第3課時導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用,考點(diǎn)一構(gòu)造函數(shù)證明不等式,所以當(dāng)02時，f(x)0， 即f(x)在(0，2)上是減函數(shù)，在(2，)上是增函數(shù)，,又由(1)知xln x1(當(dāng)且僅當(dāng)x1時取等號)， 且等號不同時取得，,規(guī)律方法1.證明不等式的基本方法： (1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，有f(a)f(x)f(b)，x1，x2a，b，且x1<x2，有f(x1)<f(x2).對于減函數(shù)有類似結(jié)論. (2)利用最值：若f(x)在某個范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則xD，有f(x)M(或f(x)m). 2.證明f(x)<g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)<0.先通過化簡、變形，再移項(xiàng)構(gòu)造不等式就減少運(yùn)算量，使得問題順利解決.,(1)求函數(shù)f(x)的解析式； (2)設(shè)g(x)ln x，求證：g(x)f(x)在1，)上恒成立.,(1)解將x1代入切線方程得y2，,即證明(x21)ln x2x2，x2ln xln x2x20在1，)上恒成立.,所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增，h(x)h(1)0， 所以g(x)f(x)在1，)上恒成立.,考點(diǎn)二利用“若f(x)ming(x)max，則f(x)g(x)”證明不等式,【例2】 已知函數(shù)f(x)xln xax.,(1)解函數(shù)f(x)xln xax的定義域?yàn)?0，). 當(dāng)a1時，f(x)xln xx，f(x)ln x2.,當(dāng)且僅當(dāng)x1時取到，從而可知對一切x(0，)，都有f(x)G(x)，,規(guī)律方法1.在證明不等式中，若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，則可考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題. 2.在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處f(x)ming(x)max恒成立.從而f(x)g(x)，但此處f(x)與g(x)取到最值的條件不是同一個“x的值”.,(1)求f(x)的極值； (2)求證：對任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).,(1)解依題意得f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)， 知f(x)在(，1)和(1，)上是減函數(shù)，在(1，1)上是增函數(shù)， 所以f(x)極小值f(1)3，f(x)極大值f(1)1. (2)證明易得x0時，f(x)最大值1，,注意到h(1)0，當(dāng)x1時，h(x)0；當(dāng)0<x<1時，h(x)<0， 即h(x)在(0，1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)， h(x)最小值h(1)1，即g(x)最小值1. 綜上知對任意x1，x2(0，)，都有f(x1)g(x2).,考點(diǎn)三不等式恒成立或有解問題 多維探究 角度1不等式恒成立求參數(shù),所以(x)<(0)0，故sin xax<0恒成立.,當(dāng)x(0，x0)時，(x)0，故(x)在區(qū)間(0，x0)上單調(diào)遞增，且(0)0， 從而(x)在區(qū)間(0，x0)上大于零，這與sin xax<0恒成立相矛盾.,得sin xax0恒成立，這與sin xax<0恒成立相矛盾. 故實(shí)數(shù)a的最小值為1.,規(guī)律方法1.破解此類題需“一形一分類”，“一形”是指會結(jié)合函數(shù)的圖象，對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷其極值，從而得到含有參數(shù)的方程組，解方程組，即可求出參數(shù)的值；“一分類”是指對不等式恒成立問題，常需對參數(shù)進(jìn)行分類討論，求出參數(shù)的取值范圍. 2.利用導(dǎo)數(shù)研究含參數(shù)的不等式問題，若能夠分離參數(shù)，則常將問題轉(zhuǎn)化為形如af(x)(或af(x)的形式，通過求函數(shù)yf(x)的最值求得參數(shù)范圍.,令f(x)0，得x1.當(dāng)x(0，1)時，f(x)0，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x(1，)時，f(x)<0，f(x)是減函數(shù)；所以x1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，,所以h(x)h(1)1，所以g(x)0， 所以g(x)是增函數(shù)，所以g(x)g(1)2， 故k2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(，2.,角度2不等式能成立求參數(shù)的取值范圍 【例32】 已知函數(shù)f(x)x2(2a1)xaln x(aR).,(1)若f(x)在區(qū)間1，2上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍； (2)函數(shù)g(x)(1a)x，若x01，e使得f(x0)g(x0)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,(2)由題意知，不等式f(x)g(x)在區(qū)間1，e上有解， 即x22xa(ln xx)0在區(qū)間1，e上有解. 因?yàn)楫?dāng)x1，e時，ln x1x(不同時取等號)，xln x0，,因?yàn)閤1，e，所以x222ln x， 所以h(x)0，h(x)在1，e上單調(diào)遞增，,規(guī)律方法1.含參數(shù)的能成立(存在型)問題的解題方法 af(x)在xD上能成立，則af(x)min； af(x)在xD上能成立，則af(x)max. 2.含全稱、存在量詞不等式能成立問題 (1)存在x1A，任意x2B使f(x1)g(x2)成立，則f(x)maxg(x)max；(2)任意x1A，存在x2B，使f(x1)g(x2)成立，則f(x)ming(x)min.,解依題意，不等式f(x)<g(x)在1，e上有解，,思維升華 1.證明不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題. 2.恒(能)成立問題的轉(zhuǎn)化策略.若f(x)在區(qū)間D上有最值，則 (1)恒成立：xD，f(x)0f(x)min0； xD，f(x)0f(x)max0； xD，f(x)<0f(x)min<0.,易錯防范 1.證明不等式，特別是含兩個變量的不等式時，要注意合理的構(gòu)造函數(shù). 2.恒成立與能成立問題，要注意理解“任意”與“存在”的不同含義，要注意區(qū)分轉(zhuǎn)化成的最值問題的異同.,邏輯推理兩個經(jīng)典不等式的活用,邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證.利用兩個經(jīng)典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過程. (1)對數(shù)形式：x1ln x(x0)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立. (2)指數(shù)形式：exx1(xR)，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，等號成立. 進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：exx1x1ln x(x0，且x1).,即x|x1，且x0，所以排除選項(xiàng)D. 當(dāng)x0時，由經(jīng)典不等式x1ln x(x0)， 以x1代替x，得xln(x1)(x1，且x0)， 所以ln(x1)x1，且x0)，即x0或1<x<0時均有f(x)<0，排除A，C，易知B正確. 答案B,則g(x)exx1， 由經(jīng)典不等式exx1恒成立可知，g(x)0恒成立， 所以g(x)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，且g(0)0. 所以函數(shù)g(x)有唯一零點(diǎn)，即兩曲線有唯一公共點(diǎn).,【例2】 (2017全國卷改編)已知函數(shù)f(x)x1aln x.,(1)若f(x)0，求a的值；,(1)解f(x)的定義域?yàn)?0，)，,當(dāng)x(0，a)時，f(x)0； 所以f(x)在(0，a)單調(diào)遞減，在(a，)單調(diào)遞增，,故xa是f(x)在(0，)的唯一最小值點(diǎn). 因?yàn)閒(1)0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時，f(x)0，故a1. (2)證明由(1)知當(dāng)x(1，)時，x1ln x0.,【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.,(1)討論f(x)的單調(diào)性；,(1)解由題設(shè)知，f(x)的定義域?yàn)?0，)，,當(dāng)00，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x1時，f(x)<0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減.,(2)證明由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0. 所以當(dāng)x1時，ln x<x1.,