8.2空間幾何體的表面積與體積,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,1.多面體的表(側(cè))面積 因為多面體的各個面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是,表面積是側(cè)面積與底面面積之和.,所有側(cè)面的面積之和,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式,2rl,rl,(r1+r2)l,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,3.柱、錐、臺和球的表面積和體積,Sh,4R2,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,4.常用結(jié)論 (1)與體積有關(guān)的幾個結(jié)論 一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差. 底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等. (2)幾個與球切、接有關(guān)的常用結(jié)論 正方體的棱長為a,球的半徑為R, 正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.,2,知識梳理,雙基自測,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯誤的打“”. (1)若圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形,則這個圓柱的側(cè)面積是2S.() (2)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a,a,a,其頂點都在一個球面上,則該球的表面積為3a2.() (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為9.(),答案,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,2.一個幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為2的兩個全等的等腰直角三角形,俯視圖是圓心角為 的扇形,則該幾何體的側(cè)面積為(),答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,3.已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為(),答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,4.已知一個正方體的所有頂點在一個球面上,若這個正方體的表面積為18,則這個球的體積為.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,5.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC為直角三角形,ACB=90,AC=4,BC=CC1=3.P是BC1上一動點,若一小蟲沿其表面從點A1經(jīng)過點P爬行到點C,則其爬行路程的最小值為.,答案,解析,知識梳理,雙基自測,2,3,4,1,5,自測點評 1.求多面體的表面積關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,它們是聯(lián)系高與斜高、邊長等幾何元素的橋梁.求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時需要將曲面展為平面圖形計算,而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和. 2.求幾何體的體積,要注意分割與補形.將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解.,考點1,考點2,考點3,例1(2018福建龍巖質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(),思考求幾何體的表面積的關(guān)鍵是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心得1.幾何體表面積的求法 (1)多面體:其表面積是各個面的面積之和. (2)旋轉(zhuǎn)體:其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和.求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積一般要進行轉(zhuǎn)化,即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決(化曲為直),因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法. (3)簡單組合體,應(yīng)搞清各構(gòu)成部分,并注意重合部分的處理. (4)若以三視圖的形式給出,則解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析,從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系,得到幾何體的直觀圖,然后根據(jù)條件求解.,考點1,考點2,考點3,2.球的表面積的求法 求球的表面積,關(guān)鍵是求球的半徑.一般地,求球的半徑,要學(xué)會作球的一個截面圖(緯圓),利用球的半徑R、截面圓的半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)建直角三角形,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,利用勾股定理解決,即R2=r2+d2.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練1如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是 則它的表面積是() A.17B.18C.20D.28,答案,解析,考點1,考點2,考點3,例2已知等腰直角三角形的直角邊的長為2,將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心得1.求旋轉(zhuǎn)體體積的關(guān)鍵是理解所得旋轉(zhuǎn)體的幾何特征,確定得到計算體積所需要的幾何量. 2.計算柱、錐、臺的體積的關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高. 3.注意求體積的一些特殊方法:分割法、補體法、轉(zhuǎn)化法等,它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計算常用的方法,應(yīng)熟練掌握.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練2(2018湖南、江西十四校聯(lián)考)已知一個棱長為2 cm的正方體被兩個平面所截得的幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是(),答案,解析,考點1,考點2,考點3,例3(1)長方體的長、寬、高分別為3,2,1,其頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為. (2)已知三棱錐S -ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S -ABC的體積為9,則球O的表面積為. (3)若一個正四面體的表面積為S1,其內(nèi)切球的表面積為S2,則,思考解決與球有關(guān)的切、接問題的關(guān)鍵是什么?,答案,解析,考點1,考點2,考點3,解題心得解決球與其他幾何體的切、接問題,關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析,弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系),達到空間問題平面化的目的.,考點1,考點2,考點3,對點訓(xùn)練3(1)(2018福建廈門質(zhì)檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的表面積是(),(2)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(),A,B,考點1,考點2,考點3,(3)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上,且AB=3,BC= ,過點D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,則棱錐E-ABCD的體積為.,考點1,考點2,考點3,解析:(1)由三視圖畫出如圖所示的直觀圖,如圖所示. 該幾何體是直三棱柱ABC-ABC, 其中ACBC,AC=BC= ,AA=2,四邊形ABBA是正方形,則將該直三棱柱補全成長方體,如圖所示.,考點1,考點2,考點3,(2)由題意知要使球的體積最大,則它與直三棱柱的若干個面相切.,(3)如圖所示. 由題意易知BE過球心O,考點1,考點2,考點3,1.求柱體、錐體、臺體與球的表面積的問題,要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解決. 2.求三棱錐的體積時要注意三棱錐的每個面都可以作為底面. 3.與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認(rèn)真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖. 1.求組合體的表面積時,組合體的銜接部分的面積問題易出錯. 2.由三視圖計算幾何體的表面積與體積時,由于幾何體的還原不準(zhǔn)確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識不準(zhǔn)易導(dǎo)致錯誤. 3.易混側(cè)面積與表面積的概念.,思想方法轉(zhuǎn)化思想在立體幾何計算中的應(yīng)用 空間幾何體的三視圖與體積、表面積結(jié)合命題是高考的熱點,旨在考查學(xué)生的識圖、用圖能力及空間想象能力與運算能力.若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法(轉(zhuǎn)換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補形法等方法進行求解.,典例如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點,則三棱錐D1-EDF的體積為.,反思提升1.利用三棱錐的“等積性”,可以把任何一個面作為三棱錐的底面. 2.求體積時,可選擇“容易計算”的方式來計算.,