S  = f (n)、S  = f (a )ìS1      (n = 1),S   - S求數(shù)列通項(xiàng)公式用 an= în三、求數(shù)列的通項(xiàng)公式【知識(shí)點(diǎn)梳理】1、已知nnn必修 5數(shù)列ín-1     (n ³ 2).îa- a   = f (n)2、已知ìín+1a = a1n 求數(shù)列通項(xiàng)公式用迭加法ín+1 =  f (n)ïî a3、已知ì  a = aï a 1n            求數(shù)列通項(xiàng)公式用迭乘法4、已知 an+1= pa + qn求數(shù)列通項(xiàng)公式令  b   = a（1）可轉(zhuǎn)化為an+1- a = p(a - an nn-1n)( ³ 2)nn+1- an ，則 bn 成等比數(shù)列；+ k（2）可轉(zhuǎn)化為an+1+ k = p(a + k )na，則 n為等比數(shù)列5、已知形如 a =nan-1    的遞推數(shù)列求數(shù)列通項(xiàng)公式都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)ka + bn-1【典型例題】【題型一：利用公式法求通項(xiàng)】a【例 1】已知 S 為數(shù)列 nna的前 n 項(xiàng)和，求下列數(shù)列  的通項(xiàng)公式：nS   = 2n 2 + 3n - 1S   = 2 n + 1（1）n；（2）n.第 1 頁(yè) 共 17 頁(yè)a【變式練習(xí)】已知 S 為數(shù)列 n公式.na的前 n 項(xiàng)和， Sn = 3an + 2(n Î N + , n ³ 2) ，求數(shù)列  的通項(xiàng)nîSn - Sn-1 (n ³ 2)【方法與技巧總結(jié)】任何一個(gè)數(shù)列，它的前n 項(xiàng)和 S 與通項(xiàng) an 都存在關(guān)系：nìS (n = 1)a =í 1n若   1適合  aan ，則把它們統(tǒng)一起來(lái)，否則就用分段函數(shù)表示.【題型二：應(yīng)用迭加（迭乘、迭代）法求通項(xiàng)】a【例 2】已知數(shù)列 na中， a1 = 2, an = an-1 + 2n - 1(n ³ 2) ，求數(shù)列  的通項(xiàng)公式；na 滿足 a1 = 3 ，n+1n + 1n ，求 an 已知數(shù)列n2         na =     a第 2 頁(yè) 共 17 頁(yè)滿足 a2           n 2 + na【變式練習(xí) 1】已知數(shù)列 n1 =1             1， a = a +n+1 n，求 a na【變式練習(xí) 2】已知數(shù)列 項(xiàng)公式.na中， a1 = 2, (n + 2)an+1 - (n + 1)an = 0(n Î N + ) ，求數(shù)列  的通n【方法與技巧總結(jié)】迭加法適用于求遞推關(guān)系形如“an+1= a + f (n)n”；迭乘法適用于求遞推關(guān)系形如“an+1= a × f (n)n“；迭加法、迭乘法公式：a = (a - an nn-1) + (an-1- an-2) + (an-2- an-3) + L + (a - a ) + a2 1 1aaaaaa = annn-1a a a  a× n-1 × n-2 × L × 3 × 2 × a1n-2 n-3 2 1     .第 3 頁(yè) 共 17 頁(yè)【題型三：用構(gòu)造法（構(gòu)造等差、等比數(shù)列）求通項(xiàng)】1、形如 an+2= pan+1+ qa (其中 p，q 均為常數(shù)) 的遞推數(shù)列na【例 3】已知數(shù)列 na= 1, a  = 3, an+2 = 3an+1 - 2a滿足 a1       2                         n (n Î N * ). 求數(shù)列   的通項(xiàng)公式na【變式練習(xí)】數(shù)列 n： 3an+2 - 5an+1 + 2an= 0(n ³ 0, n Î N )， a1 = a, a2 = ba，求數(shù)列  n的通項(xiàng)公式第 4 頁(yè) 共 17 頁(yè)2、形如 an+1列后，再求 a n= ka + b（ k , b 為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為k 的等比數(shù)n【解法】把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+1+t = k (a + t )，其中t =nbk - 1，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解中， aa【例 4】已知數(shù)列 n1 = 1 ， an+1= 2a + 3 ，求 a .n na   1（nN   + ），求數(shù)列 a 的通項(xiàng)公式.2na【變式練習(xí)】已知數(shù)列 n中，a1 3，an+1 1n第 5 頁(yè) 共 17 頁(yè)3、形如 an+1= ka + bn+1 （ k , b 為常數(shù)）的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為 k 的等n比數(shù)列后，再求 a n【解法】該類(lèi)型要復(fù)雜一些一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以b n +1 ，得：abn+1 =n+1k an + 1b bn引入輔助數(shù)列 b （其中 bnn =aqn ），得： b  =n n+1kbb + 1 再應(yīng)用 an n+1= ka + b 的方法解決n中， aa【例 5】已知數(shù)列 n1 =5      1     1, a = a + ( ) n+1 ，求 a n+16      3 n 2 n【變式練習(xí)】已知 a = 1, a = 3a1nn-1+ 2n ，求 a n第 6 頁(yè) 共 17 頁(yè)4、形如 an+1= pa + an + b ( p ¹ 1且p ¹ 0，a ¹ 0) 的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比n為 p 的等比數(shù)列后，再求 a n【解法】即令 an+1+ x(n + 1) + y = p(a + xn + y) ，與已知遞推式比較，解出 x, y ，從而轉(zhuǎn)化為nan+ xn + y是公比為 p 的等比數(shù)列a【例 6 】設(shè)數(shù)列 n： a1= 4, a = 3ann-1+ 2n - 1, (n ³ 2) ，求 a .n【變式練習(xí)】在數(shù)列 an 中， a1 =2， an+1 = 4an - 3n + 1 ，求數(shù)列的通項(xiàng) an 第 7 頁(yè) 共 17 頁(yè)【方法與技巧總結(jié)】a原數(shù)列 na既不等差，也不等比若把 中每一項(xiàng)添上一個(gè)數(shù)或一個(gè)式子構(gòu)成新數(shù)列，使之na                    an等比，從而求出該法適用于遞推式形如n+1 =ba + cn或aba + f (n) ann+1 =          或n+1 =ba + cnn其中 b、c 為不相等的常數(shù)， f (n )為一次式ka+ b【題型四：形如 a =an-1nn-1的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)】3 × a+ 11【例 7】 a =an-1nn-1, a = 1 ，求 a .nn   ，a  n+1      （nN   + ），求 a   ，a2       1 + 2aa【變式練習(xí)】已知數(shù)列 n中，a011 annn第 8 頁(yè) 共 17 頁(yè)【鞏固練習(xí)】a1已知數(shù)列 na是等差數(shù)列，且 a1 = 2, a1 + a2 + a3 = 12 ，求數(shù)列  的通項(xiàng)公式n2已知a  的前 n 項(xiàng)和滿足 log (S + 1) = n + 1 ，求 a ；n2nn3數(shù)列a  滿足 a = 4, S + Sn1nn+1 =5a3 n+1，求 a ；n4已知數(shù)列a  滿足 ann+1= a + 2 ´ 3n + 1，a = 3 ，求數(shù)列a  的通項(xiàng)公式n 1 n第 9 頁(yè) 共 17 頁(yè)n+1  =  3n - 15已知 a = 3 ， a1a3n + 2 n(n ³ 1) ，求 a n6已知數(shù)列a  滿足 ann+1= 2a + 3 ´ 2n ， a = 2 ，求數(shù)列a  的通項(xiàng)公式n 1 na7已知 S 為數(shù)列 nna的前 n 項(xiàng)和， a1 = 1 ， Sn = n 2 × an ，求數(shù)列  的通項(xiàng)公式.n第 10 頁(yè) 共 17 頁(yè)a8已知數(shù)列 n中，a1 =1，2an+1 = a n + an+2 ，求 a n a9設(shè)數(shù)列 n中，a1 =2，an+1 =2a n +1，求通項(xiàng)公式 a n 2  ，n=2、3、4，求 a  的通項(xiàng)公式10設(shè)數(shù)列a 的首項(xiàng) a1 Î (0,1) ， a n =n3 - an-1n第 11 頁(yè) 共 17 頁(yè)a a = 1, a = a+ 3n-1 (n ³ 2)n11已知數(shù)列滿足1nn-1，求 an的通項(xiàng)公式a12數(shù)列 na的前 n 項(xiàng)和為 Sn ， a1 =1， an+1 = 2Sn ( n N *)，求 n的通項(xiàng)公式n ³ 2 n Î N * ），求數(shù)列 an   的通項(xiàng)公式a 13已知數(shù)列n滿足a =132 ，且a =n2a3nan-1+ n - 1n-1（ 第 12 頁(yè) 共 17 頁(yè)14設(shè)數(shù)列  a n的前 n 項(xiàng)的和  S   =3n   3      3 ， n = 1,2,3 求首項(xiàng)  a1 與通項(xiàng)  an4    1      2a - ´ 2n+1 +n 【強(qiáng)化練習(xí)】a1已知數(shù)列 n的前 n 項(xiàng)和 Sn = n2 - 9n ，則其通項(xiàng) an =；若它的第 k 項(xiàng)滿足 5 < ak < 8，則 k =2根據(jù)下列 5 個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律，猜測(cè)第 n 個(gè)圖中有個(gè)點(diǎn)（1）（2）（3）（4）（5）第 13 頁(yè) 共 17 頁(yè)33數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和 Sn= 1 (an1) ( n Î N *)(1)求 a1、a2； (2)求證數(shù)列an為等比數(shù)列a a = 1T = a a a LL a = n 2a nn123n4數(shù)列中， 1，求n的通項(xiàng)公式a5數(shù)列 n中， a1= 8 ， a = 2 ，且滿足 a4 n+2- 2an+1+ a = 0 ，na（1）求數(shù)列 n的通項(xiàng)公式； （2）設(shè) S =| a | + | a | + + | a | ，求 S n 1 2 n n第 14 頁(yè) 共 17 頁(yè)a aa = 3a+ 3n -1n6數(shù)列中， 1=5，且nn-1a（n=2、3、4），試求數(shù)列  n 的通項(xiàng)公式7已知數(shù)列a  滿足 ann+1= 3a + 2 ´ 3n + 1，a = 3 ，求數(shù)列a  的通項(xiàng)公式n 1 n8已知數(shù)列a  滿足 ann+1= 2a + 3 ´ 5n，a = 6 ，求數(shù)列an 1的通項(xiàng)公式n第 15 頁(yè) 共 17 頁(yè)9已知數(shù)列a  滿足 ann+1= 3a + 5 ´ 2n + 4，a = 1，求數(shù)列a  的通項(xiàng)公式n 1 n= 4 - a  -    1a10已知數(shù)列 n前 n 項(xiàng)和 Snn 2 n-2 .(1)求 an+1與 a 的關(guān)系；(2)求通項(xiàng)公式 a .n n第 16 頁(yè) 共 17 頁(yè)a11已知數(shù)列  n 中， Sn是其前 n 項(xiàng)和，并且 Sn+1= 4a + 2(n = 1,2,  ), a = 1n 1，（1）設(shè)數(shù)列b = ann+1- 2a (n = 1,2,LL)nb，求證：數(shù)列  n 是等比數(shù)列；2 nc （2）設(shè)數(shù)列c = a n , (n = 1,2,LL)n，求證：數(shù)列  n 是等差數(shù)列；a（3）求數(shù)列  n 的通項(xiàng)公式及前 n 項(xiàng)和第 17 頁(yè) 共 17 頁(yè)