排除關(guān)系，我們先來(lái)看一個(gè)例子，一個(gè)班級(jí)上有同學(xué)數(shù)學(xué)及格，有同學(xué)語(yǔ)文及格，有同學(xué)兩門功課都及格，還有同學(xué)兩門功課都不及格，那么它們的人數(shù)關(guān)系可以用右圖表示：從圖中我們可以看出它們之間的關(guān)系，即：（數(shù)學(xué)及格人數(shù)+語(yǔ)文及格人數(shù)-都及格人數(shù)）+都不及格人數(shù)=全班人數(shù)大家知道為什么要減都及格人數(shù)嗎？這是因?yàn)閿?shù)學(xué)及格人數(shù)和語(yǔ)文及格人數(shù)里面都包含了兩門都及格的人數(shù)，這樣兩門都及格人數(shù)就重復(fù)計(jì)算兩次，所以要減去一次。總結(jié)為一般規(guī)律，我們可以用公式來(lái)表示：S=（A+B-AB）+D=AB +D（字母含義：AB-既屬于 A、又屬于 B 的元素；AB-屬于 A，B 中任何一個(gè)的元素；D -既不屬于 A、又不屬于 B 的元素。）這就是二者容斥原理的一般表達(dá)形式，圖形表達(dá)（我們稱之為韋恩圖）如圖所示。2、三者容斥原理圖形與公式三者的容斥原理韋恩圖如圖所示，我們可以總結(jié)出三者容斥原理的一般公式形式為：S=（A+B+C-AB-BC-CA+ABC）+D=ABC+D（字母含義：S-全部元素AB-既屬于 A、又屬于 B 的元素；BC-既屬于 B、又屬于 C 的元素；CA-既屬于 C、又屬于 A 的元素；ABC-既屬于 A、又屬于 B、又屬于 C 的元素；D -既不屬于 A、又不屬于 B、也不屬于 C 的元素；ABC-屬于 A，B，C 的全部元素。）討論：AB，BC，CA 同時(shí)包含于兩個(gè)集合里面，各多加一次，所以應(yīng)該各減去一次，那么為什么還要再加上 ABC 呢？原來(lái)這是因?yàn)?#160;A，B，C，AB，BC，CA 六個(gè)集合里面都包含了 ABC，所以 ABC 被加了三次，又減了三次，這樣就相當(dāng)于沒(méi)加沒(méi)減，所以應(yīng)該再加上一次 ABC。上面兩個(gè)韋恩圖與兩個(gè)公式就是容斥原理的全部?jī)?nèi)容，希望同學(xué)們可以結(jié)合圖形與公式進(jìn)行記憶。（二）容斥原理考察題型的一般形式1、基本計(jì)算題型：（1）求全部元素 S，直接套用公式。（2）求屬于三集合元素項(xiàng)：ABC = A+B+C-AB-BC-CA+ ABC（3）求不屬于三集合元素項(xiàng) D，可以利用兩種公式變形：D=S（ABAB）（兩者）D=S（ABCABBCCAABC）（三者）（4）求一集合元素或二集合元素中的一項(xiàng)（如 A，AB 等），利用公式變形比較麻煩，我們采用方程法：設(shè)所求部分為 x，利用公式原型列出方程，解出未知數(shù)。（5）多項(xiàng)未知，則必須用方程法，設(shè)其中一項(xiàng)為 x，表示出其他各項(xiàng)，利用公式原型列出方程，解出未知數(shù)。（6）求其他間接項(xiàng)， 一般先求出相關(guān)部分項(xiàng)， 再進(jìn)行組合與排除。一般可能有以下幾種情況：1，只屬于某集合元素。如：只屬于 A 元素=AABCAABC；2，只屬于一集合全部元素=ABCAB×2BC×2CA×2+ABC×3；3，只屬于某二集合元素：如只屬于 A，B 元素=AB-ABC；4，只屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC×3；5，至少屬于二集合全部元素=AB+BC+CA-ABC×2 等。同學(xué)們可以自己結(jié)合韋恩圖進(jìn)行總結(jié)。2、與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合題型（1）與圖形相結(jié)合求總面積：逐一求出公式中對(duì)應(yīng)各部分面積，套用公式或列出方程。（2）與數(shù)論中倍數(shù)知識(shí)相結(jié)合：詳見(jiàn)例題 5。（3）與分?jǐn)?shù)知識(shí)相結(jié)合，可轉(zhuǎn)化為（2）中題型，詳見(jiàn)例題 6。（4）與數(shù)論中平方，立方數(shù)知識(shí)相結(jié)合，利用估算法，詳見(jiàn)拓展訓(xùn)練 2。（5）與最值問(wèn)題相結(jié)合：公式中某項(xiàng)的最大最小問(wèn)題，采用方程分析法和極端假設(shè)法，詳見(jiàn)例題 8，9。3、應(yīng)用題型（1）關(guān)于電燈開(kāi)關(guān)題型：電燈被拉奇數(shù)次改變開(kāi)關(guān)狀態(tài)，被拉偶數(shù)次不改變開(kāi)關(guān)狀態(tài)。弄清楚所要求項(xiàng)的具體含義及所對(duì)應(yīng)韋恩圖部分，先求出公式中相關(guān)項(xiàng)，利用間接法求出，請(qǐng)結(jié)合題型 1（6）中公式進(jìn)行。詳見(jiàn)例題 7。（2）關(guān)于報(bào)數(shù)轉(zhuǎn)身題型：轉(zhuǎn)身奇數(shù)次改變方向，轉(zhuǎn)身偶數(shù)次不改變方向。 與電燈開(kāi)關(guān)題型思路一致。4、其他題型當(dāng)題目中不涉及重復(fù)部分的計(jì)算或者已知條件不是容斥原理中相關(guān)項(xiàng)時(shí)，可能不需要利用容斥原理公式進(jìn)行計(jì)算，但必須畫(huà)出韋恩圖或者自己設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析，必須讓各部分關(guān)系直觀清晰，詳見(jiàn)拓展訓(xùn)練 9。如一種常用的的表格形式為：一班二班三班總數(shù)男生一班男生二班男生三班男生男生總數(shù)女生一班女生二班女生三班女生女生總數(shù)總數(shù)一班總數(shù)二班總數(shù)三班總數(shù)所有總數(shù)趣題解析：學(xué)完容斥原理的知識(shí)后，同學(xué)們是不是可以解釋開(kāi)篇趣題中小明的問(wèn)題了呢？原來(lái)小明在周老師報(bào)完四個(gè)人數(shù)后很快的心算了一下，發(fā)現(xiàn)不符合容斥原理的數(shù)量關(guān)系，所以才說(shuō)數(shù)據(jù)有問(wèn)題。根據(jù)容斥原理的公式，全體學(xué)員人數(shù)應(yīng)該是（542+479-256）+350=1115，而周老師又說(shuō)全體學(xué)員人數(shù)為 1106 人，所以前后矛盾，其中肯定至少有一個(gè)數(shù)據(jù)是不對(duì)的，同學(xué)們，你們學(xué)會(huì)了嗎？如果覺(jué)得很有意思，就繼續(xù)往下做題吧！三、經(jīng)典透析【例 1】（）志誠(chéng)中學(xué) 5 年級(jí)有 200 名學(xué)生踴躍申報(bào)學(xué)而思各學(xué)科培訓(xùn)班，已知申報(bào)奧數(shù)班的學(xué)生有 140 人，申報(bào)英語(yǔ)班的學(xué)生有 120 人，申報(bào)科技班的學(xué)生有 60 人，參加奧數(shù)和英語(yǔ)班的學(xué)生有 60 人，申報(bào)奧數(shù)和科技班的學(xué)生有 40 人，申報(bào)英語(yǔ)班和科技班的學(xué)生有 30 人，那么有多少人三個(gè)班都報(bào)了？審題要點(diǎn)：此題為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，大家先復(fù)習(xí)一下三者關(guān)系容斥原理的“韋恩圖”與計(jì)算公式，根據(jù)條件對(duì)應(yīng)逐一填入，然后直接運(yùn)用公式將未知求出。詳解過(guò)程：解：畫(huà)出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，只有三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，設(shè)為 x 人，根據(jù)容斥原理公式列出方程：140+120+60604030+x=200，解出 x=10，所以共有 10 人三個(gè)班都報(bào)了。專家點(diǎn)評(píng)：此題中由于是三個(gè)班都報(bào)的同學(xué)未知，所以也可以不列方程，將公式變形用算術(shù)方法直接算出，200（140+120+60604030）=10（人）。差別不大，同學(xué)們注意體會(huì)其中關(guān)系?！纠?#160;2】（）火星小學(xué)四年級(jí)有 45 人參加了慰問(wèn)堅(jiān)守在青年宮、防洪紀(jì)念塔、九站三個(gè)地段抗洪的解放軍叔叔的活動(dòng)，去過(guò)青年宮慰問(wèn)的有 19 人，去過(guò)防洪紀(jì)念塔的有 18 人，去過(guò)九站的有 16 人；去過(guò)青年宮、防洪紀(jì)念塔兩處的有 7 人，去過(guò)青年宮、九站兩處的有6 人，去過(guò)防洪紀(jì)念塔、九站兩處的有 5 人；有 3 人三處都去過(guò)；其余的在校準(zhǔn)備慰問(wèn)品，請(qǐng)問(wèn)準(zhǔn)備慰問(wèn)品的有多少人？審題要點(diǎn)：此題也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)為沒(méi)有參加任何一項(xiàng)慰問(wèn)活動(dòng)的同學(xué)，可以列方程算出，也可以直接對(duì)公式變形用算術(shù)法算出。詳解過(guò)程：解：方程法：畫(huà)出韋恩圖，將相應(yīng)人數(shù)填入，設(shè)在校準(zhǔn)備慰問(wèn)品的人數(shù)為 x，根據(jù)公式直接列出方程為（19+18+16-7-6-5+3）+x=45，解出 x=7，所以準(zhǔn)備慰問(wèn)品的人數(shù)為 7 人。算術(shù)法：直接將公式變形，可求得準(zhǔn)備慰問(wèn)品人數(shù)為45-（19+18+16-7-6-5+3）=7（人）。專家點(diǎn)評(píng)：對(duì)于求三者都參加或者三者都不參加的部分，用方程法與算術(shù)法差別不大，但是對(duì)于求只參加一項(xiàng)或參加兩項(xiàng)的部分， 建議最好用方程，因?yàn)樵诠阶冃沃泻苋菀壮霈F(xiàn)符號(hào)的變形錯(cuò)誤，請(qǐng)看例題 3。（【例 3】 ）某校五年級(jí)有 120 名學(xué)生，訂故事大王的有 85 人，訂兒童漫畫(huà)的有 90 人，訂優(yōu)秀作文選的有 70 人，同時(shí)訂故事大王和優(yōu)秀作文選的有 62人，同時(shí)訂兒童漫畫(huà)和優(yōu)秀作文選的有 46 人，同時(shí)訂這三種雜志的有 21 人，此外，還有 5 名學(xué)生沒(méi)有訂任何雜志，問(wèn)：恰好只訂了故事大王和兒童漫畫(huà)的有多少人？審題要點(diǎn)：此題與前兩題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中未知數(shù)為只訂故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)，所以建議使用方程法解出。注意題目中要求的是只訂故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)，而不是訂了故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)，所以應(yīng)該先求出訂了故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)，然后再減去三項(xiàng)都訂的人數(shù)即可。詳解過(guò)程：解：設(shè)同時(shí)訂故事大王和兒童漫畫(huà)的有 x 人，根據(jù)公式原型列出方程為：120-85-90-70+62+46+x-21=5，解得 x=43所以，只訂故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)為 43-21=22 人。專家點(diǎn)評(píng)：1，此題中未知的是參加兩項(xiàng)的人數(shù)，所以不易用將公式變形用算術(shù)方法求出，而應(yīng)該列出方程，這樣數(shù)據(jù)關(guān)系更清晰。2，注意題目要求的是只訂故事大王和兒童漫畫(huà)的人數(shù)，這不是容斥原理公式中涉及的部分，所以不能直接求出，而應(yīng)該根據(jù)韋恩圖中的關(guān)系間接求出。【例 4】（）五年級(jí)三班有 46 名學(xué)生參加三項(xiàng)課外活動(dòng)，其中 24 人參加了繪畫(huà)小組，20 人參加了合唱小組，參加朗誦小組的人數(shù)是既參加繪畫(huà)小組又參加朗誦小組人數(shù)的3.5 倍，又是三項(xiàng)活動(dòng)都參加人數(shù)的7 倍，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)相當(dāng)于三項(xiàng)都參加人數(shù)的 2 倍，既參加繪畫(huà)小組又參加合唱小組的有 10 人，求參加朗誦小組的人數(shù)。審題要點(diǎn)：此題與前三題類型相同，也為涉及三者關(guān)系的容斥原理典型題型，題目中不止一項(xiàng)未知數(shù)，但是各項(xiàng)未知數(shù)之間具有倍數(shù)關(guān)系，所以應(yīng)該用方程法解答。詳解過(guò)程：解：觀察發(fā)現(xiàn)三項(xiàng)都參加的人數(shù)最少，所以設(shè)其為 x，那么參加朗誦小組的人數(shù)為 7x，既參加繪畫(huà)小組又參加朗誦小組人數(shù)為 2x，既參加朗誦小組又參加合唱小組的人數(shù)也為 2x，畫(huà)出韋恩圖，根據(jù)公式列出方程：46= 24+20+7x-2x-2x-10+x 解出 x=3所以參加朗誦小組的人數(shù)為 7x=21 人。專家點(diǎn)評(píng)：1，此題不能直接利用公式變形算術(shù)方法算出，必須列出方程。2，列方程解應(yīng)用題時(shí) x 的選擇并不一定是題目所求，而應(yīng)該是所有未知量中較小值，這樣其他未知量就比較好表示出，否則方程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或除法，不利于方程的解答?！纠?#160;5】（）在 1 到 2004 的所有自然數(shù)中，既不是 2 的倍數(shù)，也不是 3、5 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？審題要點(diǎn)：此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型，首先要糾正一種非常錯(cuò)誤的方法：即用全部數(shù)分別減去 2，3 和 5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)即得到答案。錯(cuò)誤原因是 2，3，5 的倍數(shù)之中有很多重復(fù)的部分，所以應(yīng)該利用容斥原理的基本原理，畫(huà)出韋恩圖，根據(jù)公式計(jì)算。詳解過(guò)程：解：1，畫(huà)出韋恩圖，首先計(jì)算各集合部分的個(gè)數(shù)：2 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷2=1002，3 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷3=668，5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷5=4004，2，再計(jì)算各重復(fù)部分的個(gè)數(shù)：同時(shí)是 2 和 3 的倍數(shù)，即是 6 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷6=334同時(shí)是 2 和 5 的倍數(shù)，即是 10 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷10=2004同時(shí)是 3 和 5 的倍數(shù)，即是 15 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷15=1339同時(shí)是 2，3，5 的倍數(shù)，即是 30 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2004÷30=66243，根據(jù)公式變形可得不是 2、3、5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：2004-（1002+668+400-334-200-133+66）=535。專家點(diǎn)評(píng)：1，由于有些數(shù)可能同時(shí)是 2，3，5 的倍數(shù)，所以應(yīng)該考慮聯(lián)系到容斥原理的運(yùn)用，因?yàn)槿莩庠淼闹饕δ芫褪墙鉀Q有關(guān)重復(fù)內(nèi)容的原理。2，同時(shí)是幾個(gè)數(shù)的倍數(shù)，那么就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的倍數(shù)?！纠?#160;6】（）分母是 385 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有多少個(gè)？審題要點(diǎn)：由于分母 385=5×7×11，要求分?jǐn)?shù)為最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)，所以分子不能是 5、7、11 的倍數(shù)。此題即轉(zhuǎn)化為求 1385 中不是 5、7、11 的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，和上一題完全類似，采取一樣的解題思路與步驟。詳解過(guò)程：解：1，畫(huà)出韋恩圖，首先計(jì)算各部分的個(gè)數(shù)：5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷5=777 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷7=5511 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷11=35同時(shí)是 5 和 7 的倍數(shù)即是 35 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷35=11同時(shí)是 5 和 11 的倍數(shù)即是 55 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷55=7同時(shí)是 7 和 11 的倍數(shù)即是 77 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷77=5同時(shí)是 5，7，11 的倍數(shù)即是 385 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：385÷385=12，根據(jù)公式變形，可得不是 5、7、11 的倍數(shù)個(gè)數(shù)為：385-（77+55+35-11-7-5+1）=240。所以分母是 385 的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有 240 個(gè)。專家點(diǎn)評(píng)：此題也為容斥原理與數(shù)論知識(shí)相結(jié)合的一類典型題型， 首先需要了解的知識(shí)點(diǎn)是 最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)， 即分子與分母必須為互質(zhì)關(guān)系， 也即是分子不能是分母質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)， 得出解題思路。另外，本題還可以用中國(guó)剩余定理和乘法原理來(lái)解決。需要尋找 1385 中不被 5、7、11 中任何一個(gè)數(shù)整除的個(gè)數(shù)。被 5 除的余數(shù)有 14，共 4 種；被 7 除的余數(shù)有 16，共 6 種；被 11 除的余數(shù)有 110，共 10 種；根據(jù)中國(guó)剩余定理，對(duì)于任何一種余數(shù)組合，1385 中必存在唯一的數(shù)滿足。所以，根據(jù)乘法原理，1-385 中不被 5、7、11 中任何一個(gè)數(shù)整除的個(gè)數(shù)為 4×6×10=240?！纠?#160;7】（）有 2000 盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開(kāi)關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序編號(hào)為 1，2，3，2000，然后將編號(hào)為 2 的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為 3 的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為 5 的倍數(shù)的燈線拉一下，三次拉完后，亮著的燈有多少盞？審題要點(diǎn)：此題與前兩題一樣，涉及數(shù)論中倍數(shù)關(guān)系的容斥原理應(yīng)用題型，解題思路完全一樣，但是要注意最后要求的部分不一樣 ，必須利用間接計(jì)算法 進(jìn)行簡(jiǎn)單的分解與組合。詳解過(guò)程：解：1、首先分析最后要求的部分含義是什么。電燈原來(lái)亮著，要求三次拉完之后還是亮著，則燈被拉的次數(shù)必須為偶數(shù)，即可能是一次都沒(méi)被拉，也可能是只被拉兩次的。所以最后的答案應(yīng)該是兩部分之和。2、進(jìn)行各部分的計(jì)算：2 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷2=1000；3 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷3=6662；5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷5=400；6 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷6=3332；10 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷10=200；15 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷15=1335；30 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：2000÷30=6620。3、根據(jù)公式變形，可得沒(méi)被拉一次的電燈盞數(shù)（不是 2、3、5 的倍數(shù)）為：2000-（1000+666+400-333-200-133+66）=534。只被拉兩次的電燈盞數(shù)（只是其中兩者的倍數(shù)）為：333+200+133-66×3=468。所以最后亮著的燈的盞數(shù)為：534+468=1002。專家點(diǎn)評(píng)：1、此題首先要弄清楚是哪些燈最后還是亮著的，主要包括兩部分的燈：一次都沒(méi)拉和只拉了兩次的。2、只拉了兩次的燈數(shù)中不包括三次都拉了的燈數(shù)，所以計(jì)算時(shí)應(yīng)該減去被拉三次燈數(shù)的三倍（因?yàn)槎嘤?jì)算三次），請(qǐng)參考題型 1（6）中的間接計(jì)算方法。【例 8】（）圖書(shū)室有 100 本書(shū)，借閱圖書(shū)者需要在圖書(shū)上簽名。已知這 100 本書(shū)中有甲、乙、丙簽名的分別有 33、44 和 55 本，其中同時(shí)有甲、乙簽名的圖書(shū) 29 本，同時(shí)有甲、丙簽名的圖書(shū)為25 本，同時(shí)有乙、丙簽名的圖書(shū)為 36 本。問(wèn)這批圖書(shū)中最少有多少本沒(méi)有被甲、乙、丙中的任何一人借閱過(guò)？審題要點(diǎn)：此題屬于容斥原理與最值問(wèn)題相結(jié)合題型，公式中只有兩項(xiàng)未知：沒(méi)被任何人借閱過(guò)的和同時(shí)被三人借閱過(guò)的數(shù)目，一項(xiàng)的最值取決于另一項(xiàng)的取值，采用方程法分析。詳解過(guò)程：解：題目中未知項(xiàng)有兩項(xiàng)，沒(méi)被任何人借閱過(guò)的和同時(shí)被三人借閱過(guò)的，分別設(shè)為 x，y，根據(jù)公式列出不定方程為：100=（33+44+55-29-25-36+ y）+x，化簡(jiǎn)為：x + y=58要使 x 值取最少，那么 y 值應(yīng)該盡量大，由韋恩圖可看出 y 包含于三集合 29，25，36中，所以 y 的最大值應(yīng)該是 25，此時(shí) x=33，即最少有 33 本沒(méi)有被甲乙丙中的任何一人借閱過(guò)。專家點(diǎn)評(píng)：1，由于只有兩項(xiàng)未知數(shù)，所以可以用方程法進(jìn)行分析，如果未知數(shù)多于兩個(gè)，則不宜用方程法，下一題即是此種情況。2，應(yīng)該用包含的原理得出其中項(xiàng)的最大值或最小值。若 A 包含 B，那么 B 的最大值為 A，A 的最小值為 B，如：某班數(shù)學(xué)成績(jī)滿分人數(shù)為15，那么數(shù)學(xué)語(yǔ)文成績(jī)均滿分的人數(shù)最大為15，反之若數(shù)學(xué)語(yǔ)文成績(jī)均滿分的人數(shù)為 5，那么語(yǔ)文成績(jī)滿分的人數(shù)最少為 5 人?！纠?#160;9】（）甲、乙、丙同時(shí)給 100 盆花澆水。已知甲澆了 78 盆，乙澆了 68 盆，丙澆了 58 盆，那么 3 人都澆過(guò)的花最少有多少盆？審題要點(diǎn)：此題與上題類似，屬于 容斥原理與最值問(wèn)題相結(jié)合題型， 但是題目已知條件太少， 公式中未知項(xiàng)有 5 項(xiàng)，所以不好直接用方程法分析出最后答案。采用極端假設(shè)法進(jìn)行分析。詳解過(guò)程：解：因?yàn)轭}目所求為 3 人都澆過(guò)的花最少為幾盤，那么意思就是我們應(yīng)該讓 3 人澆過(guò)的花盡量分散，即每人盡量不要澆其他人澆過(guò)的花， 采用極端假設(shè)法即假設(shè)每人都首先選擇澆其他人沒(méi)澆過(guò)的花。首先考慮甲和乙，甲澆了 78 盆，沒(méi)澆 100-78=22 盆，那么乙應(yīng)該先澆甲沒(méi)澆的 22 盆，剩下的只能選擇甲已經(jīng)澆過(guò)的68-22=46 盆，這樣兩人都澆過(guò)的有 46 盆，只有一人澆過(guò)的有 100-46=54 盆。再考慮丙，丙應(yīng)該先選擇澆只有一個(gè)人澆過(guò)的 54 盆，剩下的只能選擇 兩 人 都 澆 過(guò) 的58-54=4盆 ， 這 樣 三 人 都 澆 過(guò) 的 為4盆 ，其他盆均為至多兩人澆過(guò)的。所以，3 人都澆過(guò)的花最少有 4 盆。專家點(diǎn)評(píng)：1，題目中所給條件太少，很難用二元方程的常規(guī)方法分析，所以選擇用極端假設(shè)法。2，運(yùn)用極端假設(shè)法時(shí)，必須隨時(shí)滿足題目要求的最值條件，這里應(yīng)該要強(qiáng)調(diào)掌握從反面角度考慮問(wèn)題的思路。不能怎么樣，那么我們就應(yīng)該怎么樣；要怎么樣，那么我們就不能怎么樣。3，滿足最值條件的假設(shè)結(jié)論即是我們要求的最值結(jié)論。4，此題也有另外的多元方程分析法。多元方程知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)比較好的同學(xué)可以參考使用：另解：如果從整體考慮，三個(gè)人一共澆了 78+68+58=204（盆）花，如果設(shè)被澆次數(shù)為 1、2、3 次的花盆數(shù)分別為 a、b、c，那么可以得到以下兩條等式：a b+c=100a+2b+3c=204-×2，得到： c4+a 。因?yàn)?#160;a0 ，所以 c4 ，所以被 3 個(gè)人都澆過(guò)的花至少有 4 盆。四、拓展訓(xùn)練1、邊長(zhǎng)為 6、5、2 的三個(gè)正方形，如圖所示，求它們的蓋住部分的面積。2、在 1 到 1000 的自然數(shù)中，既不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3、求在 1100 的自然數(shù)中不是 5 的倍數(shù)也不是 6 的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？4、某校有 28 名學(xué)生參加市運(yùn)動(dòng)會(huì)，參加跑步類項(xiàng)目的有 15 人，參加跳類項(xiàng)目的有 13 人，參加投擲類項(xiàng)目的有 14 人，既參加跑又參加跳項(xiàng)目的有 4 人，既參加跑又參加投擲項(xiàng)目的有 6 人，既參加跳又參加投擲項(xiàng)目的有5 人，三種項(xiàng)目都參加的有 2 人，試說(shuō)明：這個(gè)報(bào)名表有誤。5、以 1001 為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？6、學(xué)而思六年級(jí)競(jìng)賽班有50 人，共有三個(gè)科技興趣小組：天文、無(wú)線電和計(jì)算機(jī)，參加天文組的有 38 人，參加無(wú)線電組的有 35 人，參加計(jì)算機(jī)組的有 31 人，既參加天文組又參加無(wú)線電組的有 29 人，既參加天文組又參加計(jì)算機(jī)組的有 28 人，既參加無(wú)線電又參加計(jì)算機(jī)組的有 26 人，三個(gè)小組都參加的有 24 人，試求三個(gè)小組都沒(méi)有參加的人數(shù)。7、不超過(guò) 201 的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有多少個(gè)？8、某科室有 12 人，其中 6 人會(huì)英語(yǔ)，5 人會(huì)俄語(yǔ)，5 人會(huì)日語(yǔ)，有 3 人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)俄語(yǔ)，有 2 人既會(huì)俄語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，有 2 人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，有 1 人英、日、俄這三種語(yǔ)言全會(huì)，只會(huì)一種外語(yǔ)的人比一種外語(yǔ)也不會(huì)的人多多少人？9、（1）48 人中無(wú)弟弟的有 38 人，有弟弟無(wú)妹妹的有 8 人，無(wú)弟弟有妹妹的人數(shù)是有弟弟有妹妹人數(shù)的 2 倍，試問(wèn)：這 48 人當(dāng)中是獨(dú)生子女的有幾個(gè)？（2）學(xué)而思舉行各年級(jí)學(xué)生畫(huà)展，其中 18 幅不是六年級(jí)的，20 幅不是五年級(jí)的，現(xiàn)在知道五、六年級(jí)共展出 22 幅畫(huà)，問(wèn)：其他年級(jí)共展出多少幅畫(huà)？8、 如圖，5 條同樣長(zhǎng)的線段拼成了一個(gè)五角形。如果每條線段上恰有 1994 個(gè)9、 點(diǎn)被染成紅色，那么在這個(gè)五角形上紅色點(diǎn)最少有多少個(gè)？初級(jí)點(diǎn)撥：1、直接利用三者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分面積。2、直接利用二者容斥原理的公式進(jìn)行計(jì)算，首先應(yīng)該分別算出各相應(yīng)部分個(gè)數(shù)。3、此題為兩者關(guān)系的容斥原理與數(shù)論倍數(shù)相結(jié)合 題型，求出各部分個(gè)數(shù)，利用公式計(jì)算。4、可以根據(jù)其他數(shù)據(jù)計(jì)算學(xué)生總?cè)藬?shù)，看是否等于已知條件，利用容斥原理公式。5、此題為容斥原理與數(shù)論知識(shí)的結(jié)合考察，先分解質(zhì)因數(shù) 1001=7×11×13，所以分子不能是 7，11，13 的倍數(shù)。6、容斥原理基本題型，直接利用公式，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。7、此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。首先按數(shù)位分兩大類：兩位數(shù)與三位數(shù)。兩位數(shù)中：只有5 個(gè)（11、33、55、77、99）符合條件。三位數(shù)的個(gè)數(shù)必須利用容斥原理公式計(jì)算。8、此題為基本計(jì)算題，一種外語(yǔ)也不會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)應(yīng)該要用間接法求出。9、（1）此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析。有妹妹  無(wú)妹妹  總和有弟弟無(wú)弟弟總和（2）此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，畫(huà)出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解答。10、此題屬于容斥原理與最值問(wèn)題相結(jié)合 題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)點(diǎn)總數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。深度提示：1、三正方形面積分別為 5×5=25，6×6=36，2×2=4，兩兩重復(fù)部分面積分別為 3×3=9，1×2=2，1×2=2，三正方形均重復(fù)的部分面積為 1×1=1，然后直接套用公式。2、1-1000 中，3121000322，所以平方數(shù)個(gè)數(shù)為 31。、103=1000，所以立方數(shù)個(gè)數(shù)為 10。、即是平方數(shù)也是立方數(shù)則 應(yīng)該是六次方數(shù)， 36100046，所以個(gè)數(shù)為 3。然后直接套用公式。3、5 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷5=20；6 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷6=164；30 的倍數(shù)個(gè)數(shù)：100÷30=310。要求不是 5，6 的倍數(shù)，可利用公式變形。4、直接計(jì)算總?cè)藬?shù)為 15+13+14-4-6-5+2=29 人。5、計(jì)算各部分個(gè)數(shù)：7 的倍數(shù)有 143 個(gè)，11 的倍數(shù)有 91 個(gè)，13 的倍數(shù)有 77 個(gè)，7×11 的倍數(shù)有 13 個(gè)，13×7 的倍數(shù)有 11 個(gè)，11×13 的倍數(shù)有 7 個(gè)，只有 1001 是 7、11、13 的倍數(shù)，套用公式。6、方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=507、三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算：至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)，所以設(shè)計(jì)韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為 9×8=72，偶數(shù)有50 個(gè)，三個(gè)數(shù)字都不相同的偶數(shù)為 5×8=40 個(gè)，套用公式。8，根據(jù)題型 1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)為：6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5。9，（1）根據(jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：有妹妹  無(wú)妹妹  總和有弟弟x8無(wú)弟弟2x38總和48 根據(jù)韋恩圖，18 幅不是六年級(jí)的，即 A+C=18，20 幅不是五年級(jí)的，即 B+C=20，又五六年級(jí)共 22 幅圖，即 A+B=22。聯(lián)立三方程，解出未知數(shù)。10、設(shè)總點(diǎn)數(shù)為 x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為 y，根據(jù)公式有 x=1994×5-y，化簡(jiǎn)為 x=9970-y，要求 x 為最少，對(duì) y 進(jìn)行分析。全解過(guò)程：1、根據(jù)三者容斥原理公式，覆蓋總面積為 25+36+4-9-2-2+1=53。2、根據(jù)公式得不是平方數(shù)也不是立方數(shù)的個(gè)數(shù)是：1000（31+10-3）=962。3、公式變形為：100-（20+16-3）=67 即不是 5，6 倍數(shù)的數(shù)有 67 個(gè)。4、因?yàn)橐阎獥l件為 28 人，所以相互矛盾，報(bào)表有誤。5、根據(jù)公式計(jì)算：最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)為 1001-（143+77+91-7-13-11+1）=720?；蛘撸海?-1）×（11-1）×（13-1）=720。6、初級(jí)點(diǎn)撥：容斥原理基本題型，可列出方程，也可進(jìn)行公式變形。深度提示：方程法：（38+35+31-29-28-26+24）+x=50全解：解方程得 x=5，也可利用公式變形：50-（38+35+31-29-28-26+24）=5 人7、初級(jí)點(diǎn)撥：此題較為復(fù)雜，是容斥原理與排列組合知識(shí)的綜合題型。首先按數(shù)位分兩大類：兩位數(shù)與三位數(shù)。兩位數(shù)中，只有 5 個(gè)（11、33、55、77、99）符合要求。深度提示：三位數(shù)中的個(gè)數(shù)計(jì)算：至少兩個(gè)數(shù)字相同的反面是三個(gè)數(shù)字都不相同，奇數(shù)的反面是偶數(shù)，所以設(shè)計(jì)韋恩圖為：可看出外圍部分即為所求至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)。根據(jù)乘法原理：三個(gè)數(shù)字都不相同的數(shù)字個(gè)數(shù)為 9×8=72，偶數(shù)有 50 個(gè)，三個(gè)數(shù)字都不相同的偶數(shù)為 5×8=40 個(gè)。全解：根據(jù)公式，可知三位數(shù)中至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)為 100-（72+50-40）=18。所以不超過(guò) 201 的自然數(shù)中，至少有兩個(gè)數(shù)字相同的奇數(shù)有 18+5=23 個(gè)。8、初級(jí)點(diǎn)撥：此題為基本計(jì)算題，一種外語(yǔ)也不會(huì)的人可以直接利用公式變形算出，只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)應(yīng)該要用間接法求出：深度提示：根據(jù)題型 1（6）中公式介紹可知只會(huì)一種外語(yǔ)的人數(shù)為：6+5+5-（3+2+2）×2+1×3=5全解：根據(jù)公式變形可知一種外語(yǔ)也不會(huì)的人數(shù)為 12-（6+5+5-3-2-2+1）=2所以只會(huì)一種外語(yǔ)的人比一種外語(yǔ)也不會(huì)的人多 5-2=3（人）。另解：用分塊計(jì)數(shù)法如下圖可知，只會(huì)一種外語(yǔ)的有2+2+1=5 人，一種也不會(huì)的有 2 人。所求答案是 5-2=3 人。英語(yǔ)2俄語(yǔ)21 1 112日語(yǔ)2有妹妹無(wú)妹妹總和有弟弟無(wú)弟弟9、（1）初級(jí)點(diǎn)撥：此題可以設(shè)計(jì)表格進(jìn)行分析。總和深度提示：根據(jù)條件將數(shù)據(jù)填入表格：有妹妹  無(wú)妹妹  總和有弟弟x8無(wú)弟弟2x38總和48全解：根據(jù)數(shù)據(jù)關(guān)系將表格補(bǔ)充完整：有妹妹無(wú)妹妹總和、A=48-38=10 、x=A-8=2、y=38-2x=34有弟弟x=28A=10y 為無(wú)弟弟無(wú)妹妹即是獨(dú)生子女，所以獨(dú)生子女有 34 個(gè)。無(wú)弟弟   2x=4    y=34    38總和       6      42     48初級(jí)點(diǎn)撥：此題屬于容斥原理里面的特殊題型，含有否定的已知部分，應(yīng)該轉(zhuǎn)化為肯定的部分?jǐn)?shù)據(jù)，畫(huà)出韋恩圖，然后列出方程進(jìn)行解答。深度提示：根據(jù)韋恩圖，18 幅不是六年級(jí)的，即 A+C=18，20 幅不是五年級(jí)的，即 B+C=20，又五六年級(jí)共 22 幅圖，即 A+B=22，解出未知數(shù)。全解：三式全部相加可得：A+B+C=（18+20+22）÷2=30，所以其他年級(jí)的畫(huà)數(shù)為 30-22=8。10、初級(jí)點(diǎn)撥： 此題屬于容斥原理與最值問(wèn)題 相結(jié)合題型，由于未知條件僅為紅色點(diǎn)總數(shù)和重復(fù)點(diǎn)總數(shù)，應(yīng)該用方程法分析。深度提示：設(shè)總點(diǎn)數(shù)為 x，重復(fù)點(diǎn)數(shù)為 y，根據(jù)公式有 x=1994×5-y，化簡(jiǎn)為 x=9970-y，要求 x 為最少，對(duì) y 進(jìn)行分析。全解過(guò)程：要使 x 最少，y 應(yīng)該盡量大，五角星中線段與線段之間一共十個(gè)點(diǎn)，所以重復(fù)點(diǎn)數(shù)最多為 10 個(gè)，所以 x 最少為 9970-10=9960，即紅色點(diǎn)最少有 9960 個(gè)。