第4節(jié)隨機(jī)事件與概率,考試要求1.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系；2.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算；3.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則；4.會(huì)用頻率估計(jì)概率.,知 識(shí) 梳 理,1.樣本點(diǎn)和樣本空間 隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為_，記作；隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)組成的集合稱為_，記作.,樣本點(diǎn),樣本空間,2.概率與頻率,頻率fn(A),3.事件的關(guān)系與運(yùn)算,包含,AB,并事件,事件A發(fā)生,事件B發(fā)生,4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì),(1)概率的取值范圍：_. (2)必然事件的概率P(E)1. (3)不可能事件的概率P(F)0. (4)互斥事件概率的加法公式 如果事件A與事件B互斥，則P(AB)_. 若事件B與事件A互為對(duì)立事件，則P(A)_.,0P(A)1,P(A)P(B),1P(B),微點(diǎn)提醒,基 礎(chǔ) 自 測(cè),1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的.() (2)在大量的重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值.() (3)若隨機(jī)事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0P(A)1.() (4)6張獎(jiǎng)券中只有一張有獎(jiǎng)，甲、乙先后各抽取一張，則甲中獎(jiǎng)的概率小于乙中獎(jiǎng)的概率.() 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修3P123A3改編)容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：,則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間10，40)的頻率為() A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65,答案B,3.(必修3P121T5改編)某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)去參加演講比賽，事件“至少有一名女生”與事件“全是男生”() A.是互斥事件，不是對(duì)立事件 B.是對(duì)立事件，不是互斥事件 C.既是互斥事件，也是對(duì)立事件 D.既不是互斥事件也不是對(duì)立事件 解析“至少有一名女生”包括“一男一女”和“兩名女生”兩種情況，這兩種情況再加上“全是男生”構(gòu)成全集，且不能同時(shí)發(fā)生，故“至少有一名女生”與“全是男生”既是互斥事件，也是對(duì)立事件. 答案C,4.(2019北京十八中月考)將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是() A.必然事件 B.隨機(jī)事件 C.不可能事件 D.無法確定 解析拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為010，都有可能發(fā)生，正面向上5次是隨機(jī)事件. 答案B,5.(2018全國(guó)卷)若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為0.45，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為0.15，則不用現(xiàn)金支付的概率為() A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析某群體中的成員分為只用現(xiàn)金支付、既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付、不用現(xiàn)金支付，它們彼此是互斥事件，所以不用現(xiàn)金支付的概率為1(0.150.45)0.4. 答案B,考點(diǎn)一樣本點(diǎn)與樣本空間,【例1】 將一枚質(zhì)地均勻的骰子相繼投擲兩次，請(qǐng)回答以下問題：,(1)寫出樣本點(diǎn)和樣本空間； (2)用A表示隨機(jī)事件“至少有一次擲出1點(diǎn)”，試用樣本點(diǎn)表示事件A； (3)用Aj(j1，2，3，4，5，6)表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”；用B表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”，試用隨機(jī)事件Aj表示隨機(jī)事件B.,解(1)首先確定樣本點(diǎn)，用1，2，3，4，5，6表示擲出的點(diǎn)數(shù)，用(i，j)表示“第一次擲出i點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”，則相繼投擲兩次的所有可能結(jié)果如下： (1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6) (2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6) (3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6) (4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6) (5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6) (6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6),注意到(1，2)和(2，1)是不同的樣本點(diǎn)，分別表示“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出2點(diǎn)”和“第一次擲出2點(diǎn)，第二次擲出1點(diǎn)”這兩個(gè)隨機(jī)事件，因此樣本空間共有36個(gè)樣本點(diǎn).把每個(gè)樣本點(diǎn)稱為基本事件.樣本空間為,(3)Aj(1，j)，j1，2，3，4，5，6.因?yàn)檫@些事件任何一個(gè)發(fā)生事件B就發(fā)生，所以BA1A2A3A4A5A6.,規(guī)律方法1.在具體問題的研究中，描述隨機(jī)現(xiàn)象的第一步就是建立樣本空間.關(guān)于樣本空間的幾點(diǎn)說明： (1)樣本空間中的元素可以是數(shù)也可以不是數(shù)； (2)樣本空間中的樣本點(diǎn)可以是有限多個(gè)的，也可以是無限多個(gè)的.僅含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間是最簡(jiǎn)單的樣本空間； (3)建立樣本空間，事實(shí)上就是建立隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型.因此，一個(gè)樣本空間可以概括許多內(nèi)容大不相同的實(shí)際問題.例如只包含兩個(gè)樣本點(diǎn)的樣本空間H，T，它既可以作為拋擲硬幣出現(xiàn)正面或出現(xiàn)反面的模型，也可以作為產(chǎn)品檢驗(yàn)中合格與不合格的模型，又能用于排隊(duì)現(xiàn)象中有人排隊(duì)與無人排隊(duì)的模型等.,【訓(xùn)練1】 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間. (1)同時(shí)擲三顆骰子，記錄三顆骰子點(diǎn)數(shù)之和_. (2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)，_. 答案(1)3，4，5，18(2)10，11，12，,考點(diǎn)二隨機(jī)事件的關(guān)系 【例2】 (1)把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個(gè)人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”() A.是對(duì)立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不對(duì)立事件 D.不是互斥事件 (2)設(shè)條件甲：“事件A與事件B是對(duì)立事件”，結(jié)論乙：“概率滿足P(A)P(B)1”，則甲是乙的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,解析(1)顯然兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但兩者可能同時(shí)不發(fā)生，因?yàn)榧t牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個(gè)事件為互斥但不對(duì)立事件.,答案(1)C(2)A,規(guī)律方法1.準(zhǔn)確把握互斥事件與對(duì)立事件的概念： (1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；(2)對(duì)立事件是特殊的互斥事件，特殊在對(duì)立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生. 2.判別互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件.,【訓(xùn)練2】 從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù).上述事件中，是對(duì)立事件的是() A. B. C. D. 解析從1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)有3種情況：一奇一偶，兩個(gè)奇數(shù)，兩個(gè)偶數(shù). 其中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”包含一奇一偶或兩個(gè)奇數(shù)這兩種情況，它與兩個(gè)都是偶數(shù)構(gòu)成對(duì)立事件. 又中的事件可以同時(shí)發(fā)生，不是對(duì)立事件. 答案C,考點(diǎn)三隨機(jī)事件的頻率與概率 【例3】 (2017全國(guó)卷)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：)有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：,以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率. (1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率； (2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.,所以這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.,(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)， 若最高氣溫低于20，則Y2006(450200)24504100； 若最高氣溫位于區(qū)間20，25)，則Y3006(450300)24504300； 若最高氣溫不低于25，則Y450(64)900， 所以，利潤(rùn)Y的所有可能值為100，300，900. Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20，,因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.,規(guī)律方法1.概率與頻率的關(guān)系 頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值. 2.隨機(jī)事件概率的求法 利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率. 提醒概率的定義是求一個(gè)事件概率的基本方法.,【訓(xùn)練3】 如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：,(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過計(jì)算說明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑.,(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人， 故由調(diào)查結(jié)果得頻率為,(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站. 由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5， P(A1)P(A2)，甲應(yīng)選擇L1. 同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9， P(B1)P(B2)，乙應(yīng)選擇L2.,考點(diǎn)四互斥事件與對(duì)立事件的概率 【例4】 經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：,求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率； (2)(一題多解)至少3人排隊(duì)等候的概率.,解記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥. (1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則GABC， 所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56. (2)法一記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則HDEF， 所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44. 法二記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G， 所以P(H)1P(G)0.44.,【訓(xùn)練4】 (一題多解)一盒中裝有12個(gè)球，其中5個(gè)紅球，4個(gè)黑球，2個(gè)白球，1個(gè)綠球.從中隨機(jī)取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率.,解法一(利用互斥事件求概率) 記事件A1任取1球?yàn)榧t球，A2任取1球?yàn)楹谇?，A3任取1球?yàn)榘浊颍珹4任取1球?yàn)榫G球，,根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得,(2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率為,法二(利用對(duì)立事件求概率) (1)由法一知，取出1球?yàn)榧t球或黑球的對(duì)立事件為取出1球?yàn)榘浊蚧蚓G球，即A1A2的對(duì)立事件為A3A4，所以取出1球?yàn)榧t球或黑球的概率為,(2)因?yàn)锳1A2A3的對(duì)立事件為A4，,思維升華 1.隨機(jī)試驗(yàn)、樣本空間與隨機(jī)事件的關(guān)系 每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)相應(yīng)地有一個(gè)樣本空間，樣本空間的子集就是隨機(jī)事件. 2.對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可以用頻率fn(A)來估計(jì)概率P(A). 3.對(duì)立事件不僅兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，而且二者必有一個(gè)發(fā)生. 4.求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法： (1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算.,易錯(cuò)防范 1.易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)變化而變化，而概率是一個(gè)常數(shù). 2.正確認(rèn)識(shí)互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系，對(duì)立事件是互斥事件，是互斥事件中的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，“互斥”是“對(duì)立”的必要不充分條件. 3.需準(zhǔn)確理解題意，特別留心“至多”“至少”“不少于”等語(yǔ)句的含義.,