專題突破三離心率的求法,第二章圓錐曲線與方程,一、以漸近線為指向求離心率 例1已知雙曲線兩漸近線的夾角為60，則雙曲線的離心率為_.,思維切入雙曲線的兩漸近線有兩種情況，焦點位置也有兩種情況，分別討論即可.,解析由題意知，雙曲線的漸近線存在兩種情況. 當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，若其中一條漸近線的傾斜角為60，如圖1所示； 若其中一條漸近線的傾斜角為30，如圖2所示.,點評雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，可以借助 進行互求.一般地，如果已知雙曲線離心率的值求漸近線方程，或者已知漸近線方程，求離心率的值，都會有兩解(焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況)，不能忘記分類討論.,跟蹤訓(xùn)練1中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(4，2)，則它的離心率為,解析由題意知，過點(4，2)的漸近線的方程為,二、以焦點三角形為指向求離心率 例2如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線 (a0，b0)的兩個焦點，A和B是以O(shè)為圓心，|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_.,思維切入連接AF1，在F1AF2中利用雙曲線的定義可求解.,解析方法一如圖，連接AF1，由F2AB是等邊三角形，知AF2F130. 易知AF1F2為直角三角形，,方法二如圖，連接AF1，易得F1AF290， F1F2A30，F(xiàn)2F1A60， 于是離心率,點評涉及到焦點三角形的題目往往利用圓錐曲線的定義求得的 值.,解析方法一如圖， DF1F2為正三角形，N為DF2的中點， F1NF2N， |NF2|OF2|c，,由橢圓的定義可知|NF1|NF2|2a，,方法二注意到焦點三角形NF1F2中， NF1F230，NF2F160，F(xiàn)1NF290， 則由離心率的三角形式，,三、尋求齊次方程求離心率,思維切入通過2|AB|3|BC|，得到a，b，c的關(guān)系式，再由b2c2a2，得到a和c的關(guān)系式，同時除以a2，即可得到關(guān)于e的一元二次方程，求得e.,2,又2|AB|3|BC|，,即2b23ac， 2(c2a2)3ac， 兩邊同除以a2并整理得2e23e20， 解得e2(負(fù)值舍去).,點評求圓錐曲線的離心率，就是求a和c的值或a和c的關(guān)系，然后根據(jù)離心率的定義求得.但在多數(shù)情況下，由于受到題目已知條件的限制，很難或不可能求出a和c的值，只能將條件整理成關(guān)于a和c的關(guān)系式，進而求得 的值，其關(guān)鍵是善于利用定義以及圖形中的幾何關(guān)系來建立關(guān)于參數(shù)a，b，c的關(guān)系式，結(jié)合c2a2b2，化簡為參數(shù)a，c的關(guān)系式進行求解.,由ABBF得|AB|2|BF|2|AF|2， 將b2a2c2代入，得a2acc20，,故離心率e的取值范圍是2，).,四、利用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求離心率的取值范圍,2，),(1a2)x22a2x2a20. 由于直線與雙曲線相交于兩個不同的點， 則1a20a21，且此時4a2(2a2)0a2<2， 所以a2(0,1)(1,2).,五、利用焦半徑的性質(zhì)求離心率的取值范圍,解析在PF1F2中，由正弦定理知,又因為點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a.,又ac<|PF2|<ac，,點評圓錐曲線上一點到焦點的距離叫做該點的焦半徑. (1)橢圓焦半徑的取值范圍為ac，ac. (2)雙曲線的焦半徑： 點P與焦點F位于y軸同側(cè)時，其取值范圍為ca，)； 點P與焦點F位于y軸異側(cè)時，其取值范圍為ca，).,跟蹤訓(xùn)練5已知雙曲線 (a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為,解析P在雙曲線的右支上， 由雙曲線的定義可得|PF1|PF2|2a， |PF1|4|PF2|， 4|PF2|PF2|2a，,根據(jù)點P在雙曲線的右支上，,1,2,3,4,5,針對訓(xùn)練,ZHENDUIXUNLIAN,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析過F1的直線MF1是圓F2的切線， F1MF290，|MF2|c，|F1F2|2c，,3.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以F2為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓中心并且交橢圓于點M，N，若過F1的直線MF1是圓F2的切線，則橢圓的離心率為,1,2,3,4,5,6,7,4.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線 (a0，b0)的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，若ABF2為鈍角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析由題設(shè)條件可知ABF2為等腰三角形，且AF2BF2， 只要AF2B為鈍角即可.,故選B.,解析由雙曲線的對稱性，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,解析因為|MF2|7|MF1|， 所以|MF2|MF1|6|MF1|， 即2a6|MF1|6(ca)，故8a6c，,當(dāng)且僅當(dāng)M為雙曲線的左頂點時，等號成立.,1,2,3,4,5,6,7,解析如圖，連接PF1，OQ， 由OQ為PF1F2的中位線，,由圓x2y2b2， 可得|OQ|b，則|PF1|2b. 由橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a， 即|PF2|2a2b. 又OQPF2，所以PF1PF2， 即(2b)2(2a2b)2(2c)2， 即b2a22abb2c2a2b2，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,3,4,5,6,7,