方法技巧2圓錐曲線的綜合應(yīng)用一、圓錐曲線的最值問題【考情快遞】 最值問題是高考的熱點，可能出選擇題、填空題和解答題方法1：定義轉(zhuǎn)化法解題步驟根據(jù)圓錐曲線的定義列方程；將最值問題轉(zhuǎn)化為距離問題求解適用情況此法為求解最值問題的常用方法，多數(shù)題可以用.【例1】已知點F是雙曲線1的左焦點，定點A的坐標(biāo)為(1,4)，P是雙曲線右支上的動點，則|PF|PA|的最小值為_解析如圖所示，根據(jù)雙曲線定義|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，將|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等號當(dāng)且僅當(dāng)A，P，F(xiàn)三點共線，即P為圖中的點P0時成立，故|PF|PA|的最小值為9.故填9.答案9方法2：切線法解題步驟求與直線平行的圓錐曲線的切線；求出兩平行線的距離即為所求的最值適用情況當(dāng)所求的最值是圓錐曲線上的點到某條直線的距離的最值時用此法.【例2】求橢圓y21上的點到直線yx2的距離的最大值和最小值，并求取得最值時橢圓上點的坐標(biāo)解設(shè)橢圓的切線方程為yxb，代入橢圓方程，得3x24bx2b220.由(4b)24×3×(2b22)0，得b±.當(dāng)b時，直線yx與yx2的距離d1，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時y，即橢圓上的點到直線yx2的距離最小，最小值是；當(dāng)b時，直線yx到直線yx2的距離d2，將b代入方程3x24bx2b220，解得x，此時y，即橢圓上的點到直線yx2的距離最大，最大值是.方法3：參數(shù)法解題步驟 選取合適的參數(shù)表示曲線上點的坐標(biāo)；求解關(guān)于這個參數(shù)的函數(shù)最值適用情況可以用參數(shù)表示某個曲線并求得最值的問題.【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P(x，y)是橢圓y21上的一個動點，則Sxy的最大值為_解析因為橢圓y21的參數(shù)方程為(為參數(shù))故可設(shè)動點P的坐標(biāo)為(cos ，sin )，其中02.因此Sxycos sin 22sin，所以，當(dāng)時，S取最大值2.故填2.答案2方法4：基本不等式法解題步驟將最值用變量表示利用基本不等式求得表達式的最值適用情況最值問題中的多數(shù)問題可用此法.【例4】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0)與橢圓相交于E，F(xiàn)兩點，求四邊形AEBF面積的最大值解依題設(shè)得橢圓的方程為y21.直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)設(shè)E(x1，kx1)，F(xiàn)(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1.根據(jù)點到直線的距離公式和式，得點E，F(xiàn)到AB的距離分別為h1，h2，又|AB|，所以四邊形AEBF的面積為S|AB|(h1h2)··22，當(dāng)2k1，即k時，取等號所以四邊形AEBF面積的最大值為2.二、圓錐曲線的范圍問題【考情快遞】 圓錐曲線中的范圍問題是高考中的常見考點，一般出選擇題、填空題方法1：曲線幾何性質(zhì)法解題步驟由幾何性質(zhì)建立關(guān)系式；化簡關(guān)系式求解適用情況利用定義求解圓錐曲線的問題.【例1】已知雙曲線1(a0，b0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是_解析根據(jù)雙曲線定義|PF1|PF2|2a，設(shè)|PF2|r，則|PF1|4r，故3r2a，即r，|PF2|.根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)，|PF2|ca，即ca，即，即e.又e1，故雙曲線的離心率e的取值范圍是.故填.答案方法2：判別式法解題步驟 聯(lián)立曲線方程，消元后求判別式；根據(jù)判別式大于零、小于零或等于零結(jié)合曲線性質(zhì)求解適用情況當(dāng)直線和圓錐曲線相交、相切和相離時，分別對應(yīng)著直線和圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程的判別式大于零、等于零、小于零此類問題可用判別式法求解.【例2】(2011·瀏陽一中月考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數(shù)m，使得向量與共線？如果存在，求m值；如果不存在，請說明理由解(1)由已知條件，知直線l的方程為ykx，代入橢圓方程，得(kx)21，整理得x22kx10.由直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q，得8k244k220，解得k或k，即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)由方程，知x1x2.又y1y2k(x1x2)2.由A(，0)，B(0,1)，得(，1)所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入，解得k.由(1)知k或k，故不存在符合題意的常數(shù)k.三、圓錐曲線的定值、定點問題【考情快遞】 此類問題也是高考的熱點，圓錐曲線中的定值問題是指某些幾何量不受運動變化的點的影響而有固定取值的一類問題，定點問題一般是指運動變化中的直線或曲線恒過平面內(nèi)的某個或某幾個定點而不受直線和曲線的變化影響的一類問題方法1：特殊到一般法解題步驟 根據(jù)特殊情況確定出定值或定點；對確定出來的定值或定點進行證明適用情況根據(jù)特殊情況能找到定值(或定點)的問題.【例1】已知雙曲線C：x21，過圓O：x2y22上任意一點作圓的切線l，若l交雙曲線于A，B兩點，證明：AOB的大小為定值證明當(dāng)切線的斜率不存在時，切線方程為x±.當(dāng)x時，代入雙曲線方程，得y±，即A(，)，B(，)，此時AOB90°，同理，當(dāng)x時，AOB90°.當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為ykxb，則，即b22(1k2)由直線方程和雙曲線方程消掉y，得(2k2)x22kbx(b22)0，由直線l與雙曲線交于A，B兩點故2k20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x2，x1x2，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，故x1x2y1y2，由于b22(1k2)，故x1x2y1y20，即·0，AOB90°.綜上可知，若l交雙曲線于A，B兩點，則AOB的大小為定值90°.方法2：引進參數(shù)法解題步驟 引進參數(shù)表示變化量；研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定值或定點適用情況定值、定點是變化中的不變量，引入?yún)?shù)找出與變量與參數(shù)沒有關(guān)系的點(或值)即是定點(或定值).【例2】如圖所示，曲線C1：1，曲線C2：y24x，過曲線C1的右焦點F2作一條與x軸不垂直的直線，分別與曲線C1，C2依次交于B，C，D，E四點若G為CD的中點、H為BE的中點，證明為定值證明由題意，知F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，直線yk(x1)，代入1，得829y2720，即(89k2)y216ky64k20，則y1y2，y1y2.同理，將yk(x1)代入y24x，得ky24y4k0，則y3y4，y3y44，所以·3為定值方法運用訓(xùn)練21設(shè)P是曲線y24x上的一個動點，則點P到點A(1,1)的距離與點P到x1直線的距離之和的最小值為() A. B. C. D.解析如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線是x1，由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到焦點F的距離；于是，問題轉(zhuǎn)化為：在曲線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最?。伙@然，連AF交曲線于P點故最小值為，即為.答案C2橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個交點，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓離心率e的范圍為() A.e B0eC.e D.e解析此題的本質(zhì)是橢圓的兩個頂點(a,0)與(0，b)一個在圓外、一個在圓內(nèi)即：e.答案A3(2011·長郡中學(xué)1次月考)設(shè)F是橢圓1的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i1,2,3，)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，組成公差為d的等差數(shù)列，則d的取值范圍為_解析若公差d0，則|FP1|最小，|FP1|1；數(shù)列中的最大項為1，并設(shè)為第n項，則11(n1)dn121d，注意到d0，得0d；若d0，易得d0.那么，d的取值范圍為.答案4過拋物線y22px(p0)上一定點P(x0，y0)(y00)作兩直線分別交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，則的值為_解析設(shè)直線PA的斜率為kPA，PB的斜率為kPB，由y2px1，y2px0，得kPA，同理kPB，由于PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，因此，即y1y22y0(y00)，那么2.答案25橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦點為F，過F點的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當(dāng)PFO的面積最大時，求直線l的方程解求直線方程，由于F(c,0)為已知，僅需求斜率k，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，則y0，由于SPFO|OF|·|y0|y0|只需保證|y0|最大即可，由(b2a2k2)y22b2ckyb4k20，|y0|得：SPFO，此時a2|k|k±，故直線方程為：y±(xc)6(長沙雅禮中學(xué)最新月考)已知O過定點A(0，p)(p0)，圓心O在拋物線C：x22py(p0)上運動，MN為圓O在軸上所截得的弦(1)當(dāng)O點運動時，|MN|是否有變化？并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，試判斷拋物線C的準(zhǔn)線與圓O的位置關(guān)系，并說明理由解(1)設(shè)O(x0，y0)，則x2py0(y00)，則O的半徑|OA|，O的方程為(xx0)2(yy0)2x(y0p)2，令y0，并把x2py0，代入得x22x0xxp20，解得x1x0p，x2x0p，所以|MN|x1x2|2p，這說明|MN|是不變化，其為定值2p.(2)不妨設(shè)M(x0p,0)，N(x0p,0)由題2|OA|OM|ON|，得2p|x0p|x0p|，所以px0p.O到拋物線準(zhǔn)線y的距離dy0，O的半徑|OA|.因為rdx4p42xp2，又xp2p2(p0)，所以rd，即O與拋物線的準(zhǔn)線總相交