8.3空間點、直線、平面之間的位置關系,第八章立體幾何與空間向量,NEIRONGSUOYIN,內(nèi)容索引,基礎知識 自主學習,題型分類 深度剖析,課時作業(yè),1,基礎知識 自主學習,PART ONE,知識梳理,1.四個公理 公理1：如果一條直線上的 在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi). 公理2：過 的三點，有且只有一個平面. 公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們 過該點的公共直線. 公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相 .,ZHISHISHULI,兩點,不在同一條直線上,平行,有且只有一條,2.直線與直線的位置關系 (1)位置關系的分類,任何,(2)異面直線所成的角 定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的 叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).,平行,相交,銳角(或直角),3.直線與平面的位置關系有 、 、_ 三種情況. 4.平面與平面的位置關系有 、 兩種情況. 5.等角定理 空間中如果兩個角的 ，那么這兩個角相等或互補.,直線在平面內(nèi),直線與平面相交,直線與平,面平行,平行,相交,兩邊分別對應平行,1.分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線嗎？,【概念方法微思考】,提示不一定.因為異面直線不同在任何一個平面內(nèi).分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線可能平行或相交.,2.空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角一定相等嗎？,提示不一定.如果這兩個角開口方向一致，則它們相等，若反向則互補.,1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)如果兩個不重合的平面，有一條公共直線a，就說平面，相交，并記作a.() (2)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線.() (3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.() (4)經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面.() (5)沒有公共點的兩條直線是異面直線.() (6)若a，b是兩條直線，是兩個平面，且a，b，則a，b是異面直線.(),基礎自測,JICHUZICE,題組一思考辨析,1,2,3,4,5,6,題組二教材改編,1,2,3,4,5,6,2.P52B組T1(2)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為 A.30 B.45 C.60 D.90,解析連接B1D1，D1C，則B1D1EF， 故D1B1C即為所求的角. 又B1D1B1CD1C， B1D1C為等邊三角形， D1B1C60.,3.P45例2如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則 (1)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；,ACBD,1,2,3,4,5,6,解析四邊形EFGH為菱形， EFEH，ACBD.,(2)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為正方形.,ACBD且ACBD,1,2,3,4,5,6,解析四邊形EFGH為正方形， EFEH且EFEH，,ACBD且ACBD.,題組三易錯自糾,1,2,3,4,5,6,4.是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關系不可能是 A.垂直 B.相交 C.異面 D.平行,解析依題意，mA，n， m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.,5.如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過 A.點AB.點B C.點C但不過點MD.點C和點M,1,2,3,4,5,6,解析AB，MAB，M. 又l，Ml，M. 根據(jù)公理3可知，M在與的交線上. 同理可知，點C也在與的交線上.,6.如圖為正方體表面的一種展開圖，則圖中的四條線段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面的對數(shù)為_.,1,2,3,4,5,6,3,解析平面圖形的翻折應注意翻折前后相對位置的變化， 則AB，CD，EF和GH在原正方體中， 顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線， 而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行. 故互為異面的直線有且只有3對.,2,題型分類深度剖析,PART TWO,題型一平面基本性質(zhì)的應用,師生共研,例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點.求證： (1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；,證明如圖，連接EF，CD1，A1B. E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，EFBA1. 又A1BD1C，EFCD1， E，C，D1，F(xiàn)四點共面.,證明EFCD1，EF<CD1， CE與D1F必相交， 設交點為P，如圖所示. 則由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD. 同理P平面ADD1A1. 又平面ABCD平面ADD1A1DA， P直線DA，CE，D1F，DA三線共點.,(2)CE，D1F，DA三線共點.,共面、共線、共點問題的證明 (1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；證兩平面重合. (2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上. (3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.,跟蹤訓練1如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12. (1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；,證明E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點， EFBD.,GHBD，EFGH. E，F(xiàn)，G，H四點共面.,(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線.,證明EGFHP，PEG，EG平面ABC， P平面ABC. 同理P平面ADC. P為平面ABC與平面ADC的公共點. 又平面ABC平面ADCAC， PAC，P，A，C三點共線.,例2(1)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是 A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交 C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交,題型二判斷空間兩直線的位置關系,師生共研,解析由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交.故選D.,(2)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1E2ED，CF2FA，則EF與BD1的位置關系是 A.相交但不垂直B.相交且垂直 C.異面D.平行,解析連接D1E并延長，與AD交于點M，由A1E2ED，可得M為AD的中點， 連接BF并延長，交AD于點N，因為CF2FA，可得N為AD的中點，所以M，N重合，,空間中兩直線位置關系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定.異面直線可采用直接法或反證法；平行直線可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；垂直關系往往利用線面垂直或面面垂直的性質(zhì)來解決.,跟蹤訓練2(1)已知直線a，b分別在兩個不同的平面，內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面和平面相交”的 A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,解析若直線a和直線b相交，則平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直線a和直線b可能平行或異面或相交，故選A.,(2)如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結論： 直線AM與CC1是相交直線； 直線AM與BN是平行直線； 直線BN與MB1是異面直線； 直線AM與DD1是異面直線. 其中正確的結論為_.(填序號),解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故錯； 取DD1中點E，連接AE，則BNAE，但AE與AM相交，故錯； 因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故正確； 同理正確，故填.,題型三求兩條異面直線所成的角,師生共研,例3(1)(2018浙江金麗衢聯(lián)考)正四面體ABCD中，E為棱AD的中點，過點A作平面BCE的平行平面，該平面與平面ABC、平面ACD的交線分別為l1，l2，則l1，l2所成角的正弦值為,解析由題意得BCl1，CEl2，則BCE即為l1與l2所成角.,(2)如圖，把邊長為4的正三角形ABC沿中線AD折起，使得二面角CADE的大小為60，則異面直線AC與DE所成角的余弦值為,解析如圖，取AB的中點F，連接DF，EF，因為D，F(xiàn)分別是線段BC，AB的中點， 所以DFAC，所以EDF(或其補角)是異面直線AC與DE所成的角. 由正三角形的性質(zhì)可得ADBC， 所以CDE就是二面角CADE的平面角，所以CDE60. 又CDDE，所以CDE是正三角形. 作EGCD，垂足為G，作FHBD，垂足為H，連接EH，,用平移法求異面直線所成的角的三個步驟 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出所作的角.,解析方法一如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B， 由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1， 所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角.連接DB，,在DBB1中，由余弦定理，得,方法二如圖，以點D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz. 由題意，得A(1,0,0)，D(0,0,0)，,直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數(shù)學問題.,核心素養(yǎng)之直觀想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,立體幾何中的線面位置關系,證明由已知FGGA，F(xiàn)HHD，,GHBC且GHBC， 四邊形BCHG為平行四邊形.,(2)C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？,BEFG且BEFG， 四邊形BEFG為平行四邊形， EFBG. 由(1)知BGCH. EFCH，EF與CH共面. 又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點共面.,平面幾何和立體幾何在點線面的位置關系中有很多的不同，借助確定的幾何模型，利用直觀想象討論點線面關系在平面和空間中的差異.,3,課時作業(yè),PART THREE,基礎保分練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1.四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)為 A.4 B.3 C.2 D.1,解析首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定四個平面.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,2.(2018湖州模擬)a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是 A.若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面 B.若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交 C.若ab，則a，b與c所成的角相等 D.若ab，bc，則ac,解析若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面； 若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面； 若ab，bc，則a，c相交、平行或異面； 由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,3.如圖所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，則平面ABC與平面的交線是 A.直線AC B.直線AB C.直線CD D.直線BC,解析由題意知，Dl，l，所以D， 又因為DAB，所以D平面ABC， 所以點D在平面ABC與平面的交線上. 又因為C平面ABC，C， 所以點C在平面與平面ABC的交線上， 所以平面ABC平面CD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,4.如圖所示，ABCDA1B1C1D1是長方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結論正確是 A.A，M，O三點共線B.A，M，O，A1不共面 C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面,解析連接A1C1，AC，則A1C1AC， A1，C1，A，C四點共面，A1C平面ACC1A1， MA1C，M平面ACC1A1，又M平面AB1D1， M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上， 同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上. A，M，O三點共線.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析方法一如圖，在原三棱柱的上方，再放一個完全一樣的三棱柱，連接AC1，CB1，C1B， 易得MNAC1，EFCB1C1B， 那么AC1B的補角即直線MN與EF所成的角.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,方法二如圖，連接AC1，C1B，CB1， 設C1B與CB1交于點O，取AB的中點D，連接CD，OD， 則MNAC1OD，EFCB1， 那么DOC即直線MN與EF所成的角，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,6.(2018衢州質(zhì)檢)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為線段 A1C1的中點，則異面直線DE與B1C所成角的大小為,解析連接AC，BD，B1E，設BD與AC交于點O，連接B1O， 則四邊形DOB1E為平行四邊形，所以DEOB1， 所以異面直線DE與B1C所成角為OB1C，設正方體棱長為1，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,7.給出下列命題，其中正確的命題為_.(填序號) 如果線段AB在平面內(nèi)，那么直線AB在平面內(nèi)； 兩個不同的平面可以相交于不在同一直線上的三個點A，B，C； 若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面； 若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面； 兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,8.在三棱錐SABC中，G1，G2分別是SAB和SAC的重心，則直線G1G2與BC的位置關系是_.,解析如圖所示，連接SG1并延長交AB于M，連接SG2并延長交AC于N，連接MN.,G1G2MN， 易知MN是ABC的中位線，MNBC， G1G2BC.,平行,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,9.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析取圓柱下底面弧AB的另一中點D，連接C1D，AD， 因為C是圓柱下底面弧AB的中點， 所以ADBC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1DAD.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,10.如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直. 以上四個命題中，正確命題的序號是_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析還原成正四面體ADEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合. 易知GH與EF異面，BD與MN異面. 連接GM，GMH為等邊三角形， GH與MN成60角， 易證DEAF，又MNAF，MNDE. 因此正確命題的序號是.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,11.如圖所示，A是BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點. (1)求證：直線EF與BD是異面直線；,證明假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面， 從而DF與BE共面，即AD與BC共面， 所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)， 這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾. 故直線EF與BD是異面直線.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角.,解取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則ACFG，EGBD， 所以相交直線EF與EG所成的角， 即為異面直線EF與BD所成的角. 又因為ACBD，則FGEG. 在RtEGF中，由EGFG AC，求得FEG45， 即異面直線EF與BD所成的角為45.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(1)三棱錐PABC的體積；,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值.,解如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則EDBC， 所以ADE(或其補角)是異面直線BC與AD所成的角.,技能提升練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,13.若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1l2，l2l3，l3l4，則下列結論一定正確的是 A.l1l4 B.l1l4 C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關系不確定,解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，記l1DD1，l2DC，l3DA. 若l4AA1，滿足l1l2，l2l3，l3l4，此時l1l4，可以排除選項A和C. 若取C1D為l4，則l1與l4相交； 若取BA為l4，則l1與l4異面； 若取C1D1為l4，則l1與l4相交且垂直. 因此l1與l4的位置關系不能確定.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,14.平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析如圖所示，設平面CB1D1平面ABCDm1， 平面CB1D1，則m1m， 又平面ABCD平面A1B1C1D1， 平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1， B1D1m，同理可得CD1n. 故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即CD1B1的大小. 又B1CB1D1CD1(均為面對角線)，,拓展沖刺練,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,15.(2018浙江省杭州市七校聯(lián)考) 如圖，在RtABC中，BAC60，點F在斜邊AB上，且AB4AF，點M在線段BC上運動，D，E是平面ABC同一側的兩點，AD平面ABC，BE平面ABC，AD3，ACBE4.當點M運動到線段BC的中點時，異面直線CF與EM所成角的余弦值為,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,解析取BF的中點N，連接MN，EN， 因為M，N分別為BC，BF的中點，,所以EMN為異面直線CF與EM所成的角. 因為AC4，BAC60，ACB90，,因為AC4，BAC60，ACB90， 所以AB8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,所以BN3，,在EMN中，由余弦定理可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,16.(2018浙江省金華名校統(tǒng)考)如圖，在三棱錐ABCD中，平面ABC平面BCD，BAC與BCD均為等腰直角三角形，且BACBCD90，BC2.P是線段AB上的動點(不包括端點)，若線段CD上存在點Q，使得異面直線PQ與AC成30的角，則線段PA長度的取值范圍是,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,整理得32621，顯然32<1，而(0,1)，,方法二如圖，將題圖中的三棱錐補全為一個長方體，在平面ABC內(nèi)，過點P作AB的垂線交CE于點R. 因為ACAB，PRAB，所以ACPR， 因而RPQ即為異面直線PQ與AC所成的角，所以RPQ30.,