學(xué)習(xí)好資料歡迎下載專題八：數(shù)學(xué)方法一、考點(diǎn)綜述考點(diǎn)內(nèi)容：配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法考綱要求：配方法、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法是隨著對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的研究的深入而發(fā)展起來的。要求學(xué)生鉆研習(xí)題、精通解題方法，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步熟練地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)教材，練好解題的基本功，提高解題技巧，積累教學(xué)資料，提高考試答題的應(yīng)變能力?？疾榉绞郊胺种担号浞椒?、因式分解法、換元法、待定系數(shù)法、面積法等解題方法在中考中選擇、填空、解答題都有出現(xiàn)，常常在綜合題目中出現(xiàn)，分值在 20 分左右。備考策略：分析解題思路，總結(jié)解題方法，重在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力；分析中考對(duì)知識(shí)的考查方式和未來中考命題的趨勢(shì)，使學(xué)生全面了解和掌握各個(gè)題型的命題特點(diǎn)與命題趨勢(shì)，做到有的放矢。二、例題解析1、配方法所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過配方解決數(shù)學(xué)問題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。例 1：用配方法解方程： 2 x2 - x - 1 = 0 解題思路：（1）此方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為 1，要先化成 1；（2）在配方時(shí)，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為 1 時(shí)，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方就得到完全平方式。解析：兩邊都除以 2，得 x2 -1   1x -  = 0 2   2移項(xiàng)，得 x2 -1   1x =  2   2配方，得  x2 -x + ç   ÷  =  ， ç  x -÷  =   x -  14  4     4   4               21æ 1 ö29æ1 ö292è 4 ø16è4 ø163131=或 x -= - x = 1， x = -12規(guī)律總結(jié)：用配方法解一元二次方程的一般步驟：（1） 化二次項(xiàng)系數(shù)為 1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（2）移項(xiàng)：使方程的左邊為二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)（3）配方：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值的一半的平方就得到完全平方式（4）用直接開平方法解方2、因式分解法因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。例 2已知 4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，求證：2x2+3xy+y2-x-y=0解題思路：要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零，通常是將此多項(xiàng)式分解因式若分解后的因式中有一個(gè)值為零，則原多項(xiàng)式的值為零經(jīng)過分組分解，可知2x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)，若 x+y 或 2x+y-1 為零，則原多項(xiàng)式的值為零為達(dá)此目的，就要從條件入手證明：因?yàn)?#160;4x2+4xy+y2-4x-2y+1=0，所以(2x+y)2-2(2x+y)+1=0，(2x+y-1)2=0所以2x+y-1=0又因?yàn)?x2+3xy+y2-x-y=(x+y)(2x+y-1)而2x+y-1=0，所以2x2+3xy+y2-x-y=0規(guī)律總結(jié)：要證明一個(gè)多項(xiàng)式的值為零，通常是將此多項(xiàng)式分解因式若分解后的因式中有一個(gè)值為零，則原多項(xiàng)式的值為零。3、換元法換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來的式子，使它簡(jiǎn)化，使問題易于解決。例 3解方程： 2 x -1    4 x-x  2 x 2 - 1= 312 x 2 - 1解題思路：此題初看似乎應(yīng)先去分母，但去分母會(huì)使方程兩邊次數(shù)太高，仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)2 x -=，xx2 x 2 - 1所以應(yīng)設(shè) y =，用換元法解。x解： x  = 1 + 62          2       2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載61， x = 1 -， x =， x = -11234規(guī)律總結(jié)：用新的變?cè)ゴ嬖降囊徊糠只蚋脑煸瓉淼氖阶?，要注意觀察方程的特點(diǎn)。4、待定系數(shù)法在解數(shù)學(xué)問題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問題，這種解題方法稱為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。例 4 直線 l 與直線數(shù)解析式。的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，與直線          的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，求直線 l 對(duì)應(yīng)的函解題思路：設(shè)直線 l 對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，需找出 y 與 x 的兩對(duì)對(duì)應(yīng)值才能求出待定系數(shù)k，b 的值，由于 l 與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，可求出 l 上一點(diǎn)（2，5），l 與的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 1，可求得 l 上另一點(diǎn)（1，1）于是問題得以解決。解析：在所以 l 與直線在中，當(dāng) x=2 時(shí)，交點(diǎn)為（2，5）中，y=1 時(shí)，所以直線 l 與直線的交點(diǎn)為（1，1）設(shè)直線 l 與，則解得所以 l 的解析式為規(guī)律總結(jié)：根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系。5、面積法平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。例 5如圖，已知在ABC 中，AB=AC，D 為 BC 上任意一點(diǎn)，DEAB、DFAC，垂足分別為 E、F，BG 是 AC 邊上的高。求證：DE+DF=BC解題思路：連接 AD，由得到 BG×AC=DE×AB+DF×AC，因?yàn)?#160;AB=AC，所以 BG=DE+DF.規(guī)律總結(jié)：運(yùn)用面積關(guān)系來證明或計(jì)算平面幾何題的方法，它是幾何中的一種常學(xué)習(xí)好資料歡迎下載用方法。綜合訓(xùn)練一、選擇題1、用換元法解方程2( x 2 + 1)  6( x + 1)+x + 1    x 2 + 1= 7 時(shí)，下列換元方法中最適宜的是設(shè)（  ）x 2 + 11A、 y = x 2 + 1B、 y = x + 1C、 y =D、 y =x + 1x 2 + 12、用換元法解方程 x 2 + x +1  1+x  x 2= 4 ，通常會(huì)設(shè) y （   ）A、 x + x 21            1  1B、 x +          C、 +x            x  x 2D、 x + 23、用配方法解下列方程時(shí),配方有錯(cuò)誤的是()A.x2-2x-99=0 化為(x-1)2=100B. x2+8x+9=0 化為(x+4)2=25D.3x2-4x-2=0 化為C.2x2-7x-4=0 化為( x -7 81 2) 2 = ( x - )2 =4     16                                 3109A S =  k4、反比例函數(shù) y = k （k>0）在第一象限內(nèi)的圖象如圖 1 所示，P 為該圖象上任一點(diǎn)，xPQx 軸，設(shè)POQ 的面積為 S，則 S 與 k 之間的關(guān)系是（）kB S =CS=kDS>k425、多項(xiàng)式2x2x(x1)24(x1)4(x1)24x(x1)44x214x 分解因式后，結(jié)果含有相同因式的是()A、B、C、D、二、填空題1、某市 2008 年自然保護(hù)區(qū)覆蓋率（即自然保護(hù)區(qū)面積占全市面積的百分比）為 4.65%，尚未達(dá)到國(guó)家 A 級(jí)標(biāo)準(zhǔn)，因此，市政府決定加快綠化建設(shè)，力爭(zhēng) 2004 年底自然保護(hù)區(qū)覆蓋率達(dá)到 8%，則該市自然保護(hù)區(qū)面積的年平均增長(zhǎng)率_（結(jié)果保留三位有效數(shù)字）y2、若 4x2+bx+9 是完全平方式，則 b=23、在反比例函數(shù) y =（ x > 0 ）的圖象上，有點(diǎn)xP，P ，P，P ，它們的橫坐標(biāo)依次為 1，2，3，41234O2y =xP1P21    2P33P44    x分別過這些點(diǎn)作 x 軸與 y 軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為 S ，S ，S ，123則 S1 + S2 + S3 =4、由右邊圖象寫出二次函數(shù)的解析式_學(xué)習(xí)好資料歡迎下載5、分解因式 a2(xy)b2(xy)_6、已知如圖，4 個(gè)圓的半徑都為 a，用代數(shù)式表示其中陰影部分的面積，并求當(dāng) a=10，取 3.14 時(shí)，陰影部分的面積_三、解答題æ x ö 21.用換元法解下列方程： ç÷ -è x + 1 ø5xx + 1+ 6 = 02. 心 理 學(xué) 家 發(fā) 現(xiàn) ， 學(xué) 生 對(duì) 概 念 的 接 受 能 力 與 提 出 概 念 所 用 的 時(shí) 間 x （ 單 位 ： 分 ） 之 間 滿 足 式 子xx(0。-0. 1 2 + 2. 6 + 43 £ x £ )30如果使學(xué)生的接受能力達(dá)到 59，用多長(zhǎng)時(shí)間？你知道學(xué)生的最大接受能力是多少嗎？3.三角形兩邊的長(zhǎng)分別為 8 和 6，第三邊的長(zhǎng)是方程 x2-16x+60=0 的根,求該三角形的最長(zhǎng)邊上的高。4. 已知拋物線與 x 軸交于 A(-1，0)、B(1，0)，并經(jīng)過 M(0，1)，求拋物線的解析式5.把下列各式分解因式(1)a416(2)81x472x2y216y4學(xué)習(xí)好資料歡迎下載6.若 x 2 + 6 x + y 2 - 4 y + 13 = 0 求 x y參考答 案一、選擇題1.C 2.B 3.B 4.B 5.C二、填空題1.0.3122.12 或-123.三、解答題31. x = -2 ， x = -122324. y=-2x2-4x5. (xy)(ab)(ab) 6. 86-0.1x2 + 2.6 x + 43 = 59 整理得 x2 - 26 x = -160 配方，得  x - 13= 92. 解(1)( )2x = 10x = 16120.1x2 + 2.6 x + 43 = -0.1(x2 - 26 x - 430 )= -0.1 é(x - 13)2 - 169 - 430ù(2)ë                  û= -0.1(x - 13)2 + 59.9答：學(xué)生的最大接受能力為 59.93.4.84. 解：拋物線與 x 軸交于 A(-1，0)、B(1，0)設(shè)拋物線的解析式為 ya(x1)(x-1)又拋物線過 M(0，1)，將 x=0，y=1 代入上式，解得 a=-1學(xué)習(xí)好資料歡迎下載函數(shù)解析式為 y=-x215. 解：(1)a416=(a24)(a24)=(a24)(a2)(a2)(2)81x472x2y216y4=(9x2)22·9x2·4y2(4y2)2（先化成完全平方的形式，認(rèn)準(zhǔn)誰(shuí)是公式的 a，誰(shuí)是 b）=(9x24y2)2=(3x2y)2(3x2y)2（注意這不是結(jié)果）=(3x2y)2(3x2y)26. 解: x 2 + 6 x + y 2 - 4 y + 13 = 0x2 + 6 x + 9 + y 2 - 4 y + 4 = 0( x + 3)2 + ( y - 2)2 = 0因?yàn)?#160;( x + 3)2 0, ( y - 2)2 0 所以 x+3=0,y-2=0 即 x=-3,y=2 則 x y=9