師友教育2六年級奧數第二十三講 和倍問題【知識概述】：已知兩個數的和與它們之間的倍數關系，求這兩個數各是多少的應用題，叫做和倍應用題。要想順利解決和倍應用題，最好的方法就是根據題意，畫出線段圖，使數量關系一目了然，從而正確的列式計算。解答和倍應用題的關鍵是找出兩數的和以及與其對應的倍數和。解答和倍應用題的基本數量關系是：和÷（倍數1）小數； 小數×倍數大數（幾倍數）或者：兩數和小數大數如果遇到三個或三個以上的數的倍數關系，也可用這個公式。（首先找最小的一個數，再找出另幾個數是最小數的倍數即可）【經典例題】：例1.幼兒園的老師和小朋友共有81人在做游戲，小朋友們總是跟著自己的老師轉，每位老師身邊都有8個小朋友，問：小朋友有多少個？老師有多少人？練習1：1、學校有科技書和故事書共480本科技書的本數是故事書的3倍，兩種書各多少本？2、一個養(yǎng)雞場有675只雞，其中母雞是公雞的4倍，這個養(yǎng)雞場有公雞、母雞各多少只？3、學校將360本圖書分給二、三年級，已知三年級所得的本書比二年級的2倍還多60本，二、三年級各得圖書多少本？4、爸爸要把140張郵票分給弟弟和妹妹，已知弟弟分得的郵票張數比妹妹的4倍少10張，弟弟和妹妹各分得郵票多少張？例2、甲、乙、丙3數和是183,乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三數各是多少？ 解析：乙數加上4就是丙數的2倍，甲數減少7就是丙數的3倍。而總數也就應該加上4，再減去7。丙數1倍數，乙是2倍數。甲是3倍數，先求丙。丙數=（183+4-7）÷（1+2+3）=30，乙數=30×2-4=56，甲數=30×3+7=97。練習2、 1、三堆糖果共有105顆，其中第一堆糖果的數量是第二堆的3倍，而第三堆糖果的數量又比第二堆的2倍少3顆第三堆糖果有多少顆？2. 甲、乙、丙三個糧倉一共存有109噸糧食其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍問：甲糧倉比丙糧倉多存糧多少噸？5.果園里有桃樹、梨樹、蘋果樹共552棵桃樹比梨樹的2倍多12棵，蘋果樹比梨樹少20棵，求桃樹、梨樹和蘋果樹各有多少棵？（）6.某駐軍有三個坦克連，共有115輛坦克，一連坦克數量比二連的2倍多2，而二連的坦克數量比三連的3倍多1請問：一連比三連多幾輛坦克？（）【重難點例題】：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組給甲組6本，則甲組的圖書是乙組的5倍，甲組原來有圖書多少本？解析：甲組的圖書是乙組的3倍，若乙組拿出6本，甲組相應的也拿出6×3=18（本），則甲組仍是乙組的3倍。事實上甲組不但沒有拿出18本，反而接受了乙組的6本，18+6就正好對應著后來乙組的（5-3）倍。因此，后來乙組有圖書（18+6）÷（5-3）=12（本），乙組原來有12+6=18（本），甲組原來有18×3=54（本）。練習1.小明原來的畫片是小紅的3倍，后來二人各買了5張，這樣，小明的畫片就是小紅的2倍。二人原來各有多少張畫片？2.幼兒園買來的蘋果個數是梨的3倍，吃掉10個梨和6個蘋果后，剩下蘋果正好是梨的5倍。原來買來的蘋果和梨共有多少個？3.一個書架上層的書的本數是下層的4倍。從下層拿5本放入上層后，上層的本數正好是下層的5倍。原來下層有幾本書？【同步精煉】：師友教育9六年級奧數1、小明有圓珠筆芯30支，小青有圓珠筆芯15支，問小青把多少支筆芯給小明后，小明的圓珠筆芯支數是小青的8倍？2、甲桶有油25千克，乙桶有油17千克，乙桶倒入多少千克油給甲桶后，甲桶的油是乙桶的5倍？3、甲水池有水69噸，乙水池有水36噸，如果甲水池中的水以每分鐘2噸的速度流入乙池，那么多少分鐘后，乙水池的水是甲水池的2倍？4、甲書架有圖書18本，乙書架有圖書8本，班級圖書管理員又買來圖書16本，怎樣分配才能使甲書架圖書的本書是乙書架的2倍？5、某專業(yè)戶養(yǎng)雞、鴨、鵝共有960只，養(yǎng)雞的只數是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數是鵝的4倍。這個專業(yè)戶養(yǎng)雞、鴨、鵝各多少只？6、甲、乙、丙三個數之和是400，又知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求這三個數。7、三塊鋼板共重621千克，第一塊的重量是第二塊的3倍，第二塊的重量是第三塊的2倍。三塊鋼板各是多少千克？8、甲、乙、丙三個修路隊共修路1200米，甲隊修的米數是乙隊的2倍，乙隊修的米數是丙隊的3倍。三個隊各修了多少米？9、甲、乙兩數的和是112，甲數除以乙數的商是6，甲、乙 兩數各是多少？10、被除數和除數的和是120，商是7，被除數和除數各是多少？11、被除數、除數與商的和是79，已知商是4。被除數和除數各是多少？12、兩數相除商是5，沒有余數，已知被除數、除數與商的和是59。被除數和除數各是多少？9差倍問題【知識概述:】已知兩數之差及它們的倍數關系，求這兩個數是多少的應用題就叫做差倍問題。差倍問題中大、小二數的數量關系可以用：小數（1倍數）兩數差÷(倍數1)。式子中1即“1倍”數代表小數。大數（幾倍數）小數差，或 大數小數×倍數。解題關鍵就是抓住倍數差與對應兩數差。學會使用線段圖解題例1、王師傅一天生產的零件比他的徒弟一天生產的零件多128個，且是徒弟的3倍。師徒二人一天各生產多少個零件？解析：師徒二人一天生產的零件的“差”是128個。小數(即“1倍”數)是徒弟一天生產的零件數，“倍數”為3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生產零件： 128÷(31)64(個)，師傅一天生產零件： 12864192(個)或64×3192(個)?！拘≡嚺５丁?、 兩根電線的長相差30米，長的那根是短的那根的4倍。這兩根電線各長多少米？2、某小學購買組足球的個數是排球的3倍，足球比排球多18只，購買足球和排球各有多少只？【例2】 甲、乙二工程隊，甲隊有56人，乙隊有34人。兩隊調走同樣多人后，甲隊人數是乙隊人數的3倍。問：調動后兩隊各有多少人？分析與解答：“1倍”數是乙隊調動后剩下的人數。因甲、乙隊調走的人數相同(不影響他們二隊人數之差)，所以，甲、乙兩隊人數之差仍是563422(人)。由差倍公式得調動后乙隊有：(5634)÷(31)11(人)。調動后甲隊有： 11×333(人)或11(5634)33(人)?！拘≡嚺５丁?、養(yǎng)雞場有公雞和母雞，母雞的只數是公雞的3倍，把母雞運走850只，把公雞運走50只以后，公雞與母雞所剩下的只數相等，公雞和母雞原來各有多少只？2、參加少年宮科技小組的人數，今年比去年多41人，并且今年的人數比去年的3倍少35人，今年有多少人參加？【例3】甲、乙兩桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，這時，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。兩桶油原來各有多少千克？分析與解答：當甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”數是甲桶里剩下的油，差是261440(千克)。由差倍公式知，“1倍”數(2614)÷(31)20(千克)。故甲、乙桶原來各有油： 202646(千克)，或 20×31446(千克)【小試牛刀】1、小娟和洋洋扎紙花，小娟扎的朵數是洋洋的4倍。如果小娟送給洋洋36朵，那么兩人扎的朵數相等，小娟和洋洋原來各扎多少朵花？2、某車間原來有男職工數比女職工數多48人，如果調走2名女職工，男職工數就是女職工的3倍，求這個車間原有男、女職工各多少人？【同步精練】1、哥哥的圖書本數比弟弟多60本，哥哥的圖書本數是弟弟的3倍，哥哥和弟弟各圖書多少本？2、菜場運來的西紅柿是黃瓜的3倍，賣出西紅柿950千克，黃瓜120千克后，剩下的兩種蔬菜重量相等，菜場運來西紅柿和黃瓜各多少千克？3、兩袋鹽的重量相等，甲袋取出24千克，乙袋裝入28千克，這時乙袋的重量是甲袋的3倍 ，甲乙兩袋原來各有鹽多少千克？4、甲、乙兩數的和是112.甲數除以乙數的商是6，甲、乙兩數各是多少？5、甲、乙、丙三數之和是360，已知甲是乙的3倍，丙是乙的2倍。求甲、乙、丙各是多少。6、有甲、乙兩輛車，載客人數相同，在同一站點上，甲車有2人上車，乙車有9人上車，兩車都沒人下車，這時乙車載客人數是甲車的2倍，原來兩車各有多少人7、小華和小明兩人參加數學競賽，兩人共得168分，小華的得分比小明的2倍少42分。兩人各得多少分？8、三個數的和是1540，甲數是丙數的7倍，乙數比甲數多40。三個數各是多少？9、甲筐有梨400個，乙筐有梨240個，現(xiàn)在從兩筐取出數目相等的梨，剩下梨的個數，甲筐是乙筐的5倍，兩筐所剩的梨各有多少個?10、小明和小惠都是集郵愛好者，小明的郵票張數是小惠的4倍，如果小明送給小惠36張，那么兩人的張數相等，小明和小惠原來各有多少張郵票？11、甲廠人數比乙廠少540人，若從兩廠各調走600人，乙廠人數恰好是甲廠人數的4倍，求甲廠原來有多少人？課后鞏固練習：1、一塊長方形黑板的周長是96分米，長是寬的3倍。這塊長方形黑板的長和寬各是多少分米？2、商店有鉛筆、鋼筆、圓珠筆共560支，圓珠筆的支數是鋼筆的3倍，鉛筆的支數與圓珠筆的支數同樣多。鉛筆、鋼筆和圓珠筆各有多少支？3、甲、乙、丙三個修路隊共修路1200米，甲隊修的米數是乙隊的2倍，乙隊修的數數是丙隊的3倍。三個隊各修了多少米？4、學校購買了720本圖書分給高、中、低三個年級，高年級分得的比低年級的3倍多8本，中年級分得的比低年級的2倍多4本。高、中、低年級各分得圖書多少本？5、城東小學共有籃球、足球和排球共95個，其中足球比排球少5個，排球的個數是籃球個數的2倍?；@球、足球、排球各有多少個？6、在一個數的后面補上兩個“0”，得到的新數比原來的新增加了1980，這個數是多少？7、食堂里有94千克面粉，138千克大米，每天用掉面粉和大米各9千克，幾天后剩下的大米是面粉的3倍？8、甲乙兩人各有若干本書，若甲給乙45本，則兩人的書相等，若乙給甲45本，則甲的本數是乙的2倍，甲乙原來各有書多少本？9、小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多少本書？和差問題【知識概述】：已知幾個數的和與差，求這幾個數的應用題，叫和差問題。通常采用假設的方法，就是假設那個較小的數和較大的數相等或者假設那個較大的數和那個較小的數相等，這樣就會引起總數（和）的變化（增加或減少），求出新的和，平均分就可得其中的一個數。為了解答這種應用題，首先要弄清兩個數相差多少的不同敘述方式.有些題目明確給了兩個數的差，而有些應用題把兩個數的差“暗藏”起來，我們管暗藏的差叫“暗差”?；竟剑?（和-差）÷2=較小數 較小數+差=較大數 和-較小數=較大數（和+差）÷2=較大數 較大數-差=較小數 和-較大數=較小數 【經典例題】：1、兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，兩筐水果各多少千克？解析：讀題，找出條件和問題。根據條件和問題畫出線段圖 假設把第二筐多的10千克減掉，看成兩個第一筐的重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？列式：第一筐：（千克） 第二筐：（千克）假設把第一筐少的10千克補上，看成兩個第二筐的重量來計算，總重量要變成多少？怎么計算？列式：第二筐：（千克） 第一筐：（千克）【小試牛刀】：1、甲、乙兩人同時以相同的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字問甲、乙兩人每分鐘各打多少個？ 2、果園共260棵桃樹和梨樹，其中桃樹的棵數比梨樹多20棵桃樹和梨樹各有多少棵？3、有一根鋼管長12米，要鋸成兩段，使第一段比第二段短2米每段各長多少米？4、沿長寬相差30米的游泳池跑了5圈，做下水前得準備活動，已知跑了700米距離，問游泳池的長和寬各是多少？5、兩數的和是40，甲數比乙數大8，求甲、乙兩數各是多少？6、買一套衣服，共需360元，褲子比上衣便宜136元，那么買一件上衣和一條褲子各需多少元錢？7、甲、乙兩箱共有水果60千克，如果從甲箱中取出5千克放到乙箱中，則兩箱水果一樣重，求兩箱水果原來各有多少千克？8、被減數，減數，差之和是900，減數比差少50，求減數是多少？9、甲、乙、丙三個零件平均重31千克，甲零件比乙、丙兩個零件重量和少1千克，乙零件是丙零件重量的2倍還多2千克。三個零件各重多少千克？10、一套書有上、中、下三冊，上冊比中冊貴3元，中冊比下冊貴6元，四套這樣的書共300元，求上、中、下每冊各多少元？11、兩箱水果共重150千克，第一筐比第二筐多8千克，兩筐水果各多少千克？和倍、差倍、和差問題綜合練習1、學校有科技書和故事書共480本，科技書的本數是故事書的3倍。兩種書各有多少本？2、用錫和鋁制成的合金是720千克，其中鋁的重量是錫的5倍。鋁和錫各用了多少千克？3、果園里有梨樹、桃樹和蘋果樹共1200棵，其中梨樹的棵數是蘋果樹的3倍，桃樹的棵數是蘋果樹的4倍。求梨樹、桃樹和蘋果樹各有多少棵？4、李大伯養(yǎng)雞、鴨、鵝共960只，養(yǎng)雞的只數是鵝的3倍，養(yǎng)鴨的只數是鵝的4倍。雞、鴨、鵝各養(yǎng)了多少只？5、有三個書櫥共放了330本書，第二個書櫥里的書是第一個的2倍，第三個書櫥里的書是第二個的4倍。每個書櫥里各放了多少本書？6、甲、乙、丙三個數之和是400，已知甲是乙的3倍，丙是甲的4倍。求甲、乙、丙各是多少。7、少先隊員種柳樹和楊樹共216棵，楊樹的棵數比柳樹的3倍多20棵，兩種樹各種了多少棵？8、被除數比除數大252，商是7，被除數、除數各是多少？9、三個筑路隊共筑路1360米，甲隊筑的米數是乙隊的2倍，乙隊比丙隊多240米。三個隊各筑多少米？10、三個植樹隊共植樹1900棵，甲隊植樹的棵數是乙隊的2倍，乙隊比丙隊少植300棵。三個隊各植樹多少棵？11、有兩袋大米，大袋比小袋多56千克，如果將小袋的大米吃掉4千克，這時大袋的大米重量是小袋的4倍，求兩袋大米原來各重多少千克？12、有40個連續(xù)的自然數，最大的那個數是最小的那個數的4倍，那么這列自然數中最大數與最小數的和是多少？13、學校體育室近期用148元購買了2只足球和4只排球。每只足球比每只排球貴5元，足球和排球的單價各是多少元？14、把100米長的繩子剪成三段，其中第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。三段繩子各長多少米？15、兄弟兩共有郵票70張，如果哥哥給弟弟4張郵票后，還比弟弟多2張，兄弟兩原來各有郵票多少張？16、一個兩位數，十位數字與個位數字的和為9，十位數字比個位數字多5，求這個兩位數？17、小明有錢56元，小華有錢34元，兩人花去同樣多的錢后小明剩下的錢數正好是小華剩下錢數的3倍。問兩人各花了多少錢？18.商店運來一批水果，其中桔子的筐數是蘋果的4倍，蘋果比桔子少30筐。這批水果中蘋果和桔子各有多少筐？