第8章 第5節(jié)(時(shí)間60分鐘，滿分80分)一、選擇題(共6個(gè)小題，每小題5分，滿分30分)1橢圓1的右焦點(diǎn)到直線yx的距離是()A.B.C1 D.解析：右焦點(diǎn)F(1,0)，d.答案：B2(2011·福州質(zhì)檢)已知F1，F(xiàn)2是橢圓1的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)在AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長度為()A6 B5C4 D3解析：根據(jù)橢圓定義，知AF1B的周長為4a16，故所求的第三邊的長度為16106.答案：A3若橢圓1過拋物線y28x的焦點(diǎn)， 且與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，則該橢圓的方程是()A.1 B.y21C.1 Dx21解析：拋物線y28x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)，則依題意知橢圓的右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0)，又橢圓與雙曲線x2y21有相同的焦點(diǎn)，a2，c，c2a2b2，b22，橢圓的方程為1.答案：A4(2011·金華十校)方程為1(a>b>0)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若32，則該橢圓的離心率為()A. B.C. D.解析：設(shè)點(diǎn)D(0，b)，則(c，b)，(a，b)，(c，b)，由32得3ca2c，即a5c，故e.答案：D5已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為()A3 B2C2 D4解析：根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為1(b>0)，則將xy4代入橢圓方程，得4(b21)y28b2yb412b20，橢圓與直線xy40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，(8b2)24×4(b21)(b412b2)0，即(b24)·(b23)0，b23，長軸長為22.答案：C6已知橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且·0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為()A. B.C. D.解析：由題意，得F1(，0)，F(xiàn)2(，0)設(shè)M(x，y)，則·(x，y)·(x，y)0，整理得x2y23又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上，故y21，即y21將代入，得x22，解得x±.故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.答案：B二、填空題(共3個(gè)小題，每小題5分，滿分15分)7若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)(4,0)和(0,2)，則該橢圓的離心率等于_解析：由題意可知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且a4，b2故c2，所以其離心率e.答案：8已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是_解析：由題意知，2c8，c4，e，a8，從而b2a2c248，方程是1.答案：19(2011·海淀二月模擬)已知F1為橢圓C：y21的左焦點(diǎn)，直線l：yx1與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，那么|F1A|F1B|的值為_解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由消去y整理得3x24x0，解得x10，x2，易得點(diǎn)A(0，1)、B(，)又點(diǎn)F1(1,0)，因此|F1A|F1B|.答案：三、解答題(共3個(gè)小題，滿分35分)10已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F(2,0)，且長軸長與短軸長的比是2.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)在橢圓C的長軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)當(dāng)|MP|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)設(shè)橢圓C的方程為1(a>b>0)由題意，得解得a216，b212.所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)P(x，y)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為1，故4x4.因?yàn)?xm，y)，所以|2(xm)2y2(xm)212·(1)x22mxm212(x4m)2123m2.因?yàn)楫?dāng)|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，即當(dāng)x4時(shí)，|2取得最小值而x4,4，故有4m4，解得m1.又點(diǎn)M在橢圓的長軸上，所以4m4.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,411(2010·濟(jì)南模擬)已知橢圓C：1(a>b>0)的長軸長為4.(1)若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸為半徑的圓與直線yx2相切，求橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，記直線PM，PN的斜率分別為kPM、kPN，當(dāng)kPM·kPN時(shí)，求橢圓的方程解：(1)由b，得b.又2a4，a2，a24，b22，c2a2b22，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(，0)，(，0)(2)由于過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交的兩點(diǎn)M，N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)：M(x0，y0)，N(x0，y0)，P(x，y)，由于M，N，P在橢圓上，則它們滿足橢圓方程，即有1，1.兩式相減得：.由題意可知直線PM、PN的斜率存在，則kPM，kPN，kPM·kPN·，則，由a2得b1，故所求橢圓的方程為y21.12(2010·皖南八校)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中點(diǎn)為O，ADAB，ADBC，AB4，BC3，AD1，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)E(0,1)，問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)連接AC，依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a>b>0)，在RtABC中，AB4，BC3，AC5.CACB532a，a4.又2c4，c2，從而b2，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)由題意知，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不滿足|ME|NE|，當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|ME|NE|顯然成立，此時(shí)k0.設(shè)直線l的方程為ykxm(k0)，由，消去y得(34k2)x28kmx4m2480，64k2m24(34k2)(4m248)>0，16k212>m2，令M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為F(x0，y0)，則x0，y0kx0m，|ME|NE|，EFMN，kEF×k1，即×k1，化簡得m(4k23)，結(jié)合得16k212>(4k23)2，即16k48k23<0，解之得<k<(k0)綜上所述，存在滿足條件的直線l，且其斜率k的取值范圍為(，)- 6 -用心 愛心 專心