2020 中考數(shù)學(xué) 銳角三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用（含答案）1.如圖，B小軍和小兵要去測量一座古塔的高度，他們在離古塔 60 米的 A 處用測角儀測得塔頂?shù)难鼋菫?#160;30°，已知測角儀 AD=1.5 米，則塔 CB 的高為多少米？ACD參考答案:解：過 A 作 AEDC 交 BC 于點 E則 AE=CD=60 米，則AEB=90°，EC=AD=1.5在 ABE 中，即 tan30 = BE60 BE = 60 tan 30 = 60 ´32= 30 3所以，古塔高度為： CB = BE + EC = 20 3 + 1.5 米2.如圖，小強(qiáng)在家里的樓頂上的點 A 處，測量建在與小明家樓房同水平線上相鄰的電梯樓的高，在點 A 處看電梯樓頂點 B 處的仰角為 60°，看樓底點 C 的俯角為 45°，兩棟樓之間的距離為 30 米，則電梯樓的高 BC 為多少米？BA60°45°則在 ABD 中， tan Ð60  =  BD在 ACD 中， tan Ð45  =  DCC參考答案:解：過 A 作 AD地面，交 BC 于 DBD，即 tan Ð60 =， BD = 30 3AD30DC，即 tan Ð60 =， DC = 30AD30樓高 BC 為： BD + DC = 30 + 30 3（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)： sin 35  »   7C3.小明在熱氣球 A 上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋 BC，并測得 B， 兩點的俯角分別為 45°，35°。已知大橋 BC 與地面在同一水平面上，其長度為 100 米，請求出熱氣球離地面的高度。57， cos35 »， tan 35 »）12610A45°35°BCA參考答案:解：過 A 作 ADBC 于點 D則 AD 即為熱氣球的高度，且1=2=45°可設(shè) AD=BD=x則 CD=x+100在 ADC 中45°35°ADxtan C =，即 tan 35 =DCx + 100E                B     C700得： x =3即熱氣球的高度為 AD =7003米4.如圖，某建筑物 BC 頂部有一旗桿 AB，且點 A，B，C 在同一直線上小紅在 D 處觀測旗桿頂部 A 的仰角為 47°，觀測旗桿底部 B 的仰角為 42°已知點 D 到地面的距離 DE 為 1.56m，EC=21m，求旗桿 AB 的高度和建筑物 BC 的高度（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：tan47°1.07，tan42°0.90）參考答案:解：根據(jù)題意，DE=1.56,EC=21,ACE=90°,DEC=90°過點 D 作 DFAC,垂足為 F則DFC=90°,ADF=47°,BFD=42°可得四邊形 DECF 為矩形DF=EC=21,FC=DE=156在 DFA 中， tan ÐADF = AFDFAF=DF·tan47°21×107=22.47在 DFB 中， tan ÐBDF = BFDFBF=DF·tan42°21×0.90=18.90于是，AB=AF-BF=22.47-18.90=3.573.6,BC=BF+FC=18.90+1.56=20.4620.55.如圖所示，探測出某建筑物廢墟下方點 C 處有生命跡象在廢墟一側(cè)面上選兩探測點 A、B，AB 相距 2 米，探測線與該面的夾角分別是 30°和 45°（如圖）試確定生命所在點 C 與探測面的距離（參考數(shù)據(jù) 2 » 1.41 , 3 » 1.73 ）參考答案:解：過 C 作 CDAB 于點 D，則DBC=45°=BCD可設(shè) BD=CD=x在 ACD 中可得： tan ÐDAC = DCAD即： tan 30 =xx + 2得 x =3 + 1 » 2.73即，點 C 與探測面的 距離大約為 2.73 米。6.如圖所示，如圖所示，我市某中學(xué)課外活動小組的同學(xué)利用所學(xué)知識去測量釜溪河沙灣段的寬度。小宇同學(xué)在 A 處觀測對岸 C 點，測得CAD45°，小英同學(xué)在距 A 處 50 米遠(yuǎn)的 B。處測得CBD30°，請你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬（精確到 0.01 米，參考數(shù)據(jù)， 2 » 1.414 ，3 » 1.732 ）參考答案:解：在 ACE 中，CAE=45°可設(shè) CE=EA=x在 BCE 中， tan B =CE             x，即 tan 30 =     ，得 x = 25 3 + 25 » 43.3 + 25 = 68.3BE           x + 50即，河寬約為 68.3 米7.如圖，甲、乙為兩座建筑物，它們之間的水平距離 BC 為 30m，在 A 點測得 D點的仰角EAD 為 45°，在 B 點測得 D 點的仰角CBD 為 60°，求這兩座建筑物的高度（結(jié)果保留根號）DA 45°E乙甲60°BC參考答案:解：如圖，過 A 作 AFCD 于點 F，在 BCD 中，DBC=60°，BC=30m， CD = tan ÐDBCBCDCD=BCtan60°= 30 3 m，A 45°EF乙乙建筑物的高度為 30 3 m；甲60°在 AFD 中，DAF=45°，DF=AF=BC=30m，BC)AB=CF=CDDF=(303 - 30 m，(    )甲建筑物的高度為 30 3 - 30 m8.如圖所示，在某海域，一艘指揮船在 C 處收到漁船在 B 處發(fā)出的求救信號，經(jīng)確定，遇險拋錨的漁船所在的 B 處位于 C 處的南偏西 45°方向上，且 BC60 海里；指揮船搜索發(fā)現(xiàn)，在 C 處的南偏西 60°方向上有一艘海監(jiān)船 A，恰好位于 B處的正西方向于是命令海監(jiān)船 A 前往搜救，已知海監(jiān)船 A 的航行速度為 30 海里/小時，問漁船在 B 處需要等待多長時間才能得到海監(jiān)船 A 的救援？(參考數(shù)據(jù)：2 » 1.41 ， 3 » 1.73 ， 6 » 2.45 ，結(jié)果精確到 0.1 小時)參考答案:解：因為 A 在 B 的正西方，延長 AB 交南北軸于點 D，則 ABCD 于點 D在    BDC 中，cosBCD   ，BC60 海里即 cos45°        ，解得 CD 30   2 海里BCD45°，BDCDBDCDCD2=602BDCD 30 2 海里在  ADC 中，tanACDCDBCADCDA北C西45°60°南B       D東即 tan60°AD= 3 ，解得 AD 30 6 海里30 2ABADBDAB 30 6  30 2 30( 6 - 2 )海里海監(jiān)船 A 的航行速度為 30 海里/小時AB  30則漁船在 B 處需要等待的時間為30( 6 - 2 ) 6 - 2 2.451.41301.041.0 小時漁船在 B 處需要等待 1.0 小時9.隨著人們生活水平的不斷提高，旅游已成為人們的一種生活時尚為開發(fā)新的旅游項目，我市對某山區(qū)進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一瀑布為測量它的高度，測量人員在瀑布的對面山上 D 點處測得瀑布頂端 A 點的仰角是 30°，測得瀑布底端 B 點的G  F俯角是 10°，AB 與水平面垂直又在瀑布下的水平面測得 CG27m，GF17.6m(注：C、 、 三點在同一直線上，CFAB 于點 F)斜坡 CD20m，坡角ECD40°求瀑布 AB 的高度(參考數(shù)據(jù)： 3 1.73，sin40°0.64，cos40°0.77，tan40°0.84，sin10°0.17，cos10°0.98，tan10°0.18)參考答案:解：過點 D 作 DMCE，交 CE 于點 M，作 DNAB，交 AB 于點 N，如圖所示在  CMD 中，CD20m，DCM40°，CMD90°，CMCDcos40°15.4m，DMCDsin40°12.8m，DNMFCMCGGF60m在  BDN 中，BDN10°，BND90°，DN60m，BNDNtan10°10.8m在  ADN 中，ADN30°，AND90°，DN60m，ANDNtan30°34.6mABANBN45.4m答：瀑布 AB 的高度約為 45.4 米10.如圖，斜坡 BE，坡頂 B 到水平地面的距離 AB 為 3 米，坡底 AE 為 18 米，在 B處，E 處分別測得 CD 頂部點 D 的仰角為 30°，60°，求 CD 的高度(結(jié)果保留根號)DB30°E      CA60°參考答案:解：作 BFCD 于點 F，設(shè) DFx 米，D在  DBF 中， tanÐDBFDFBF，B30°FE      C則 BFDF       x=       = 3x ，tanÐDBF  tan30oA60°在直角DCE 中，DCxCF3x(米)，在直角ABF 中， tanÐDECDCEC，則 ECDC      3 + x    3=       =   ( x + 3) 米tanÐDEC  tan60o 3解得： x9  3   ，則 CD 9  3  39  3   (米)BFCEAE，即 3x -3 ( x + 3) = 18 3323922答：CD 的高度是 9 392米11.如圖，站在高出海平面 100m 的懸崖 C 處，俯視海平面上一搜捕魚船 A，并測得其俯角為30°，則船與觀察者之間的水平距離是多少？船向觀察者方向行進(jìn)了一段距離到達(dá) B 處，此時測得船的俯角為 60°，求船航行了多少米？C30°60°AB   D參考答案:解：由題可知CAD=30°，CBD=60°，CD=100在 ADC 中， tan ÐCAD =CD           CD  100=，即 tan 30 =        ， AD = 100 3AD           AD  AD在 BDC 中， tan ÐCBD =CD           CD  100=，即 tan 60 =        ， BD =BD           BD  BD100 33船與觀察者之間的水平距離為： AD = 100   3 ，船航行了100  3 -  100  3200 3=3312.有一艘漁輪在海上 C 處作業(yè)時，發(fā)生故障，立即向搜救中心發(fā)出救援信號，此時搜救中心的兩艘救助輪救助一號和救助二號分別位于海上 A 處和 B 處，B 在 A 的正東方向，且相距100 里，測得地點 C 在 A 的南偏東 60°，在 B 的南偏東 30°方向上，如圖所示，若救助一號和救助二號的速度分別為 40 里/小時和 30 里/小時，問搜救中心應(yīng)派那艘救助輪才能盡早趕到 C 處救援？（3 1.7）北北ABC參考答案:解：作 CDAB 交 AB 延長線于 D，由已知得：EAC=60°，F(xiàn)BC=30°，1=30°，2=90°-30°=60°，1+3=2，北北E3=30°，A1=3，AB=BC=100，1BF  2在 BDC 中， BD =1 3BC = 50 ，2                             C CD =BC 2 - BD 2 = 50 3 ，AD=AB+BD=150，在 ACD 中， AC =AD2 + CD2 =100 3 ，1號  =2號  =  = tAC  5               BC 10=   3 » 4.25 ， t40  2               30  3， 10 4.25 ，3搜救中心應(yīng)派 2 號艘救助輪才能盡早趕到 C 處救援13.一艘漁船位于港口 A 的北偏東 60°方向，距離港口 20 海里 B 處，它沿北偏西37°方向航行至 C 處突然出現(xiàn)故障，在 C 處等待救援，B，C 之間的距離為 10 海里，救援船從港口 A 出發(fā) 20 分鐘到達(dá) C 處，求救援的艇的航行速度.（sin37°0.6，cos37°0.8，3 1.732，結(jié)果取整數(shù)）NC37°B60°AE參考答案:解：輔助線如圖所示：BDAD，BECE，CFAF，有題意知，F(xiàn)AB=60°，CBE=37°，BAD=30°，AB=20 海里，BD=10 海里，在 ABD 中， AD =AB2 - BD2 = 10 3 » 17.32在 BCE 中， sin 37o = CEBCCE=BCsin37°0.6×10=6 海里，F(xiàn)       C cos37o =EBBCN37°EEB=BCcos37°0.8×10=8 海里，EF=AD=17.32 海里，BFC=EFCE=11.32 海里，AF=ED=EB+BD=18 海里，A60°D  E在 AFC 中，AC =AF 2 + FC 2 = 182 + 11.322 = 21.2621.26×364 海里/小時.答：救援的艇的航行速度大約是 64 海里/小時.14.今年，我國海關(guān)總署嚴(yán)厲打擊“洋垃圾”違法行動，堅決把“洋垃圾”拒于國門之外如圖，某天我國一艘海監(jiān)船巡航到 A 港口正西方的 B 處時，發(fā)現(xiàn)在 B的北偏東 60 o 方向，相距 150 海里處的 C 點有一可疑船只正沿 CA 方向行駛，C 點在 A 港口的北偏東 30 o 方向上，海監(jiān)船向 A 港口發(fā)出指令，執(zhí)法船立即從 A 港口沿 AC 方向駛出，在 D 處成功攔截可疑船只，此時 D 點與 B 點的距離為 75 2 海里（1）求 B 點到直線 CA 的距離；（2）執(zhí)法船從 A 到 D 航行了多少海里?（結(jié)果保留根號）參考答案:解：（1）過點 B 作 BH  CA 交 CA 的延長線于點 H，Q ÐMBC = 60°ÐCBA = 30°Q ÐNAD = 30°ÐBAC = 120°ÐBCA = 180° - ÐBAC - ÐCBA = 30°1 BH = BC ´ sin ÐBCA = 150 ´= 752答： B 點到直線 CA 的距離為 75 海里。（2）Q BD = 75 2BH=75 DH =BD2 - BH 2 = 75QÐBAH = 180° - ÐBAC = 60°在 RtDABH 中，BHtan ÐBAH = 3AH(    ) AH = 25 3 AD = DH - AH = 75 - 25 3 (海里)答：執(zhí)法船從 A 到 D 航行了(75 - 25 3 )海里。15.為了測量豎直旗桿 AB 的高度，某綜合實踐小組在地面 D 處豎直放置標(biāo)桿 CD，并在地面上水平放置一個平面鏡 E，使得 B，E，D 在同一水平線上，如圖所示.該小組在標(biāo)桿的 F 處通過平面鏡 E 恰好觀測到旗桿頂 A（此時AEB=FED），在F 處測得旗桿頂 A 的仰角為 39.3°，平面鏡 E 的俯角為 45°，F(xiàn)D=1.8 米，問旗桿 AB 的高度約為多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：tan39.3° 0.82，tan84.3°10.02）ACF39.3°45°D  E                 B參考答案:解：由題意，可得FED=45°.在直角DEF 中，F(xiàn)DE=90°，F(xiàn)ED=45°，DE=DF=1.8 米， EF = 2DE =9 25米.AEB=FED=45°，AEF=180°AEBFED=90°.在直角AEF 中，AEF=90°，AFE=39.3°+45°=84.3°，5                 （米）.AE=EFtanAFE9 2×10.02=18.036在直角ABE 中，ABE=90°，AEB=45°， AB = AE × sin ÐAEB » 18.036 2 ´22» 18故旗桿 AB 的高度約為 18 米.16.如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組在活動課上測量學(xué)校旗桿的高度。已知小亮站著測量，眼睛與地面的距離（AB）是 1.7 米，看旗桿頂部 E 的仰角為 30°；小敏蹲著測量，眼睛與地面的距離（CD）是 0.7 米，看旗桿頂部 E 的演講為 45°；兩人相距 5 米且位于旗桿同側(cè)（點 B、D、F 在同一直線上）。（1）求小敏到旗桿的距離 DF；（結(jié)果保留根號）（2）求旗桿 EF 的高度。EA            45°30°CBDF參考答案: 解：過 C 作 CPEF 于點 P，過 A 作 AQEF 于點 Q，則 QP=1.7-0.7=1則在 ECD 中可設(shè) CD=ED=xEQ=x-1在 AEQ 中，AQ=BD+CD=5+xE tan ÐEAQ =EQ x -1，即 tan 30 =AQ           x + 545°          Q得 x =3 + 5 33 - 3= 4 + 3A    30°BCDPF，小敏到旗桿的距離為 x =3 + 5 33 - 3= 4 + 317.如圖，馬路的兩邊 CF、DE 互相平行，線段 CD 為人行橫道，馬路兩側(cè)的 A、B 兩點分別表示車站和超市，CD 與 AB 所在直線互相平行，且都與馬路的兩邊垂直馬路寬 20 米，A，B相距 62 米，A67°，B37°（1）求 CD 與 AB 之間的距離；（2）某人從車站 A 出發(fā)，沿折線 ADCB 去超市 B求他沿折線 ADCB 到達(dá)超市比直線橫穿馬路多走多少米（參考數(shù)據(jù)：sin67° » 12B135         12         3         4，cos67° »  ，tan67° »  ，sin37° » ，cos37° » ，13         5         5         53tan37° »）437°CF馬路參考答案:【解】（1）如圖（第 20 題圖）設(shè) CD 與 AB 的距離為 x 米CDAB，CFDE，CDDE，四邊形 CDEF 是矩形，CFDEx（米），EFCD20（米），又ABCF，ABDE，  ，BF      ，AEDE   5x       CF   4 xtan A  12      tan B   3ABAEEFBF  20  62，5x4 x123解得，x24（米）即 CD 與 AB 的距離約為 24 米，同理，BC  ，（2）在  ADE 中，ADDE  13x             5x»sin A  12              3（ADDCCB）AB2620406224（米）即沿折線 ADCB 去超市 B 比直線橫穿馬路多走約 24 米18.如圖，一艘游輪在 A 處測得北偏東 45°的方向上有一燈塔 B游輪以 20 2 海里/時的速度向正東方向航行 2 小時到達(dá) C 處，此時測得燈塔 B 在 C 處北偏東 15°的方向上，求 A 處與燈塔 B 相距多少海里？(結(jié)果精確到 1 海里，參考數(shù)據(jù)：2 » 1.41 ， 3 » 1.73 )D北45°AE  B15°C  F 東參考答案:解：過點 C 作 CMAB，垂足為 M，在  ACM 中，MAC90°45°45°，則MCA45°，AMMC，由勾股定理得：AM2MC2AC2(202 ×2)2，解得：AMCM40，ECB15°，DA北45°ME  B15°C  F 東BCF90°15°75°，BBCFMAC75°45°30°，在  BCM 中，tanBtan30°CMBM3  40，即        ，3   BMBM40 3 ，ABAMBM4040 3 4040×1.73109(海里)，答：A 處與燈塔 B 相距 109 海里19.如圖，輪船從點 A 處出發(fā)，先航行至位于點 A 的南偏西 15°且與點 A 相距 100km 的點 B處，再航行至位于點 B 的北偏東 75°且與點 B 相距 200km 的點 C 處。（1）求點 C 與點 A 的距離。（保留根號）（2）確定點 C 相對于點 A 的方向。北A東CB北A東參考答案:解：過 A 作 ADBC 于點 D，由圖可知：ABD=60°CDB在 ABD 中， cos ÐABD = BDAB，BD=50sin ÐABD =ADAB， AD = 50 3 sin ÐDAC =  DC壩底同時拓寬加固，使得 AE2DF，EFBF，求 DF 的長(參考數(shù)據(jù)：sin 37° »，在 ADC 中，由勾股定理可得：AC =AD2 + DC2 = 100 31503=AC100 32銳角DAC=60°點 C 在點 A 的南偏西 75°20.如圖 1，水壩的橫截面是梯形 ABCD，ABC37°，壩頂 DC3m，背水坡 AD的坡度 i(即 tanDAB)為 1:0.5，壩底 AB14m(1)求壩高；(2)如圖 2，為了提高堤壩的防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡將壩頂和35cos37 ° »D4          3， tan 37° »  )5          4CF  D   CABEAH                   B圖1圖2參考答案:解：(1)作 DMAB 于 M，CNAN 于 N由題意：tanDAB DM 2，設(shè) AMx，則 DM2x，AM四邊形 DMNC 是矩形，DMCN2x，在    NBC 中，tan37°  CNBN   x，x3   x14，2x3=，BNBN48383x3，DM6，答：壩高為 6m(2)作 FHAB 于 H設(shè) DFy，則 AE2y，EH32yy3y，BH142y(3y)11y，F(xiàn)  D   C由EFHFBH，可得HF  EH=    ，HB  FH即  6=     ，3 + y11 + y6EAH                   B圖2解得 y72 13 或72 13 (舍棄)，DF2 13 7，答：DF 的長為(2 13 7)m21.如圖，線段 AB，CD 分別表示甲、乙兩座建筑物的高。某九年級課外興趣活動小組未來測量者兩座建筑物的高，用自制測角儀在 A 處測得 D 點的仰角為 ，在 B 處測得 D 點的仰角為 。已知甲乙兩座建筑物之間的距離 BC=m，請你通過計算，用含有 、 ，m 的式子分別表示甲乙兩座建筑物的高度DA在 ADE 中， tan a =  DE乙甲BC參考答案:解：假設(shè)過 A 的水平線交 CD 于點 E，則由題可知：AEDC，AE=BC=mDE，即 tan a =AEm DE = m tana在 BDC 中， tan b =DC          DC，即 tan b =BC           m DC = m tan b所以，乙建筑物高 DC = m tan b甲建筑物高： AB = EC = DC - DE = m tan b - m tana = m (tan b - tana )