5.3平面向量的數(shù)量積 與平面向量的應(yīng)用,知識梳理,考點自診,1.平面向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為,則數(shù)量|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0. (2)幾何意義:數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積.,|a|b|cos ,知識梳理,考點自診,x1x2+y1y2,x1x2+y1y2=0,知識梳理,考點自診,3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba(交換律). (2)ab=(ab)=a(b)(結(jié)合律). (3)(a+b)c=ac+bc(分配律).,知識梳理,考點自診,1.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式: (1)(a+b)(a-b)=a2-b2. (2)(ab)2=a22ab+b2. 2.當(dāng)a與b同向時,ab=|a|b|;當(dāng)a與b反向時,ab=-|a|b|. 3.ab|a|b|.,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)一個非零向量在另一個非零向量方向上的投影為數(shù)量,且有正有負(fù). () (2)若ab0,則a和b的夾角為銳角;若ab<0,則a和b的夾角為鈍角. () (3)若ab=0,則必有ab. () (4)(ab)c=a(bc). () (5)若ab=ac(a0),則b=c. (),知識梳理,考點自診,2.(2018全國2,4)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0,B,解析:a(2a-b)=2a2-ab=2-(-1)=3.,3.(2018山西呂梁一模,3)若|a|=1,|b|=2,且(a+b)a,則a與b的夾角為(),C,知識梳理,考點自診,4.(2017全國1,文13)已知向量a=(-1,2),b=(m,1),若向量a+b與a垂直,則m=.,7,解析:因為a=(-1,2),b=(m,1), 所以a+b=(m-1,3). 因為a+b與a垂直,所以(a+b)a=0,即-(m-1)+23=0,解得m=7.,2,考點1,考點2,考點3,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,C,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考求向量數(shù)量積的運(yùn)算有幾種形式? 解題心得1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即ab=|a|b|cos (其中是向量a與b的夾角). (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時,可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1), b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時,可利用向量的加減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ).,考點1,考點2,考點3,B,D,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,平面向量的模及應(yīng)用,B,A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解題心得1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用 及(ab)2=|a|22ab+|b|2,把向量的模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運(yùn)算; (2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法: (1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求最值(或范圍); (2)數(shù)形結(jié)合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結(jié)合動點表示的圖形求解.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練2(1)(2018福建龍巖4月模擬,14)已知向量a與b的夾角為60,且|a|=1,|2a-b|= ,則|b|=. (2)已知向量a,b,其中|a|=2,|b|=1,且(a+b)a,則|a-2b|=.,4,考點1,考點2,考點3,平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(多考向) 考向1求平面向量的夾角 例3(1)設(shè)向量 ,b=(x,-3),且ab,則向量a-b與a的夾角為() A.30B.60C.120D.150 (2)(2018湖南長郡中學(xué)五模,14)已知a=(1,2),a-4b=(-15,-6),則a與b的夾角的余弦值為. 思考兩向量數(shù)量積的正負(fù)與兩向量的夾角有怎樣的關(guān)系?,B,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向2平面向量a在b上的投影,(2)(2018江西南昌三模,15)已知向量m=(1,2),n=(2,3),則m在m-n方向上的投影為. 思考求一向量在另一向量上的投影一般有哪些方法?,D,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考向3在三角形中的應(yīng)用,A,考點1,考點2,考點3,考向4在解析幾何中的應(yīng)用,5,考點1,考點2,考點3,思考在向量與解析幾何相結(jié)合的題目中,向量起到怎樣的作用? 解題心得1.數(shù)量積大于0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角;數(shù)量積等于0說明不共線的兩個向量的夾角為直角;數(shù)量積小于0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角. 2.若a,b為非零向量, (夾角公式),則abab=0. 3.求一向量在另一向量上的投影有兩種方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的數(shù)量積求. 4.解決與向量有關(guān)的三角函數(shù)問題的一般思路是應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想,即通過向量的相關(guān)運(yùn)算把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題.,考點1,考點2,考點3,5.向量在解析幾何中的作用 (1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”,導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之間的關(guān)系,從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題. (2)工具作用:利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.,考點1,考點2,考點3,1,A,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,1.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),是向量a與b的夾角.,考點1,考點2,考點3,2.計算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關(guān)的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用. 3.利用向量垂直或平行的條件構(gòu)造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.,考點1,考點2,考點3,考點1,考點2,考點3,思想方法函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)量積中的應(yīng)用,答案:2,解析:因為b0,所以b=xe1+ye2,x0或y0.,反思提升求向量的夾角與模的范圍問題經(jīng)常應(yīng)用函數(shù)思想與數(shù)形結(jié)合思想.模的最值問題多采用將其表示為某一變量或某兩個變量的函數(shù),利用求函數(shù)值域的方法確定最值,體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用,又多與二次函數(shù)、基本不等式相聯(lián)系;求向量夾角的范圍問題,根據(jù)條件,利用向量的線性運(yùn)算的幾何意義,依據(jù)圖形通過數(shù)形結(jié)合確定夾角的范圍.,