,第一章常用邏輯用語,1.2充分條件與必要條件,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解充分條件、必要條件、充要條件的定義. 2.會(huì)求某些簡(jiǎn)單問題成立的充分條件、必要條件、充要條件. 3.能夠利用命題之間的關(guān)系判定充要關(guān)系或進(jìn)行充要條件的證明.,問題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),題型探究,內(nèi)容索引,問題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一充分條件與必要條件,(1)“若p，則q”為真命題，是指由p通過推理可以得出q.這時(shí)，我們就說，由p可推出q，記作pq，并且說p是q的 條件，q是p的_ 條件. (2)若pq，但qp，稱p是q的 條件，若qp，但pq，稱p是q的 條件.,充分,必要,充分不必要,必要不充分,知識(shí)點(diǎn)二充要條件,思考在ABC中，角A，B，C為它的三個(gè)內(nèi)角，則“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的什么條件？,答案因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，故2BAC， 又因?yàn)锳BC180，故B60，反之，亦成立， 故“A，B，C成等差數(shù)列”是“B60”的充要條件.,梳理(1)一般地，如果既有pq，又有qp，就記作pq，此時(shí)，我們說，p是q的 條件，簡(jiǎn)稱充要條件. (2)充要條件的實(shí)質(zhì)是原命題“若p，則q”和其逆命題“若q，則p”均為真命題，如果p是q的充要條件，那么q也是p的充要條件，即如果pq，那么p與q互為充要條件.,充分必要,(3)從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件.,其中p：Ax|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立.,思考辨析 判斷正誤 (1)q是p的必要條件時(shí)，p是q的充分條件.( ) (2)若p是q的充要條件，則p和q是兩個(gè)相互等價(jià)的命題.( ) (3)q不是p的必要條件時(shí)，“pq”成立.( ),題型探究,例1下列各題中，試分別指出p是q的什么條件. (1)p：兩個(gè)三角形相似，q：兩個(gè)三角形全等；,類型一充分條件、必要條件、充要條件的判定,解答,(2)p：一個(gè)四邊形是矩形，q：四邊形的對(duì)角線相等；,解兩個(gè)三角形相似兩個(gè)三角形全等，但兩個(gè)三角形全等 兩個(gè)三角形相似， p是q的必要不充分條件.,解 矩形的對(duì)角線相等，pq， 而對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形， qp，p是q的充分不必要條件.,(3)p：AB，q：ABA；,解答,(4)p：ab，q：acbc.,解 pq，且qp， p既是q的充分條件，又是q的必要條件.,解 pq，且qp， p是q的既不充分也不必要條件.,反思與感悟充分條件、必要條件的兩種判斷方法 (1)定義法： 確定誰是條件，誰是結(jié)論； 嘗試從條件推結(jié)論，若條件能推出結(jié)論，則條件為充分條件，否則就不是充分條件； 嘗試從結(jié)論推條件，若結(jié)論能推出條件，則條件為必要條件，否則就不是必要條件.,(2)命題判斷法： 如果命題：“若p，則q”為真命題，那么p是q的充分條件，同時(shí)q是p的必要條件； 如果命題：“若p，則q”為假命題，那么p不是q的充分條件，同時(shí)q也不是p的必要條件.,跟蹤訓(xùn)練1指出下列各題中，p是q的什么條件？ (1)p：ax2ax10的解集是R，q：0<a<4；,解答,解當(dāng)a0時(shí)，10滿足題意；,故p是q的必要不充分條件.,解易知p：1<x<5，q：1<x<5， 所以p是q的充要條件.,(3)p：ABA，q：ABB；,解答,解因?yàn)锳BAABB，所以p是q的充要條件.,解答,所以qp，所以p是q的充分不必要條件.,類型二充要條件的探求與證明,命題角度1充要條件的探求 例2求ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是什么？,解答,(2)當(dāng)a0時(shí)，ax22x10為一元二次方程， 它有實(shí)根的充要條件是0，即44a0，a1.,綜上所述，ax22x10至少有一個(gè)負(fù)實(shí)根的充要條件是a1.,反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件結(jié)論”和“結(jié)論條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件.,解答,跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(n1)2t(t為常數(shù))，試問t1是否為數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件？請(qǐng)說明理由.,解是充要條件. (充分性)當(dāng)t1時(shí)，Sn(n1)21n22n. a1S13， 當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n1. 又a13適合上式， an2n1(nN*)， 又an1an2(常數(shù))， 數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列. 故t1是an為等差數(shù)列的充分條件.,(必要性)an為等差數(shù)列， 則2a2a1a3，解得t1， 故t1是an為等差數(shù)列的必要條件. 綜上，t1是數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件.,命題角度2充要條件的證明 例3求證：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,證明,證明充分性(由ac0推證方程有一正根和一負(fù)根)， ac0， 一元二次方程ax2bxc0的判別式b24ac0， 原方程一定有兩不等實(shí)根，,原方程的兩根異號(hào)， 即一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根.,必要性(由方程有一正根和一負(fù)根推證ac0)， 一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根， 不妨設(shè)為x1，x2，,此時(shí)b24ac0，滿足原方程有兩個(gè)不等實(shí)根. 綜上可知，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac0.,反思與感悟?qū)τ诔湟獥l件性命題證明，需要從充分性和必要性兩個(gè)方面進(jìn)行證明，需要分清條件和結(jié)論.,證明,跟蹤訓(xùn)練3求證：方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根均大于1的充要條件是k2.,證明必要性： 若方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根，不妨設(shè)兩個(gè)根為x1，x2，,解得k2.,充分性： 當(dāng)k2時(shí)，(2k1)24k214k0. 設(shè)方程x2(2k1)xk20的兩個(gè)根為x1，x2. 則(x11)(x21)x1x2(x1x2)1k22k11k(k2)0. 又(x11)(x21)(x1x2)2(2k1)22k10， x110，x210， x11，x21. 綜上可知，方程x2(2k1)xk20有兩個(gè)大于1的根的充要條件為k2.,例4設(shè)命題p：x(x3)0，命題q：2x3m，已知p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_.,類型三利用充分條件、必要條件求參數(shù)的值(或范圍),解析p：x(x3)0，即0 x3；,由題意知pq，qp， 則在數(shù)軸上表示不等式如圖所示，,即實(shí)數(shù)m的取值范圍為3，).,3，),答案,解析,q：2x3m，,反思與感悟在有些含參數(shù)的充要條件問題中，要注意將條件p和q轉(zhuǎn)化為集合，從而轉(zhuǎn)化為兩集合之間的子集關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為不等式(或方程)，從而求得參數(shù)的取值范圍. 根據(jù)充分條件或必要條件求參數(shù)范圍的步驟 (1)記集合Mx|p(x)，Nx|q(x)； (2)若p是q的充分不必要條件，則MN，若p是q的必要不充分條件，則 NM，若p是q的充要條件，則MN； (3)根據(jù)集合的關(guān)系列不等式(組)； (4)求出參數(shù)的范圍.,跟蹤訓(xùn)練4,記命題p：“yA”，命題q：“yB”，若p是q的必要不充分條件，則,解析由題意知A(0,1)，,m的取值范圍為_.,依題意，得BA，,答案,解析,達(dá)標(biāo)檢測(cè),答案,解析,1.“x0”是“x2x0”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,解析由x2x0 x1或x0，由此判斷A符合要求.,答案,解析,2.若a，b，c是實(shí)數(shù)，則“ac0”是“不等式ax2bxc0有解”的 A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件,1,2,3,4,5,解析由ac0，得方程ax2bxc0的判別式b24ac0， 則方程ax2bxc0一定有實(shí)數(shù)解， 此時(shí)不等式ax2bxc0有解； 反過來，由不等式ax2bxc0有解不能得出ac0， 例如，當(dāng)abc1時(shí)， 不等式ax2bxc0，,此時(shí)ac10.故選B.,1,2,3,4,5,答案,解析,3.“關(guān)于x的不等式x22axa0，xR恒成立”的一個(gè)必要不充分條件是,解析當(dāng)關(guān)于x的不等式x22axa0， xR恒成立時(shí)，應(yīng)有4a24a0， 解得0a1. 所以一個(gè)必要不充分條件是0a1.,A.0a1 B.0a1,D.a1或a0,1,2,3,4,5,答案,解析,4.設(shè)p：1x4，q：xm，若p是q的充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.(用區(qū)間表示),4，),1,2,3,4,5,解析因?yàn)閜為q的充分條件，所以1,4)(，m)，得m4.,5.設(shè)p：|x|1，q：x2或x1，則q是p的_條件.(填“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”“充要”),解析由已知，得p：x1或x1，則q是p的充分不必要條件.,1,2,3,4,5,充分不必要,答案,解析,充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件反映了條件p和結(jié)論q之間的因果關(guān)系，在結(jié)合具體問題進(jìn)行判斷時(shí)，常采用如下方法 (1)定義法：分清條件p和結(jié)論q，然后判斷“pq”及“qp”的真假，根據(jù)定義下結(jié)論. (2)等價(jià)法：將命題轉(zhuǎn)化為另一個(gè)與之等價(jià)的又便于判斷真假的命題. (3)集合法：寫出集合Ax|p(x)及集合Bx|q(x)，利用集合之間的包含關(guān)系加以判斷.,規(guī)律與方法,