第2節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示,考試要求1.了解平面向量的基本定理及其意義；2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；3.會用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算；4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.,知 識 梳 理,1.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，_一對實(shí)數(shù)1，2，使a_. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_的向量，叫做把向量正交分解.,不共線,有且只有,1e12e2,互相垂直,3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,(x1x2，y1y2),(x1x2，y1y2),(x1，y1),(x2x1，y2y1),4.平面向量共線的坐標(biāo)表示,設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab_.,x1y2x2y10,微點(diǎn)提醒,1.若a(x1，y1)，b(x2，y2)且ab，則x1x2且y1y2. 2.若a與b不共線，ab0，則0. 3.向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.,基 礎(chǔ) 自 測,1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”),(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.() (2)同一向量在不同基底下的表示是相同的.() (3)設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)1，1，2，2滿足1a1b2a2b，則12，12.(),解析(1)共線向量不可以作為基底. (2)同一向量在不同基底下的表示不相同.,答案(1)(2)(3)(4),2.(必修4P118A2(6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是(),解析兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底，故選B. 答案B,3.(必修4P99例8改編)設(shè)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近點(diǎn)P1)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為() A.(2，2) B.(3，1) C.(2，2)或(3，1) D.(2，2)或(3，1),設(shè)P(x，y)，則(x1，y3)(1，1)， x2，y2，則點(diǎn)P(2，2). 答案A,答案A,5.(2017山東卷)已知向量a(2，6)，b(1，)，若ab，則_. 解析ab，260，解得3. 答案3,6.(2019蘇州月考)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_.,答案(1，5),考點(diǎn)一平面向量基本定理及其應(yīng)用,因?yàn)镋，M，F(xiàn)三點(diǎn)共線，所以2()(3)1，,規(guī)律方法1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. 2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決.,考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,A.1 B.2 C.3 D.4,(2)以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系(設(shè)每個(gè)小正方形邊長為1)，則A(1，1)，B(6，2)，C(5，1)，,cab，(1，3)(1，1)(6，2)，,答案(1)C(2)D,規(guī)律方法1.巧借方程思想求坐標(biāo)：若已知向量兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，解題過程中注意方程思想的應(yīng)用. 2.向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可以用坐標(biāo)來進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算的代數(shù)化，將數(shù)與形結(jié)合起來，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算問題.,(2)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D(0，0). 不妨設(shè)AB1，則CDAD2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，,答案(1)(4，7)(2)B,考點(diǎn)三平面向量共線的坐標(biāo)表示多維探究 角度1利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo) 【例31】 (一題多解)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為_.,所以(x4)6y(2)0，解得xy3， 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3). 答案(3，3),角度2利用向量共線求參數(shù) 【例32】 (1)(2018全國卷)已知向量a(1，2)，b(2，2)，c(1，).若c(2ab)，則_.,規(guī)律方法1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件是x1y2x2y10；(2)若ab(b0)，則ab. 2.向量共線的坐標(biāo)表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當(dāng)兩向量的坐標(biāo)均非零時(shí)，也可以利用坐標(biāo)對應(yīng)成比例來求解.,所以(2m1)21(2n1)，得：2m12n1.,答案(1)(3，6)(2)A,思維升華 1.平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 2.平面向量一組基底是兩個(gè)不共線向量，平面向量基底可以有無窮多組. 3.用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a1e12e2的形式. 易錯(cuò)防范 1.注意運(yùn)用兩個(gè)向量a，b共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2x2y10. 2.要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.,