第五節(jié) 合情推理與演繹推理一、選擇題(6×5分30分)1下列幾種推理過(guò)程是演繹推理的是()A兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，如果A和B是兩條平行直線的內(nèi)錯(cuò)角，則ABB金導(dǎo)電，銀導(dǎo)電，銅導(dǎo)電，鐵導(dǎo)電，所以一切金屬都導(dǎo)電C由圓的性質(zhì)推測(cè)球的性質(zhì)D科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇解析：兩條平行直線與第三條直線相交，內(nèi)錯(cuò)角相等，(大前提)A與B是兩條平行直線的內(nèi)錯(cuò)角，(小前提)AB.(結(jié)論)B是歸納推理，C、D是類比推理答案：A2下面使用類比推理正確的是()A“若a·3b·3，則ab”類推出“若a·0b·0，則ab”B“(ab)cacbc”類推出“”C“(ab)cacbc”類推出“(c0)”D“(ab)nanbn”類推出“(ab)nanbn”解析：由類比推理的特點(diǎn)可知C正確答案：C3由>，>，>，若a>b>0且m>0，則與之間大小關(guān)系為()A相等B前者大C后者大 D不確定解析：觀察題設(shè)規(guī)律，由歸納推理易得>.答案：B4如圖所示，面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長(zhǎng)記為ai(i1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點(diǎn)P到第i條邊的距離為hi(i1,2,3,4)，若k，則(ihi).類比以上性質(zhì)，體積為V的三棱錐的第i個(gè)面的面積記為Si(i1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)Q到第i個(gè)面的距離記為Hi(i1,2,3,4)，若K，則(iHi)()A. B.C. D.解析：平面中的面積與空間中的體積類比，平面二維與空間三維類比答案：B5(2011·舟山模擬)定義A*B，B*C，C*D，D*A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)圖中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么圖中(A)、(B)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)算結(jié)果可能是()AB*D、A*D BB*D、A*CCB*C、A*D DC*D、A*D解析：根據(jù)(1)、(2)、(3)、(4)可知A對(duì)應(yīng)|；B對(duì)應(yīng)；C對(duì)應(yīng)；D對(duì)應(yīng).答案：B6(2011·清遠(yuǎn)模擬)設(shè)f(x)，又記f1(x)f(x)，fk1(x)f(fk(x)，k1,2，則f2 009(x)等于()A BxC. D.解析：計(jì)算f2(x)f()，f3(x)f()，f4(x)x，f5(x)f1(x)，歸納得f4k1(x)，kN*，從而f2 009(x).答案：D二、填空題(3×5分15分)7(2011·南陽(yáng)模擬)觀察下列圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第6個(gè)圖中有_個(gè)小正方形解析：第15個(gè)圖形中分別有3,6,10,15,21個(gè)小正方形，它們分別為12,123,1234,12345,123456，因此an123(n1)故a6123728，即第6個(gè)圖中有28個(gè)小正方形答案：288(2011·福州模擬)根據(jù)三角恒等變換，可得如下等式：coscos；cos22cos21；cos34cos33cos；cos48cos48cos21；cos516cos520cos35cos.依此規(guī)律，猜測(cè)cos632cos6mcos4ncos21，其中mn_.解析：由所給的三角恒等變換等式可知，系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的和是1，32mn11，mn30.答案：309(2010·福建高考)觀察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos21；cos10mcos101 280cos81 120cos6ncos4pcos21.可以推測(cè)，mnp_.解析：各式第一項(xiàng)系數(shù)依次為2,23,25,27，m，依規(guī)律可得m29512；各式中cos2的系數(shù)依次為2×12，2×22,2×32，2×42，p，由規(guī)律推出p2×5250；由各式系數(shù)和為1可推出n400，則mnp962.答案：962三、解答題(共37分)10(12分)(2011·青島調(diào)研)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值試對(duì)雙曲線1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明解析：類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線1上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)的定值證明如下：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)，則N(m，n)因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2m2b2.同理y2x2b2.則kPM·kPN··(定值)11(12分)先閱讀下列不等式的證法，再解決后面的問(wèn)題：已知a1，a2R，a1a21，求證a12a22.證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2，f(x)2x22(a1a2)xa12a222x22xa12a22.因?yàn)閷?duì)一切xR，恒有f(x)0，所以48(a12a22)0，從而得a12a22.(1)若a1，a2，anR，a1a2an1，請(qǐng)寫出上述問(wèn)題的推廣式；(2)參與上述證法，對(duì)你推廣的問(wèn)題加以證明(1)解析：若a1，a2，anR，a1a2an1.求證：a12a22an2.(2)證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2(xan)2nx22(a1a2an)xa12a22an2nx22xa12a22an2.因?yàn)閷?duì)一切xR，都有f(x)0，所以44n(a12a22an2)0，從而證得：a12a22an2.12(13分)(2011·廣東六校)某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同)，設(shè)第n個(gè)圖形包括f(n)個(gè)小正方形(1)寫出f(5)的值；(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n1)與f(n)之間的關(guān)系式，并根據(jù)你得到的關(guān)系式求出f(n)的表達(dá)式；(3)求的值解析：(1)f(5)41.(2)因?yàn)閒(2)f(1)44×1，f(3)f(2)84×2，f(4)f(3)124×3，f(5)f(4)164×4，由上式規(guī)律，所以得出f(n1)f(n)4n.因?yàn)閒(n1)f(n)4nf(n1)f(n)4nf(n)f(n1)4(n1)f(n2)4(n1)4(n2)f(n3)4(n1)4(n2)4(n3)f(1)4(n1)4(n2)4(n3)42n22n1.(3)當(dāng)n2時(shí)，()，1·(1)1(1).- 6 -用心 愛心 專心