第五章 平面向量、數(shù)系的 擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算,知識梳理,雙擊自測,1.向量的有關(guān)概念,知識梳理,雙擊自測,規(guī)定:零向量與任一向量平行.,知識梳理,雙擊自測,2.向量的線性運(yùn)算,知識梳理,雙擊自測,知識梳理,雙擊自測,3.向量共線定理 向量b與a(a0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=a.,知識梳理,雙擊自測,1.給出下列命題: 兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線向量; 若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; 若a與b同向,且|a|b|,則ab; ,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線. 其中假命題的個(gè)數(shù)為() A.1B.2C.3D.4,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,3.(教材改編)已知ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,且,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,5.設(shè)向量a,b不平行,向量a+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)=.,答案,解析,知識梳理,雙擊自測,自測點(diǎn)評 1.向量常用有向線段表示,但向量與有向線段是兩個(gè)不同的概念,有向線段由起點(diǎn)、終點(diǎn)唯一確定,而向量是由大小和方向來確定的.向量不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小. 2.向量線性運(yùn)算和實(shí)數(shù)不同,運(yùn)算律要結(jié)合起來記憶. 3.向量共線與線段共線不同,前者的起點(diǎn)可以不同,而后者必須在同一直線上.同樣,兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的,因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上. 4.零向量的方向是任意的,它與任何向量都平行(共線).,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量的有關(guān)概念辨析(考點(diǎn)難度) 【例1】 (1)下列命題中,正確的是.(填序號) 有向線段就是向量,向量就是有向線段; 向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;,如果ab,bc,那么ac; 兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大小.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)給出下列命題: 若|a|=|b|,則a=b或a=-b;若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則,相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同;a=b的充要條件是|a|=|b|且ab. 其中真命題的序號是.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)對于向量的概念應(yīng)注意以下幾條: (1)向量的兩個(gè)特征:大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標(biāo)表示; (2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量; (3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù),故可以比較大小. (4)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí),不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練給出下列命題: 兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量; a=0(為實(shí)數(shù)),則必為零; ,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線. 其中假命題的個(gè)數(shù)為() A.0B.1C.2D.3,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量的線性運(yùn)算(考點(diǎn)難度),答案,解析,【例2】 (1)在梯形ABCD中,ADBC,已知AD=4,BC=6,若,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,中成立的是(),答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí),要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對應(yīng)邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來. 2.向量的線性運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算,實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在線性運(yùn)算中同樣適用. 3.用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧:(1)觀察各向量的位置;(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;(3)運(yùn)用法則找關(guān)系;(4)化簡結(jié)果.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對點(diǎn)訓(xùn)練(1)在ABC中,設(shè)三邊AB,BC,CA的中點(diǎn)分別為E,F,D,則,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,向量共線定理及其應(yīng)用(考點(diǎn)難度),A.A,B,CB.A,B,D C.B,C,DD.A,C,D,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,中R,則點(diǎn)P一定在() A.ABC的內(nèi)部B.AC邊所在直線上 C.AB邊所在直線上D.BC邊所在直線上,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得出三點(diǎn)共線. 2.向量a,b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)1,2,使1a+2b=0成立;若1a+2b=0,當(dāng)且僅當(dāng)1=2=0時(shí)成立,則向量a,b不共線.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,則ABC與AOC的面積之比為.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)在ABC中,點(diǎn)D是邊BC上任意一點(diǎn),M是線段AD的中點(diǎn),答案,解析,易錯(cuò)警示都是零向量“惹的禍” 向量是既有大小,又有方向的量.零向量是特殊向量,規(guī)定方向與任意向量平行.因此,在判斷向量關(guān)系時(shí),要注意零向量的特殊性.此外,還要注意零向量與實(shí)數(shù)0的差別.,【典例】 下列命題正確的是. (1)向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使b=a;,(3)不等式|a|-|b|a+b|a|+|b|中兩個(gè)等號不可能同時(shí)成立; (4)只有方向相同或相反的向量是平行向量; (5)若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線. 答案:(5) 解析:顯然(1)(2)(3)(4)不正確. 向量a與b不共線,向量a,b,a+b與a-b均不為零向量. 對于(5),若a+b與a-b平行,則存在實(shí)數(shù)使a+b=(a-b),即(- 1)a=(1+)b, 無解,故假設(shè)不成立,即a+b與a-b不共線.,答題指導(dǎo)在向量的有關(guān)概念中,定義長度為0的向量叫做零向量,其方向是任意的,并且規(guī)定:0與任一向量平行.由于零向量的特殊性,在兩個(gè)向量共線或平行問題上,如果不考慮零向量往往會得出錯(cuò)誤的判斷或結(jié)論.在向量的運(yùn)算中,很多學(xué)生也往往忽視0與0的區(qū)別,導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.,對點(diǎn)訓(xùn)練下列敘述錯(cuò)誤的是. 若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同; |a|+|b|=|a+b|a與b方向相同;,若a=b,則a=b.,答案,解析,高分策略1.兩向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩向量相等;但兩相等向量,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 2.零向量和單位向量是兩個(gè)特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定. 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系.向量 是共線向量,但A,B,C,D四點(diǎn)不一定在一條直線上. 4.向量共線的充要條件中要注意“a0”,否則可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè).,