反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)教案2教學(xué)目標(biāo)一、知識(shí)與技能1進(jìn)一步熟悉作函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象2體會(huì)函數(shù)的三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換，對函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)上的整合3逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)二、過程與方法1經(jīng)歷反比例函數(shù)主要性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程2體會(huì)分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1積極參與探索活動(dòng)，注意多和同伴交流看法2在動(dòng)手作圖的過程中，體會(huì)做中的樂趣，養(yǎng)成勤于動(dòng)手，樂于探索的習(xí)慣教學(xué)重點(diǎn)掌握反比例函數(shù)的作圖教學(xué)難點(diǎn)反比例函數(shù)三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換教具準(zhǔn)備1教師準(zhǔn)備：投影儀、直尺、圓規(guī)2學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課活動(dòng)1（1）畫函數(shù)y=3x-1的圖象；（2）求上述函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)計(jì)意圖：總結(jié)一次函數(shù)圖象作法的基本步驟及其性質(zhì)，為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)作準(zhǔn)備師生行為：學(xué)生獨(dú)立思考、操作、交流、回答；教師可與學(xué)生平等交流，提問學(xué)生生：（1）列表：（由于一次函數(shù)的圖象是一條直線，所以只需找到兩個(gè)點(diǎn)）x0y-10（2）描點(diǎn)：以表中各組對應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)（3）連線：連接兩點(diǎn)即可得y=3x-1的圖象（圖象略）令x=0，則y=-1，一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），令y=0，得x=，一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）師：很好，什么叫做反比例函數(shù)？生：如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)且k0）的形式，那么y是x的反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的自變量x不能為零師：請同學(xué)們猜一猜，一次函數(shù)的圖象是一條直線，那么反比例函數(shù)的圖象是什么樣的呢？你能畫出例如y=，y=，y=-，y=-的圖象嗎？生：我認(rèn)為反比例函數(shù)的圖象是斷開的，因?yàn)閤0生：我認(rèn)為反比例函數(shù)的圖象是與x軸、y軸無交點(diǎn)，因?yàn)閤0，y0師：反比例函數(shù)的圖象到底如何呢？下面我們親自動(dòng)手操作就會(huì)發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)二、探索、研究揭示反比例函數(shù)的特點(diǎn)活動(dòng)2【例2】畫出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換，對函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)上的整合，去為發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的性質(zhì)作準(zhǔn)備師生行為：學(xué)生初次遇到作非線性函數(shù)的圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開的兩支曲線組成，因此在作圖過程中應(yīng)給學(xué)生留有思考的時(shí)間和交流的空間學(xué)生可以先自己動(dòng)手畫圖，相互觀摩在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否順利進(jìn)行三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換；是否熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象；在動(dòng)手作圖的過程中，能否勤于動(dòng)手，樂于探索師：這是我們初次遇到作反比例函數(shù)的圖象但作圖象的步驟和要求與畫一次函數(shù)圖象基本一樣第一步應(yīng)該做什么？生：列表由于自變量x0，列表時(shí)，我們是否在0的兩邊對稱地取互為相反數(shù)的x值這樣y就只差一個(gè)符號(hào)，可以減少計(jì)算量師：這個(gè)同學(xué)的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路變得如何清晰，是很了不起的事我們不妨分成兩個(gè)大組，第一大組列函數(shù)y=的表格，第二大組列函數(shù)y=-的表格生：解：列表表示幾組x與y的對應(yīng)值（填空）：x-6-5-4-3-2-1123456y=-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21y=-11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1師：你還記得如何用“描點(diǎn)”的方法畫出函數(shù)的圖象嗎？生：從列出的表格可知，畫y=的圖象需描點(diǎn)（-6，-1），（-5，-1.2），（-4，-1.5），（-3，-2），（-2，-3），（-1，-6），（1，6），（2，3），（3，2），（4，1.5），（5，1.2），（6，1）畫y=-的圖象需描點(diǎn)（-6，1），（-5，1.2），（-1，1.5），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（4，-1.5），（5，-1.2），（6，-1）生：我們找到了點(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，接著該連線了吧？這么多的點(diǎn)從哪兒連起呢？生：我認(rèn)為連線要用平滑的曲線把各個(gè)點(diǎn)按自變量由小到大的順序連起來師：很好！反比例函數(shù)是我們第一次遇到的非直線的函數(shù)圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開的兩支曲線組成，我們從描出的點(diǎn)的變化趨勢就可看出，切記不能用折線連接師生共析：用平滑的曲線按自變量從小到大的順序把描出點(diǎn)連接起來，就可得到下圖:師：我們利用列表、描點(diǎn)、連線，得到了y=與y=-的圖象，它們有什么共同的特征？它們之間有什么關(guān)系呢？生：比較反比例函數(shù)y=與y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，它們都是由兩條曲線組成，曲線都無限地接近x、y軸，但不會(huì)與x軸、y軸相交師：也就是反比例函數(shù)的圖象是雙曲線生：還可以發(fā)現(xiàn)y=與y=-的圖象都是軸對稱圖形，各有兩條對稱軸它們都不會(huì)經(jīng)過原點(diǎn)活動(dòng)3練習(xí)：在下面的平面直角坐標(biāo)系中，如下圖畫出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象，可以利用y=與y=-圖象之間的關(guān)系畫出函數(shù)y=-的圖象設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步熟悉畫反比例函數(shù)圖象的一般步驟和需要注意的問題：列表時(shí)，自變量的值可以選取絕對值相等而符號(hào)相反的一對一對的數(shù)值，這樣可以簡化運(yùn)算，又便于描點(diǎn)，作出圖象的對稱；列表，描點(diǎn)時(shí)，要盡可能多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線在連線時(shí)，必須用光滑曲線連接各點(diǎn)，而又不能用折線等師生行為：由學(xué)生自己獨(dú)立完成教師巡視對有困難的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后讓兩個(gè)同學(xué)板演在此活動(dòng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：能否掌握畫反比例函數(shù)圖象的步驟；能否用光滑的曲線畫出；能否利用y=與y=-的關(guān)系畫出函數(shù)的圖象活動(dòng)4觀察函數(shù)y=和y=-以及y=和y=-的圖象（1）你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征以及不同點(diǎn)嗎？（2）每個(gè)函數(shù)的圖象分別位于哪幾個(gè)象限？（3）在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的變化如何變化？設(shè)計(jì)意圖：提高學(xué)生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)，體會(huì)分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用并引導(dǎo)學(xué)生積極參與探索活動(dòng)，注意多和同伴交流看法師生行為：學(xué)生分組針對上面3個(gè)問題結(jié)合畫出的圖象分類討論，歸納總結(jié)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)教師參與到學(xué)生的討論中去，積極引導(dǎo)在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：學(xué)生能否從反比例函數(shù)y=，y=-和y=與y=-圖象中歸納出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)學(xué)生能否積極參與到小組討論中，大膽發(fā)表自己的見解，傾聽別人的看法師：觀察y=和y=-以及y=和y=-的圖象，函數(shù)y=的圖象在哪些象限由什么因素來決定？生：y=，y=的圖象都在第一、第三象限；而y=-和y=-的圖象都在第二、第四象限所以y=的圖象在哪些象限，由k來決定當(dāng)k>0時(shí)反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限；當(dāng)k<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限師：很好！我們已知道反比例函數(shù)的圖象是兩支，我們把它叫做雙曲線，而函數(shù)是研究兩個(gè)變量之間的關(guān)系的像y=和y=-以及y=與y=-，它們的圖象在每個(gè)象限，y隨x的變化如何變化？生：由y=的圖象可以發(fā)現(xiàn)，位于第一象限內(nèi)的圖象，從左向右看，x在增大，曲線成下降趨勢，說明函數(shù)值y隨x的增大而減小，位于第三象限的一支也隨x的增大減小生：由y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大生：而y=與y=-的圖象也不難發(fā)現(xiàn)：對于y=，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，對于y=-，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大師生共析：所以，y隨x的變化情況也同k有關(guān)系，即y=，當(dāng)k>0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大生：為什么要強(qiáng)調(diào)在“每一個(gè)象限內(nèi)”呢？師：大家知道，反比例函數(shù)的圖象是“斷開”的所以，y隨x的變化情況也是“斷開”的，因此需在每一個(gè)象限內(nèi)分別討論：綜上所述，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下：（1）反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k0）的圖象是雙曲線；（2）當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而減?。唬?）當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大下面我們就根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)完成下列練習(xí)三、鞏固提高活動(dòng)51請指出下面的圖象中，如下圖哪一個(gè)是反比例函數(shù)的圖象（ ）2如右圖，這是下列四個(gè)函數(shù)中哪一個(gè)函數(shù)的圖象（ ）Ay=5x By=2x+3 Cy= Dy=-設(shè)計(jì)意圖：熟悉反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想師生行為：學(xué)生獨(dú)立思考完成教師巡視，引導(dǎo)“學(xué)困生”完成任務(wù)在此活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）學(xué)生能否熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（2）學(xué)生是否能將剛學(xué)過的知識(shí)用于實(shí)踐生：解：1反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，所以應(yīng)選2從上圖中可以看出是反比例函數(shù)的圖象，而給出的四個(gè)函數(shù)中，AB都不是反比例函數(shù)，而D雖是反比例函數(shù)，但y=-中，k=-3<0，圖象應(yīng)在二、四象限，應(yīng)選C四、課堂總結(jié)，提高認(rèn)識(shí)活動(dòng)6你對本節(jié)知識(shí)有哪些認(rèn)識(shí)？設(shè)計(jì)意圖：這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都制造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)體會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿足多樣化的學(xué)習(xí)需要，從而使小節(jié)活動(dòng)不流于形式而具有實(shí)效性，為學(xué)生提供更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲小結(jié)活動(dòng)既要注重引導(dǎo)學(xué)生對反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)又充分認(rèn)識(shí)，又要從能力、情感態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對課堂的整體感受師生行為：教師可由學(xué)生隨意說出一個(gè)反比例函數(shù)，然后由另一個(gè)學(xué)生說出它的性質(zhì)或制作卡片（卡片上可直接寫上幾個(gè)反比例函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象）讓學(xué)生抽取并回答卡片上提出的問題在活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注：（1）不同層次學(xué)生對本節(jié)課知識(shí)的認(rèn)識(shí)程序；（2）學(xué)生獨(dú)立面對困難和克服困難的能力板書設(shè)計(jì)1712反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（一）1反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（1）y=，y=-（2）y=，y=-反比例函數(shù)的圖象是雙曲線；當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而增大2練習(xí)活動(dòng)與探究右如圖A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函數(shù)y=圖象在第一象限分支上的三個(gè)點(diǎn)，且x1<x2<x3，過A、B、C三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，得矩形ADOH，BEON，CFOP，它們的面積分別為S1、S2、S3由反比例函數(shù)y=得xy=k，把A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入函數(shù)表達(dá)式中得到：k=x1y1=S矩形ADOH=S1=1；k=x2y2=S矩形BEON=S2=1；k=x3y3=S矩形CFOP=S3=1所以S1=S2=S3，即雙曲線上任意一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)的乘積是一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)的絕對值即為雙曲線上一點(diǎn)，分別作坐標(biāo)軸的垂線所得矩形的面積在下圖中，若正比例函數(shù)y=2x與y=ax（a>0）的圖象與反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)若RtAOB與RtCOD的面積分別記為S1、S2，請你分析S1和S2的大小關(guān)系，并寫出分析過程過程：A、C是y=（k>0）上的點(diǎn)，x1y1=x2y2=k，SAOB=x1y1=k，SCOD=x2y2=k結(jié)果：SAOB=SCOD即面積相等備課資料參考例題【例1】反比例函數(shù)y=的圖象所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求a的值分析：根據(jù)反比例函數(shù)解析式的一般式y(tǒng)=（k0），可知此函數(shù)為反比例函數(shù)，13-a2=1；2a-30，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，圖象在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則2a-3<0解：由所以a=-2【例2】已知一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，且b>0；反比例函數(shù)y=中，k1=k2，那么它們在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能是（ ）分析：由一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，則可知k1<0又b>0，故直線與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸上因k2=k1，而且k1<0，所以k2<0雙曲線y=在第二、第四象限，故選C