六年級奧數(shù) 濃度問題講義 一、專題引導(dǎo)：什么是濃度呢？（以糖水為例，將糖溶于水中得到糖水，這里糖叫溶質(zhì)，水叫溶劑，糖水叫溶液。）三者之間關(guān)系：濃度 100 100二、典型例題例1、有濃度為30的酒精溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24的酒精溶液，如果再加入同樣的水，那么酒精溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?思路導(dǎo)航：稀釋問題是溶質(zhì)的重量是不變量。例2、有濃度為7的鹽水600克，要使鹽水的濃度加大到10，需要加鹽多少克？ 思路導(dǎo)航：溶劑重理不變。練習(xí)海水中鹽的含量為5，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中鹽的含量為2？例3、在濃度為50的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克濃度為5的硫酸溶液，就可以配制成濃度為25的硫酸溶液？ 思路導(dǎo)航：混合前兩種溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量分別等于混合后溶液中所含溶質(zhì)的重量、溶劑的重量、溶液的重量。練習(xí)配制硫酸含量為20的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量為18和23的硫酸溶液各多少克？例4、從裝滿100克濃度為80的鹽水杯中倒出40克鹽水，再用清水將杯加滿；再倒出40克鹽水，然后再用清水將杯加滿，如此反復(fù)三次后，杯中鹽水的濃度是多少？思路導(dǎo)航：反復(fù)三次后，杯中又已裝滿，即最后杯中鹽水的重量仍為100克，由此；問題的關(guān)鍵是求出如此反復(fù)三次后還剩鹽多少克？練習(xí)有鹽水若干升，加入一定量水后，鹽水濃度降到3，又加入同樣多的水后,鹽水濃度又降到2,再加入同樣多的水,此時濃度是多少呢?又問未加入水時鹽水濃度是多少?有含糖6的糖水900克,要使其含糖量加大到10,需加糖多少克?比 和 比 例 應(yīng) 用 題例4、乘坐某路汽車成年人票價3元，兒童票價2元，殘疾人票價1元，某天乘車的成年人、兒童和殘疾人的人數(shù)比是50:20:1，共收得票款26740元，這天乘車中成年人、兒童和殘疾人各有多少人？思路導(dǎo)航:單價比:成年人:兒童:殘疾人=3:2:1 人數(shù)比:50:20:1練習(xí)甲乙兩人走同一段路，甲要20分鐘，乙要15分鐘，現(xiàn)在甲、乙兩人分別同時從相距840米的兩地相向而行，相遇時，甲、乙各走了多少米？例5、“希望小學(xué)”搞了一次募捐活動，她們用募捐所得的錢購買了甲、乙、丙三種商品，這三種商品的單價分別為30元、15元和10元。已知購得的甲商品與乙商品的數(shù)量之比為5:6，乙商品與丙商品的數(shù)量之比為4:11，且購買丙商品比購買甲商品多花了210元。 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件可先求三種商品的數(shù)量比。練習(xí)一種什錦糖是由酥糖、奶糖和水果糖按5:4:3的比例混合而成，酥糖、奶糖和水果糖的單價比是11:8:7,要合成這樣的什錦糖120千克，什錦糖每千克32.4元，混合前的酥糖每千克是多少元？例6、A、B、C是三個順次咬合的齒輪。當(dāng)A轉(zhuǎn)4圈時，B恰好轉(zhuǎn)3圈；當(dāng)B轉(zhuǎn)4圈時，C恰好轉(zhuǎn)5圈，問這三個齒輪的齒數(shù)的最小數(shù)分別是多少？ 思路導(dǎo)航:根據(jù)已知條件可知A、B、C轉(zhuǎn)速與齒數(shù)的積都相等，即它們的轉(zhuǎn)速與齒數(shù)成反比例。練習(xí) P39-6鞏 固:1、甲、乙、丙三個平行四邊形的底之比是4:5:6，高之比是3:2:1，已知三個平行四邊形的面積和是140平方分米，那么甲、乙、丙三個平行四邊形的面積各是多少？2、甲、乙、丙三個三角形的面積之比是8:9:10，高之比是2:3:4，對應(yīng)的底之比是多少？3、某校四、五年級參加數(shù)學(xué)競賽的人數(shù)相等，四年級獲獎人數(shù)與未獲獎人數(shù)的比是1:4，五年級獲獎人數(shù)與未獲獎人數(shù)的比是2:7；兩個年級中獲獎與未獲獎人數(shù)的比是多少？4、盒子里共有紅、白、黑三種顏色的彩球共68個，紅球與白球個數(shù)的比是1:2，白球與黑球個數(shù)的比是3:4，紅球有多少個？六年級秋季班第一講 找規(guī)律、計數(shù) 家教班、基礎(chǔ)班作業(yè)1 將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。3 有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個？5 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。6 一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問得分最少的人，最多得多少分？ 解析7 1、將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。解答：根據(jù)公式1 （注意：切分平面的是直線而不是圓），時，最多可將平面分成塊；時，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。2、 解答：將分子和分母之和相等的分?jǐn)?shù)看作一組。每組分?jǐn)?shù)的個數(shù)恰好是自然數(shù)的排列：1，2，3分?jǐn)?shù)位于分子和分母之和為57的那一組的第40個，這一組為： 共56個分?jǐn)?shù)，這一組之前共有：1+2+3+55=（155）552=1540 154040=1580（個）3、有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？解答：從09中選定4個數(shù)字即可確定唯一一個符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個數(shù)字選4個，即。4、分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個？解答：分子是1時，分母可取259，共58個分?jǐn)?shù)；分子是2時，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個；分子是3時，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個；分子是4時，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個；由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計58+29+38+28+44=197個。5、現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速解答：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。6、一次考試五人的總分是423分，每人的分?jǐn)?shù)都是整數(shù)，并且各不相同。問得分最少的人，最多得多少分？解答：得分最少的人比其余四人，至少分別要少1，2，3，4分所以最少得分要423（1234）5=82.6分 得分最少的人，最多得82分 提高班作業(yè)1、將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。2、 一個長方形把平面分成兩部分，那么3個長方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4、 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個？5、 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析1. 解析：根據(jù)公式1（注意：切分平面的是直線而不是圓），時，最多可將平面分成塊；時，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。2. 解析：根據(jù)公式4，當(dāng)時，最多可將平面分成塊。3. 解析：從09中選定4個數(shù)字即可確定唯一一個符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個數(shù)字選4個，即。4. 解析：分子是1時，分母可取259，共58個分?jǐn)?shù)；分子是2時，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個；分子是3時，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個；分子是4時，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個；由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計58+29+38+28+44=197個。5. 解析：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。6. 解析：列表解題，第四個數(shù)=第一個數(shù)第二個數(shù)。臺階12345678910111213141516走法011122345791216212837 精英班作業(yè)1、 將一個圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個小紙片，至少要畫多少條直線？請說明理由。2、 一個長方形把平面分成兩部分，那么3個長方形最多把平面分成多少部分？3、 有多少個四位數(shù)，滿足個位上的數(shù)字比千位數(shù)字大、千位數(shù)字比百位數(shù)字大、百位數(shù)字比十位數(shù)字大？4、 分子小于6，分母小于60的不可約真分?jǐn)?shù)有多少個？5、 現(xiàn)在流行的變速自行車，在主動軸和后軸分別安裝了幾個齒數(shù)不同的齒輪。用鏈條連接不同搭配的齒輪，通過不同的傳動比獲得若干不同的車速?！跋Ｍ啤弊兯僮孕熊囍鲃虞S上有3個齒輪，齒數(shù)分別是48，36，24；后軸上有4個齒輪，齒數(shù)分別是36，24，16，12。問：這種變速車一共有多少檔不同的車速。6、 小明家住二層，他每次回家上樓梯時都是一步邁兩級或三級臺階。已知相鄰樓層之間有16級臺階，那么小明從一層到二層共有多少種不同的走法？ 解析1、 解析：根據(jù)公式1（注意：切分平面的是直線而不是圓），時，最多可將平面分成塊；時，最多可將平面分成塊，所以至少要畫10條直線。2、 解析：根據(jù)公式4，當(dāng)時，最多可將平面分成塊。3、 解析：從09中選定4個數(shù)字即可確定唯一一個符合條件的四位數(shù)，例如0、7、3、1只能對應(yīng)3107，所以用組合數(shù)，10個數(shù)字選4個，即。4、 解析：分子是1時，分母可取259，共58個分?jǐn)?shù)；分子是2時，分母可取60以內(nèi)除1以外的所有奇數(shù)，共30-1=29個；分子是3時，分母可取60以內(nèi)除了3的倍數(shù)以及1、2以外的所有數(shù)，共60-603-2=38個； 分子是4時，分母可取60以內(nèi)除1、3以外的所有奇數(shù)，共28個；分子是5是，分母可取60以內(nèi)除了5的倍數(shù)以及1、2、3、4以外的所有數(shù)，共60-605-4=44個；由上可知，符合條件的真分?jǐn)?shù)共計58+29+38+28+44=197個。5、 解析：根據(jù)乘法原理，共有34=12種檔位，但是48:24=24:12，48:16=36:12，4=24:16，36:36=24:24，所以實(shí)際只有12-4=8種不同的車速。6、 解析：列表解題，第四個數(shù)=第一個數(shù)第二個數(shù)。臺階12345678910111213141516走法011122345791216212837從算術(shù)到代數(shù)（一）算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門不同的分科，但它們之間關(guān)系密切.代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的.在小學(xué)算術(shù)課本里同學(xué)們由淺入深地學(xué)習(xí)了整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算，并學(xué)會了用這些四則運(yùn)算去解一些不太復(fù)雜的四則應(yīng)用題.歸納一下，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時主要用到了以下三種關(guān)系：部分?jǐn)?shù)與總數(shù)的關(guān)系；兩數(shù)差的關(guān)系；一倍數(shù)（或一份數(shù)）、倍數(shù)和幾倍數(shù)的關(guān)系.第1、第2種關(guān)系用“加”、“減”法完成，第3種關(guān)系則用乘、除法完成.在解四則運(yùn)算題時用到了對于數(shù)的“加法”、“乘法”都普遍成立的運(yùn)算法則：交換律、結(jié)合律、分配律.設(shè)a、b、c表示任意三個數(shù)，下列等式恒成立：交換律：ab=b+a，ab=ba結(jié)合律：（a+b）+c=a+（bc） （ab）c=a（bc）分配律：a（b+c）ab+ac.另外，在用算術(shù)方法解應(yīng)用題時常按應(yīng)用題的性質(zhì)分為許多類型.如：和倍問題、差倍問題、行程問題、百分?jǐn)?shù)問題、比例問題、.對每類問題先歸納出解決這類問題的方法、公式，并找出理由加以解釋，再做這類題時就“套”這種公式.所以用算術(shù)方法解應(yīng)用題時，對不同類型的題用不同的思路列式求解，解法就不同，因而用算術(shù)方法解應(yīng)用題是不帶普遍性的.代數(shù)方法的進(jìn)步首先在于找出了一個統(tǒng)一的方法，即用列“方程”來解很多不同類型的應(yīng)用題.“方程”是代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一.用方程來解應(yīng)用題時，首先是用一些簡單的符號，通常用x，y，z，t，s，u，v等字母來表示問題中待求的未知數(shù)，然后把這些未知數(shù)和已知數(shù)平等地看待，并把題目中的數(shù)量關(guān)系直接（平鋪直敘）“翻譯”為算式表示出來.這就是所謂依題意列方程.接著是通過代數(shù)方程去確定其中所含未知數(shù)應(yīng)該等于什么樣的值，即“解方程”.而解方程的原理就是對方程中的數(shù)，包括已知數(shù)和未知數(shù)，運(yùn)用在“算術(shù)”中學(xué)過的“數(shù)的運(yùn)算法則”把未知數(shù)求出來.因?yàn)檫@些法則是對任何數(shù)都成立的，當(dāng)然對那些暫時還不知它的值的“未知數(shù)”也應(yīng)當(dāng)成立.只要適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這些法則，一般就可求出方程中的未知數(shù)的值.歸納起來用代數(shù)方法解應(yīng)用題的步驟如下：1.設(shè)未知數(shù).常用x，y，z，t，s，等字母表示.2.依題意列方程.即把所要解決的代數(shù)問題中的未知量換成代表未知數(shù)的字母，把問題中各種量間的關(guān)系“翻譯”為帶字母的算式表示出來，特別注意找出其中的相等關(guān)系.用兩個代數(shù)式表示同一個數(shù)量，列出一個方程.因此方程是含有未知數(shù)的等式.一般說來，有n個相等關(guān)系就能列出n個方程，當(dāng)然我們從中選取列方程與解方程時最方便的形式.3.解方程.目的是把原方程變成同解的形如axb的方程，進(jìn)而解出用分配律去括號.而不一定能像算術(shù)中那樣先把括號中數(shù)算出來.因?yàn)槠渲杏械氖俏粗獢?shù)算不出來.如下例中的（1）變成（2）.例1 64+x=3（32-x） （1）64+x=96-3 （2）x+3x=96-64 （3）4x32 （4） x=8. （5）移項.把含未知數(shù)的項與常數(shù)項（即不含未知數(shù)的項）分離開來，分別移到等號兩端，注意移項變號法則.如上例中的（2）變成（3）.合并同類項，如上例中的（3）變成（4）.用未知數(shù)的系數(shù)去除方程兩端求出x的值.如上例中的（4）變成（5）.4.驗(yàn)算.一是實(shí)際計算求出的根是否滿足方程，不滿足的都舍去，二是根據(jù)題目的實(shí)際意義，刪除不合理的解.先以幾個簡單的四則應(yīng)用題為例來對“算術(shù)解法”與“代數(shù)解法”作一比較.例2 車站給某工廠運(yùn)2000箱玻璃.合同規(guī)定完好地運(yùn)到一箱給5元運(yùn)費(fèi).如損壞一箱，不給運(yùn)費(fèi)，倒賠40元.這批玻璃運(yùn)到后，車站共收到運(yùn)貨款9190元.問損壞了幾箱玻璃.解：算術(shù)解法：假如設(shè)有損壞，2000箱玻璃全運(yùn)到，則應(yīng)得運(yùn)貨款：2000 5= 10000（元）.和實(shí)際所得運(yùn)貨款相差：10000-9190=810（元）.現(xiàn)在讓我們用一箱好的換一箱損壞的玻璃，總箱數(shù)2000不變，但每換一箱所得運(yùn)貨款減少：405=45（元）那么換多少箱，貨款正好減少多出來的810元呢？做除法：8104518（箱）.答：共換壞了18箱.代數(shù)解法：設(shè)損壞了x箱，則沒損壞的共2000-x箱.依題意列方程5（2000-x）-40x=919045x=10000-919045x=810x=18.答：損壞了18箱.比較這兩種解法，可見代數(shù)方法簡潔并具有高度普遍性.我們在后面的許多例題中都能充分地看出代數(shù)方法的優(yōu)越性.但這決不等于說可以取消算術(shù).這正如火車雖快決不能代替步行.在攀登高峰的崎嶇的小道上還常?？繄詫?shí)的足步.下面舉幾個例子來看看算術(shù)方法的不可缺少.因?yàn)橛械膯栴}不易找到等量關(guān)系列方程.例3 一年級72名學(xué)生共交了52.7元課本費(fèi)，其中的百位數(shù)和百分位上的數(shù)被水弄模糊了.你能算出每人交多少元？解：728 9，又（8，9）=1原數(shù)為25272分，每人應(yīng)交：2527272=351（分）.答：每人交3.51元.例4 求被6除余4，被10除余8，被9除余4的最小自然數(shù).解：該數(shù)被6除余4 （1）又 該數(shù)被10除余8 （2） 該數(shù)是偶數(shù).再從被9除余4的偶數(shù)中從小到大挑選符合條件（1）、（2）的數(shù)：4，492=22，2292=40，40+92=58，又 586=94 5810=58 58964答：58為所求最小自然數(shù).例5 三個學(xué)生甲、乙、丙各有若干張畫片互相贈送.第一次由甲送給乙、丙畫片，所送的張數(shù)等于乙、丙各人已有的畫片數(shù)；第二次由乙送給甲、丙畫片，所送的張數(shù)等于甲、丙各人已有的畫片數(shù)；最后由丙送給甲、乙畫片，所送的張數(shù)也正好等于甲、乙各人已有的畫片數(shù).這時每人的畫片數(shù)都是32張.問原來甲、乙、丙三人各有多少張畫片？解：用倒推法.由最后每人都是32張畫片開始，在下面表格里由上行到下一行逐行填寫，可知在第三次丙送畫片前，乙送完畫片后三人手中的畫片（張）；同理，在第二次乙送畫片前，甲送完畫片后三人手中的畫片數(shù)應(yīng)分可推知原來：丙有16張，乙有28張，甲有82816=52（張）.答：原來甲有52張，乙有28張，丙有16張畫片.例6 有甲、乙、丙三輛汽車，各以一定的速度從A地開往B地.乙比丙晚出發(fā)10分鐘，出發(fā)后40分鐘追上丙；甲比乙又晚出20分鐘，出發(fā)后1小時40分鐘追上丙.那么甲出發(fā)后需用多少分鐘才能追上乙？解法1：設(shè)三車速度依次為V甲，V乙，V丙.丙比乙早出發(fā)10分鐘，乙追上丙耗40分鐘，是典型的追及問題：丙比甲早出發(fā)30分鐘，甲追上丙耗100分鐘，也是追及問題：的某個倍數(shù)代入：解法1既用了算術(shù)的追及問題公式，又用了列方程的代數(shù)方法.下面再介紹一種列表法，對解這類題更方便.解法2：我們把題中的條件按下列方式填入下面表格中：讓同一列格子中填行相同路程時甲、乙、丙三輛汽車各自所需的時間，如第一列中填入稍稍轉(zhuǎn)化了的已知條件：乙走40分鐘的路程丙需走4010=50（分鐘）；第二列中填入甲走100分鐘的路程丙需用1002010=130（分鐘）.以前兩列中條件的關(guān)系，再根據(jù)當(dāng)速度一定時路程與時間成正比的性質(zhì)，當(dāng)丙走650=50，130分鐘的路程時乙需用4013=520（分鐘），甲則需用1005=500分鐘.由于乙比甲早出發(fā)20分鐘，恰為520分鐘與500分鐘之差，因此甲出發(fā)后500分鐘時追上乙.答：甲出發(fā)后需500分鐘才能追上乙.說明：一般地，當(dāng)知道丙走c分鐘的路程與甲走a分鐘、乙走b分鐘的路程相等時，可列一方程求出所需的答案.設(shè)甲出發(fā)后ax分鐘追上乙，則在本題的條件下，c=650，a=500，b=520.例7 星期日小明去找同學(xué)玩了兩三個小時，離開家時他看了看鐘，回家時又看了看鐘，發(fā)現(xiàn)時針與分針恰好互換了一個位置.問小明共離開家多少時間？解：因?yàn)樾∶麟x家回來時時針走到分針位置，分針走到時針位置，說明兩針合起來恰好走了若干個整圈.設(shè)外出時間分為二個時段，第一段為2小時.小明出去整2小時，分針就應(yīng)轉(zhuǎn)過2圈，轉(zhuǎn)回原處，而時針兩小時走了習(xí)題九1.把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù)，它與原來的數(shù)加起來恰好是某個自然數(shù)的平方，求原來這個兩位數(shù)與新得到的兩位數(shù)的和.2.一輛汽車在公路上勻速行駛，司機(jī)看見里程碑上的數(shù)字是一個兩位數(shù)再過一小時，里程碑上是三位數(shù)，又恰好是第一個兩位數(shù)中間加了個零（用 3.在一個紅錢包與一個黑錢包里分別裝著6枚和8枚硬幣，并且兩個錢包中的總錢數(shù)相等.如果從紅錢包中任取兩枚硬幣與黑錢包中任取的兩枚硬幣交換時，紅錢包中的總錢數(shù)要么比原來多2分，要么比原來的錢數(shù)少2分.問兩個錢包中共裝了多少錢？（注：這里的硬幣只有1分、2分、5分三種）習(xí)題九解答由題設(shè)條件應(yīng)有是某自然數(shù)的平方，由表達(dá)式11（ab）可知這個完全平方數(shù)既有一個約數(shù)11，就一定還有一個約數(shù)11，因此11是a+b的約數(shù)，而a、b又都只能取自1、2、3、8、9.故a+b11.答：原數(shù)與新數(shù)的和為121.所以（10BA）-（10A+B）（100A+B）-（10BA）即18B=108A，B=6A.由于A、B都是一位非零數(shù)字，所以A1，B6.答：第一個里程碑上數(shù)字是16，第二個里程碑上數(shù)字是61，第三個里程碑上數(shù)字是106.3.解：我們先證明紅錢包里不可能同時裝有1分、2分、5分三種幣值的硬幣.因?yàn)榉駝t，從紅錢包里任取兩枚硬幣時，可能有2+1，25，1+5三種情形.前兩種是奇數(shù)，后一種是偶數(shù).而從黑錢包里任取的二個硬幣都能使紅錢包的錢的奇偶性不變，這是不可能的.類似可知，紅錢包里不能同時有2分幣和1分幣或2分幣和5分幣.因此紅錢包中的硬幣只有兩種可能：一是全為2分幣；二是裝有一分與五分幣沒有2分幣.同理，黑錢包中或全為2分幣，或其中沒有2分幣.并且，由于兩錢包中錢數(shù)相等而硬幣數(shù)不等，因此不可能紅、黑錢包中都只有2分幣.情形1：當(dāng)紅錢包中全為2分幣時，總錢數(shù)為26=12分.此時顯然黑錢包中不可能有兩個或兩個以上的五分幣，也不可能都是一分幣（否則紅、黑錢包中裝錢數(shù)不等）.因此黑錢包里有一個五分幣和七個一分幣.這種情形顯然也滿足題目中的后一條件.這種情況，兩個錢包中總錢數(shù)為：62+5+17=24（分），即2角4分錢.情形2：紅錢包僅裝有一分或五分幣.黑錢包中有8枚2分幣.則紅錢包中也應(yīng)有16（28）分.但一分幣和五分幣共6枚，總錢數(shù)不可能為16分，因此這種情形不可能發(fā)生.黑錢包中無2分幣，設(shè)紅錢包中有m枚五分幣，n枚一分幣；黑錢包中有p枚五分幣，q枚一分幣.則mn6，pq=8，5mn=5pq.顯然mp.因此5（n-p）=q-n，因?yàn)?q-n8，5q-n，所以q-n=5，m-p=1.這兩式相減，得到（p+q）-（mn）=4.這與（pq）-（mn）=8-62矛盾.所以這種情形也不會發(fā)生.綜上所述，兩個錢包中共有2角4分錢.第十講 從算術(shù)到代數(shù)（二）在上一講中我們著重講了在許多問題中算術(shù)方法是不可缺少的；在這一講中，我們將通過一些例子看到代數(shù)方法不可取代的巨大優(yōu)越性和強(qiáng)大威力，同時說明一元一次方程，多元一次方程組，不定方程的一般解法.例1 一個學(xué)生做25道數(shù)學(xué)題，對一題得4分，不答不給分，答錯一題倒扣1分.他有3道題未做，得了73分.問他共答對了幾道題？解：設(shè)對了x道題，則答錯25-3-x道題.依題意列方程：4x-（25-3-x）=734x-22+x=73 5x95x19.答：這個學(xué)生答對了19道題.例2 某水池裝有甲、乙兩個注水管，單放甲管需12小時注滿，單放乙管需24小時注滿.現(xiàn)在要求10小時注滿水池，并且甲、乙兩管合開的時間盡可能少，那么甲、乙兩管最少需要合放多少小時？解：分析一下，由于要求甲、乙兩管合放的時間盡可能少，所以必須讓注水快的甲管在10個小時中全開著.其余的由乙管補(bǔ)足.設(shè)甲、乙兩管最少需合放x小時，則：答：甲、乙兩管最少需要合放4小時.例3 甲、乙兩隊學(xué)生參加郊區(qū)夏令營，但只有一輛車接送，坐不下.甲隊學(xué)生坐車從學(xué)校出發(fā)的同時，乙隊學(xué)生開始步行.車到途中某處讓甲隊學(xué)生下車步行，車立即返回接乙班學(xué)生并直開到夏令營，兩班學(xué)生正好同時到達(dá).已知學(xué)生步行速度為4千米/小時，汽車載學(xué)生時速度為40千米/小時，空車時速度為50千米/小時，問甲班學(xué)生應(yīng)步行全程的幾分之幾？解：如圖：設(shè)全程為x千米，甲、乙兩隊分別步行a、b千米.要使兩隊學(xué)生同時到達(dá)夏令營，只有他們兩隊步行的路程相等才行，故a=b.等量關(guān)系是：乙隊走a千米路程的時間正好等于汽車送完甲隊又原路返回時遇到乙隊的時間，即：去分母，兩端同乘200，得5x-5a+4x-8a=50a9x63a例4 一個矩形長33厘米，寬32厘米，用正方形如下圖分割，已知最小正方形邊長為1厘米，第二個小正方形邊長為4厘米，請在圖中填出其余正方形的邊長.解：設(shè)如圖中第個小正方形邊長為x，則其余每個正方形的邊長都可以用x的代數(shù)式表達(dá)出來，如圖所示.再由大長方形的長為33厘米可得關(guān)系式：2x1+x+11=333x=21 x=7（厘米）.于是圖中所有正方形的邊長均可將x7代入，得如圖所填的值.還可以用大正方形的寬為32厘米來驗(yàn)證所求值的正確性：2x+1+x+1+x+2=15+8+9=32（厘米）.例5 小明每天定時從家到學(xué)校，若小明每分鐘走30米，則遲到3分鐘；若小明每分鐘走40米，則早到5分鐘.求小明家到學(xué)校的距離.解：設(shè)小明家到學(xué)校的距離為S米，則去分母，方程兩端同乘以120：4S-360=3S600 S=960.答：小明家離學(xué)校960米.有的問題必須用兩個或更多的未知數(shù)才能列出方程，而且方程的個數(shù)也往往不只一個，我們稱含有兩個未知數(shù)并且未知數(shù)所在項的次數(shù)都是1次的這種方程為二元一次方程.例如x+y=5.適合這個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值叫做二元一次方程的一個解.如：方程x+y=5的正整數(shù)解有：x=1，y=4；x=2，y=3；x3，y=2，x=4，y=1這四個解.如果一個問題的兩個未知數(shù)必須滿足兩個二元一次方程，這兩個方程聯(lián)立在一起就叫做二元一次方程組.同時適合這兩個二元一次方程的每一對未知數(shù)的值叫做這個二元一次方程組的一個解.多個未知數(shù)的方程組也可以類似地定義，解法也類似，在這里舉兩個最簡單的例子來介紹二元一次方程組的解法.常用的有代入消元法和加減消元法.總之都是先設(shè)法消去一個未知數(shù).代入消元法：例6 解二元一次方程組把（2）中的y用（1）中的3x代替，就可以消去一個未知數(shù)y，得：x3x=8 4x=8 x=2.再把x=2的值代入（1）或（2），得：y=6.這個方程組的解為加減消元法：例7 解方程組（2）-（1）得：6x=54x9.原方程組的解為再看幾個二元一次方程組的例子.例8 一條路從甲地到乙地是下坡，從乙地到丙地是平路，一人騎車以每小時12千米的速度下坡，而以每小時9千米的速度通過平路到達(dá)丙地，共用了55分鐘；回來時以每小時8千米的速度行至乙地，又以每小時4千米的速度行到甲地，共用了1.5小時.問從甲地到丙地共有多少千米？解：設(shè)從甲地到乙地為x千米，從乙地到丙地為y千米，依題意可得下列方程組：去分母，（1）兩端同乘以36得：3x+4y=33.（2）兩端同乘以8得：y+2x=12.原方程組與下面方程組同解.由（4）得y=12-2x，代入（3）消去y得：3x+4（12-2x）=33 3x+48-8x335x=15 x=3.將x=3代入（4）得：y12-23y6.原方程組的解為x+y=9.答：從甲地到丙地共9千米.例9 有甲、乙兩個桶，甲桶里裝了一些水，乙桶里裝了一種純農(nóng)藥，按下面方法來調(diào)配農(nóng)藥溶液：第一次甲桶倒進(jìn)乙桶里的水的數(shù)量與原來乙桶中農(nóng)藥數(shù)量相同，調(diào)勻；第二次把乙桶里的農(nóng)藥溶液倒進(jìn)甲桶里，倒回的數(shù)量與甲桶里剩的水的數(shù)量相同，調(diào)勻；第三次再把甲桶中的農(nóng)藥溶液倒回乙桶，數(shù)量與此時乙桶中的溶液數(shù)量相同，這時兩個桶中的農(nóng)藥溶液數(shù)量相同.請你算一算：開始時水與純農(nóng)藥的比.最后在甲桶里的水與純農(nóng)藥的比.最后在乙桶里的水與純農(nóng)藥的比.解：設(shè)甲桶里原有x千克水，乙桶里有y千克純農(nóng)藥.每次倒動后甲、乙兩桶中溶液的總量變化如下：第一次 甲桶剩x-y（千克）乙桶有：2y（千克）第二次 甲桶有 2（x-y）（千克）乙桶剩 2y-（x-y）=3y-x（千克）第三次 甲桶剩2（x-y）-（3y-x）=3x-5y（千克）乙桶有2（3y-x）（千克）.第三次倒完后兩桶中液體重量相同3x-5y2（3y-x）3x-5y=6y-2x 5x11yxy=115.在第一次操作后甲桶中的x-y千克都為水.由乙桶倒入的x-y千克溶液中有一半是水，另一半是純農(nóng)藥，故甲桶中最后水與純農(nóng)藥的比為31.純農(nóng)藥的比為：答：開始時水與純農(nóng)藥的比為115.最后甲桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為31.而乙桶溶液中水與純農(nóng)藥的比為53.關(guān)于空間想象力的綜合訓(xùn)練題1.將下圖中的硬紙片沿虛線折起來，便可以作成一個正方體.問這個正方體的2號面的對面是幾號面？2.有一個長方體，它的正面和上面的面積之和是209，如果它的長、寬、高都是質(zhì)數(shù)，求這個長方體的體積.3.有一個正方體，邊長是5.如果它的左上方截去一個邊長分別是5、3、2的長方體（如下圖），求它的表面積減少的百分比是多少？4.有三個大小一樣的正方體，將接觸的面用膠粘接在一起成左圖的形狀，表面積比原來減少了16平方厘米.求所成形體的體積.5.如下圖，從長為13厘米，寬為9厘米的長方形硬紙板的四角去掉邊長為2厘米的正方形，然后沿虛線折疊成長方體容器.這個容器的體積是多少立方厘米？6.一個正方體形的紙盒中恰好能放入一個體積為628立方厘米的圓柱體（下圖）.問紙盒的容積有多大？（圓周率取為3.14）.7.一個高為30厘米，底面為邊長是10厘米的正方形的長方體水桶，其塊，問需要投入多少塊這種石塊才能使水面恰與桶高相齊？8.有兩種不同形狀的紙板，一種是正方形的，另一種是長方形的，正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是12.用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒.正好將紙板用完.問在所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少？9.如下圖，在棱長為3的正方體中由上到下，由左到右，由前到后，有三個底面積是1的正方形高為3的長方體的洞，求所得形體的表面積是多少？10.將邊長為10的正方體木塊六個面都染上紅色后，鋸成邊長為1的小正方形木塊1000塊.問：這一千塊小正方體木塊中，沒有涂紅色的共有多少塊？只有一個面是紅色的共有多少塊？恰有兩個面為紅色的共有多少塊？恰有三個面為紅色的共有多少塊？11.用三個大小一樣的正方體積木和一把有刻度的直尺.請你設(shè)計一種方法，不通過任何計算，直接量出每個正方體的體對角線的長.12.如下圖，把16個邊長為2厘米的正方體重疊起來拼成一個立體圖形，求這個立體圖形的表面積.13.2100個邊長為1米的正方體堆成一個實(shí)心的長方體.它的高是10米，長、寬都是大于10（米）的整數(shù)，問長方體長寬之和是幾米？14.一個正方體形狀的木塊，棱長為1米，沿水平方向?qū)⑺彸?片，每片又鋸成4長條，每條又鋸成5小塊，共得大大小小的長方體60塊.求這60塊長方體表面積的和是多少平方米？15.如下圖，是一個邊長為2厘米的正方體.在正方體的上面的正中間向下挖一個邊長為1厘米的正方體小洞.接著在小洞的底面正中再向下挖一個后得到的立體圖形表面積是多少平方厘米？16.如下圖，一塊硬紙片可以做成一個多面體的紙模型（沿虛線折，沿實(shí)線粘）.這個多面體的面數(shù)，頂點(diǎn)數(shù)與棱數(shù)之和是多少？17.如下圖是一個四面體，有六條棱，四個表面三角形，已知六條棱長恰是六個連續(xù)的自然數(shù).如果某個表面三角形的周長是3的倍數(shù)，就將這個三角形染紅色；反之，周長不是3的倍數(shù)的三角形就染黃色.問：四個表面三角形是否能全染成黃色？簡述理由.18.把正方體的六個表面都分成9個相等的正方形.現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)三種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形染的顏色不同，問：用紅色染成的正方形個數(shù)最多有幾個？19.有6個棱長分別是3厘米，4厘米，5厘米的相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得一個長方體只有一個面是紅色的，一個長方體恰有兩個面是紅色的，一個長方體恰有三個面是紅色的，一個長方體恰有四個面是紅色的，一個長方體恰有5個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色.染色后把所有長方體分割成棱長為1厘米的小立方體，分割完畢后，恰有一面是紅色的小立方體最多有幾個？20.給出一個立方體和六張同樣大小的用五個相等小正方形組成的“十字形”彩紙，每個十字形彩紙的面積恰等于立方體一個側(cè)面的面積.試設(shè)計一種方法，不剪開這六張彩紙，就可以把他們貼滿立方體的六個側(cè)面.