5.3平面向量的數(shù)量積,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.平面向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|cos ,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0. (2)幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba(交換律). (2)ab=(ab)=a(b)(結(jié)合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),為向量a,b的夾角. (1)數(shù)量積:ab=|a|b|cos =x1x2+y1y2.,(5)已知兩非零向量a與b,abab=0 x1x2+y1y2=0; abab=|a|b|. (6)|ab|a|b|(當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立)|x1x2+y1y2|,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),1.向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)a=() A.-1B.0 C.1D.2,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),2.(教材改編)已知|a|=3,|b|=4,且向量a與b的夾角為135,則ab=.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),3.(2017課標(biāo)高考)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且ab,則m=.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),4.(教材改編)已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角=120,則向量b在向量a方向上的投影為.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),5.已知a=(2,-1),b=(,3),若a與b的夾角為鈍角,則的取值范圍是.,答案,解析,知識(shí)梳理,雙擊自測(cè),自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b,由于當(dāng)=0時(shí),ab0,所以ab0是兩個(gè)向量a,b夾角為銳角的必要而不充分條件;ab=0也不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍b=0時(shí),有可能ab. 2.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中,若a,bR,則|ab|=|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c.但對(duì)于向量a,b卻有|ab|a|b|;若ab=ac(a0),則b=c不一定成立.原因是ab=|a|b|cos ,都是cos “惹的禍”. 3.向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律,即(ab)c不一定等于a(bc),這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量,而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量,而c與a不一定共線.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(考點(diǎn)難度),【例1】 (1)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí),可利用定義法求解,即ab=|a|b|cos; (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練,A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2 C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)已知向量a=(2,3),b=(-4,7),則a在2 b方向上的投影為(),答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量數(shù)量積的性質(zhì)(考點(diǎn)難度) 考情分析平面向量數(shù)量積的性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),運(yùn)用兩向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度、夾角、垂直等問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)靈活選擇相應(yīng)公式求解.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,類型一平面向量的模,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,類型二平面向量的夾角,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,類型三平面向量的垂直問(wèn)題 【例4】 (2017課標(biāo)高考)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b與a垂直,則m=.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)1.利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法:,2.求兩非零向量的夾角時(shí)要注意:數(shù)量積大于0說(shuō)明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說(shuō)明兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不能共線時(shí)兩向量的夾角為鈍角. 3.證明或利用兩向量的垂直關(guān)系時(shí)要注意: 數(shù)量積的運(yùn)算ab=0 x1x2+y1y2=0.ab是對(duì)非零向量而言的,若a=0,雖然有ab=0,但不能說(shuō)ab.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(1)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos= .若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為(),答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,(2)已知|a|=3,|b|=4,ab=0,若向量c滿足(a-c)(b-c)=0,則|c|的取值范圍是.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(考點(diǎn)難度) 【例5】 已知向量a,b,|a|=1,|b|=2,若對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be| ,則ab的最大值是.,答案,解析,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,方法總結(jié)平面向量的數(shù)量積作為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn),成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的橋梁,特別是在函數(shù)、三角函數(shù)、不等式、平面解析幾何問(wèn)題上的研究,更是體現(xiàn)了向量的工具價(jià)值.向量的坐標(biāo)表示,使平面向量與直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,構(gòu)建了用“數(shù)”的運(yùn)算處理“形”的問(wèn)題的一種新模式.,考點(diǎn)一,考點(diǎn)二,考點(diǎn)三,答案,解析,思想方法函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應(yīng)用 求向量數(shù)量積應(yīng)用問(wèn)題經(jīng)常需要函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)量積相關(guān)的最值問(wèn)題多采用將其表示為某一變量或某兩個(gè)變量的函數(shù),利用求函數(shù)值域的方法確定最值,體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用,又多與二次函數(shù)與基本不等式相聯(lián)系;另一方面與數(shù)量積相關(guān)的問(wèn)題如果幾何意義較明顯,可以根據(jù)條件,利用向量的線性運(yùn)算的幾何意義,依據(jù)圖形通過(guò)數(shù)形結(jié)合求最值.,答題指導(dǎo)上面兩題分別從代數(shù)和幾何兩個(gè)方面入手得到最值.在解決向量數(shù)量積的相關(guān)問(wèn)題時(shí),我們可以從這兩個(gè)方面入手思考問(wèn)題. 高分策略1.|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立.這是因?yàn)閨ab|=|a|b|cos |,而|cos |1. 2.兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是ab=0,兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是ab=|a|b|. 3.兩向量的夾角為銳角cos 0且cos 1.,4.一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤結(jié)論: (1)若|a|=|b|,則a=b; (2)若a2=b2,則a=b; (3)若ab,bc,則ac; (4)若ab=0,則a=0或b=0; (5)|ab|=|a|b|; (6)(ab)c=a(bc); (7)若ab=ac,則b=c.,