第十六屆第十六屆“中環(huán)杯中環(huán)杯”中小學生思維能力訓練活動中小學生思維能力訓練活動五年級決賽五年級決賽 2016年3月5日 12:30 14:00 考試時間：90分鐘 滿分：100分 一、填空題 A：（本大題共8小題，每題6分，共48分）【第1題】計算：11112016_21422754。【分析與解】計算。1111201621422754 1111201621422754 1120161418 11201620161418 144112 32 【第2題】若 E、U、L、S、R、T分別表示1、2、3、4、5、6（不同的字母表示不同的數(shù)字），且滿足：6EUL；18SRUT；15UT；8SL。則六位數(shù)_EULSRT?！痉治雠c解】因為6EUL；而1236；所以,1,2,3E U L；因為18SRUT；而654318；所以,6,5,4,3S R U T；因為15UT；而151 153 5 ；所以,3,5U T；因為8SL；而81 824；所以,2,4S L。由和，得3U，則5T；由和，得2L，則4S；最后分別結合和，得1E，6R；故六位數(shù)132465EULSRT。【第3題】一個超過20的自然數(shù)N，在14進制與20進制中都可以表示為回文數(shù)（回文數(shù)就是指正讀與倒讀都一樣的數(shù)，比如12321、3443都是回文數(shù)，而12331不是回文數(shù)）。N的最小值為_（答案用10進制表示）。【分析與解】數(shù)論，進制與位值。因為20N；所以N在14進制與20進制中都不是一位數(shù)；我們希望N要盡可能小，故設1420Naabb；即1420Naabb；1521Nab；則N既是15的倍數(shù)又是21的倍數(shù)；故N是15,213 57105 的倍數(shù)；而1014201057755，符合題意；故N的最小值為105?！镜?題】一位父親要將他的財產(chǎn)分給他的孩子：首先將1000元以及剩余財產(chǎn)的110給老大，其次將2000元以及剩余財產(chǎn)的110給老二，再次將3000元以及剩余財產(chǎn)的110給老三，以此類推。結果發(fā)現(xiàn)每個孩子都分到了相同數(shù)量的財產(chǎn)。這位父親一共有_個孩子?！痉治雠c解】（方法一）設這個父親的財產(chǎn)有x元；由老大與老二分得財產(chǎn)相同，得 111100010002000100012000101010 xx；解得81000 x；老大分得11000810001000900010元；即每個孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個孩子。（方法二）因為每個孩子都分到了相同數(shù)量的財產(chǎn)；所以老大與老二分得財產(chǎn)相同；老大分得1000元以及剩余財產(chǎn)（這里的剩余我們記為A）的110；老二分得2000元以及剩余財產(chǎn)（這里的剩余我們記為B）的110；那么A的110比B的110多200010001000元；A比B多110001000010元；從A到B依次減少A的110和2000元；故A的110為1000020008000元；A為180008000010元；這個父親的財產(chǎn)有10008000081000元；老大分得11000810001000900010元；即每個孩子都分到了9000元；這位父親一共有8100090009個孩子。（方法三）設這位父親一共有n個孩子；最后一個孩子分得1000n元；這1000n元是倒數(shù)第二個孩子分得10001n 之后剩余的1911010；每個孩子都分到了相同數(shù)量的財產(chǎn)；由倒數(shù)第二個孩子與最后一個孩子分得財產(chǎn)相同，得 110001100010009nnn；解得9n；這位父親一共有9個孩子?！镜?題】如圖，一個長方形的表格有8列，將數(shù)字1、2、按一定順序填入表格中（從左往右填，等一行填滿后進入下一行，還是從左往右填）。一個學生先將填有數(shù)字1的格子涂黑，接下來跳過1個格子，將填有數(shù)字3的格子涂黑；接下來跳過2個格子，將填有數(shù)字6的格子涂黑；接下來跳過3個格子，將填有數(shù)字10的格子涂黑。依次類推，直到所有列都含有至少一個黑格為止（不再繼續(xù)涂黑了）。那么，他涂黑的最后一個格子里的數(shù)字為_。12345678161514131211109【分析與解】（方法一）第1個涂黑的格子為1；第2個涂黑的格子為312；第3個涂黑的格子為6123；第4個涂黑的格子為101234；依次類推，第n個涂黑的格子為12n。119118117116115114113112111110109108107106105104103102101100999897969594939291908988878685848382818079787776757473727170696867666564636261605958575655545352515049484746454443424140393837363534333230312928272625242322212019181716151413121110987654321201這樣我們可以得到涂黑的格子依次為11 mod8，1233 mod8，12366 mod8，1234102 mod8，125157 mod8，126215 mod8，127284 mod8，128364 mod8，129455 mod8，1210557 mod8，1211662 mod8，1212786 mod8，1213913 mod8，12141051 mod8，12151200 mod8，至此mod8余0 7的數(shù)都出現(xiàn)了；即所有列都含有至少一個黑格；他涂黑的最后一個格子里的數(shù)字為120。（方法二）第1個涂黑的格子為1；第2個涂黑的格子為312；第3個涂黑的格子為6123；第4個涂黑的格子為101234；依次類推，第n個涂黑的格子為12n。涂黑的格子mod8的余數(shù)依次為1，3，6，2，7，5，4，至此，除了mod8余0，其余mod8余1 7都已經(jīng)出現(xiàn)；故我們只要考慮120 mod8n；18|1212nn n；16|1n n；因為n與1n互質(zhì)；故16|n或16|1n；我們希望n要盡可能的?。粍t取116n；15n；這樣，他涂黑的最后一個格子里的數(shù)字為12151 15152120。【第6題】一個瓶子里有1001個藍球、1000個紅球、1000個綠球，同時小明手中還有足夠的這三種顏色的球。接下來，小明每次從瓶子中取出兩個球，然后再按照下面的規(guī)則將一個球或兩個球放入瓶中。如果取出一個藍球、一個綠球，則放回去一個紅球；如果取出一個紅球、一個綠球，則放回去一個紅球；如果取出兩個紅球，則放回去兩個藍球；如果取出的兩個球不是上面3種情況，則放回去一個綠球。不斷重復上述操作，直到瓶中只剩下一個球為止。剩下的一個球是_球（填“紅”、“藍”、“綠”、“不確定”【分析與解】操作類問題；奇偶性。取球的情況 紅、藍、綠三種顏色的球的個數(shù)變化 拿出的兩個球 放回的一個球或兩個球 藍球個數(shù) 紅球個數(shù) 綠球個數(shù) 1個藍球、1個綠球 1個紅球 1 1 1 1個紅球、1個綠球 1個紅球 不變 不變 1 2個紅球 2個藍球 2 2 不變 2個藍球 1個綠球 2 不變 1 2個綠球 1個綠球 不變 不變 1 1個藍球、1個紅球 1個綠球 1 1 1 從表中我們可以觀察出，紅球個數(shù)與藍球個數(shù)的奇偶性同時發(fā)生變化；而開始瓶子里有1001個藍球、1000個紅球；即開始時，藍球有奇數(shù)個，紅球有偶數(shù)個，藍球與紅球個數(shù)的奇偶性不同；則無論怎么操作，藍球與紅球個數(shù)的奇偶性始終不同；這樣，最后不可能出現(xiàn)“0個藍球、0個紅球、1個綠球”的情況。而我們注意到，放回去的球的情況，沒有“放回去1個藍球”的情況；即也不可能出現(xiàn)“1個藍球、0個紅球、0個綠球”的情況。綜上所述，剩下的一個球是紅球?！镜?題】從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有_種不同的選法（注意：圖b可以旋轉）。圖b圖a 【分析與解】計數(shù)。首先，我們考慮圖b不旋轉的情況下；一共與有4565424種不同的選法；再結合圖b有3種不同的方向，且每種方向選法數(shù)相同；故從圖a的正六邊形網(wǎng)格中選出圖b的形狀，有24372種不同的選法。【第8題】如圖，在ABC中，90ABC，8BC。D和E分別是AB和AC上的點，使得CDDE，DCBEDA。若EDC的面積為50，則AB的長度為_。ABCDE【分析與解】幾何；勾股定理，弦圖；相似三角形，金字塔模型。ABCDEF 過點E作EFAB，垂足為F。在BCD與FDE中，90CBDDFEDCBEDFCDDE 所以BCDFDE；（弦圖的一半）FEDCBA 所以BCFD，BDFE，BCDFDE；因為90B；所以90BCDBDC；所以90FDEBDC；因為180FDECDEBDC；所以90CDE；這樣我們可以得到EDC是等腰直角三角形；且由50EDCS，得10CDDE；在ABC和AFE中，90BACFAEABCAFE ；所以ABCAFE；（金字塔模型）；ABCDEF FEDCBA 所以EFAFBCAB；6148ABAB；解得56AB。二、填空題B：（本大題共4小題，每題8分，共32分）【第9題】將如圖兩種由單位小正方形組成的圖形（這種圖形的面積均為3）放入8 14的大長方形網(wǎng)格中，要求任意 兩塊圖形之間不存在公共點。那么8 14的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共_個?！痉治雠c解】在8 14的大長方形網(wǎng)格中，有9 15135個格點；而無論是“L型”還是“一字型”的三連塊，每個都有8個格點；1358167；故在8 14的大長方形網(wǎng)格中，可以放入兩種類型的圖形的個數(shù)不超過16個。另一方面，擺放16個的例子可以構造出來（構造方式不惟一）。構造方法一構造方法二 綜上所述，8 14的大長方形網(wǎng)格中最多可以放入兩種類型的圖形共16個?！镜?0題】S n表示自然數(shù)n的數(shù)碼和，比如1231236S。如果兩個不同的正整數(shù)m、n，滿足 1001002mnmnmS nnS m，那么我們就稱m、n構成一個數(shù)對,m n。數(shù)對,m n共有_對。【分析與解】數(shù)論，同余；計數(shù)。我們知道，一個數(shù)與其數(shù)字之和mod9的余數(shù)相同；即 mod9nS n；則 0 mod9nS n；由 2mS nnS m，得 0 mod9S mnS nmS m；故0 mod9m；即m是9的倍數(shù)；因為100m 且m為正整數(shù)；所以9m，18，27，99，代入 2nS nmS m進行逐一計算；并設10nabab（ab為廣義兩位數(shù)）；則 S nab；9nS na，即 92amS m 當9m 時，9S m，9992a ，1a ，舍去；當18m 時，189S m ，91892a ，0a，1 9n，有9對；當27m 時，279S m，92792a ，1a，10 19n，有10對；當36m時，369S m 93692a 2a20 29n，有10對；當45m 時，459S m，94592a ，3a，30 39n，有10對；當54m 時，549S m，95492a ，4a，40 49n，有10對；當63m 時，639S m，96392a ，5a，50 59n，有10對；當72m 時，729S m，97292a ，6a，60 69n，有10對；當81m 時，819S m ，98192a ，7a，70 79n，有10對；當90m 時，909S m，99092a ，9a，80 89n，有10對；當99m 時，9918S m，999182a，7a，70 79n，有10對；綜上所述，數(shù)對,m n共有910910101099 個對?！镜?1題】如圖，正方形ABCD的邊長為4，正方形CEFG的邊長為12，D、C、E三點在一條直線上。聯(lián)結DF，作/GIDF與DA的延長線交于點I。作IHDF與DF交于點H。則IH的長度為_。EIHGFDCBA【分析與解】幾何，勾股定理，相似三角形。（方法一）JEIHGFDCBA 過點G作GJDF，垂足為J。在RtDEF中，90E，12EF，41216DE；由勾股定理，得20DF；因為90E；所以90EDFEFD；因為90EFGJFGEFD；所以EDFJFG；在DEF和FJG中，90DEFFJGEDFJFG ；所以DEFFJG；所以FEDFGJFG；解得365GJ；因為/GIDF，IHDF，GJDF；所以IHGJ；所以365IH。（方法二）KABCDFGHIE 分別延長DI、FG，相交于點K。在RtKDF中，90K，12KD，41216KF；由勾股定理，得20DF；因為/GIDF；所以KDFKIG；（金字塔模型）所以KFKDDFKGKIIG；所以1612204KIIG；解得3KI，5IG；24326KIGSKGKI；216 12296KDFSKFKD；96690KDFKIGDFGISSS梯形；2DFGISIGDFIH梯形；520290IH；解得365IH?！镜?2題】將一個444 的立方體切割成64個1 1 1 的小立方體，然后將其中16個1 1 1 的小立方體染成紅色，要求與任意一條棱平行的4個小立方體中，都正好有1個小方體被染成紅色。不同的染色方法有_種（旋轉后相同的染色方法也視為不同的染色方法）?！痉治雠c解】一個444 的立方體，從上往下一共有4層，每層是一個44 1 的長方體；由題意“與任意一條棱平行的4個小立方體中，都正好有1個小方體被染成紅色”，得 每層44 1 中，都正好有4個正方體染成紅色；且從上往下看，每層染成紅色的小立方體的俯視圖為一個44的正方形。對這個44正方形，我們分別用“1”、“2”、“3”、“4”各4個，表示第1、2、3、4層對應的小方格染成紅色；并且按照題意，這個44正方形中，每行、每列“1”、“2”、“3”、“4”各1個。故問題轉化為“用“1”、“2”、“3”、“4”各4個填在一個44正方形中，要求每行、每列“1”、“2”、“3”、“4”各1個，不同的填法有多少種？”我們先考慮“1”，每行各1個，且不同列，有432 124 種填法；我們不妨設為圖1的情況。圖11111 我們再考慮“2”，第一行的“2”有3種填法；我們不妨設為圖2的情況；圖221111 若第二行的“2”填在第一列，則第三行的“2”填在四列，第四行的“2”填在三列；（如圖3）若第二行的“2”填在第三列，則第四行的“2”填在一列，第三行的“2”填在四列；（如圖4）若第二行的“2”填在第四列，則第三行的“2”填在一列，第四行的“2”填在三列；（如圖5）11112圖322222211112圖4222圖52111111112圖63222 322211112圖7 3222圖821111 圖6余下的有2種填法；（如圖9和圖10）圖7余下的有1種填法；（如圖11）圖8余下的有1種填法；（如圖12）4443311112圖9433222 3344411112圖10433222 43圖1121111222333444 33444433222圖1221111 故第一行的“2”填在第2列，第一行“3”填在第3列，有4種；不同的填法有24324576 種。原題不同的染色方法有576種。三、動手動腦題：（本大題共2小題，每題10分，共20分）【第13題】甲、乙兩車分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行（乙從B地出發(fā)），乙車速度是甲車的k倍（1k）。兩車分別到達B地和A地后，立即返回。返回時，甲車的速度保持不變，乙車的速度等于甲車的速度。返回途中，兩車在C點相遇。如果AB的中點為D點，并且12CDAD，求：k。（請寫出解題過程）【分析與解】行程問題。乙甲DCBA 因為AB的中點為D點；所以12ADBDAB；因為12CDAD；所以:2:1:1AD DC CB；乙行駛BA這段的速度為甲車的k倍，行駛AC這段的速度等于甲車的速度；由相同的時間，速度比等于路程比，得 1:413:41:2kABBCACBA；故2k?！镜?4題】如圖，根據(jù)下面的要求填滿此表：每個小方格內(nèi)填入一個數(shù)字，這個數(shù)字必須是小于10的自然數(shù)；同一區(qū)域內(nèi)的小方格填入相同的數(shù)字（虛線表示同一區(qū)域的內(nèi)部）；最左邊列的小方格不能填入數(shù)字0；從上往下數(shù)第1行的四個數(shù)碼從左至右構成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)可以表示為qp，其中p、q都是質(zhì)數(shù)；從上往下數(shù)第2行的四個數(shù)碼從左至右構成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)可以表示為兩個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積（比如3、5就稱為連續(xù)質(zhì)數(shù)）；從上往下數(shù)第3行的四個數(shù)碼從左至右構成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是一個完全平方數(shù)；從上往下數(shù)第4行的四個數(shù)碼從左至右構成一個四位數(shù)，這個四位數(shù)是37的倍數(shù)。【分析與解】數(shù)論綜合。GGGHGEECDEFEDCBA 每個小方格填上字母，同一區(qū)域內(nèi)的小方格填字母，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母既可以代表不同的數(shù)字也可以代表相同的數(shù)字。由得，EEGG是完全平方數(shù)；完全平方數(shù)的末兩位可能是00、25、6奇、1偶、4偶、9偶；若完全平方數(shù)的末兩位的兩個數(shù)字相同，則只能是00或44；而011EEGGE G是11的倍數(shù)；則EEGG是211的倍數(shù)；011E GEEGG是11的倍數(shù)；由11的整除特性，得0EGEG是11的倍數(shù)；故G不可能是0，只能4G，111147EG；且2774488。444H477CD7F7DCBA 由得，744EHGGH是37的倍數(shù)；3999337；因為744H是37的倍數(shù)；所以7440H也是37的倍數(shù)；由37的整數(shù)特性，7440510HH是37的倍數(shù)；510371329；37298H。4448477CD7F7DCBA 由得，7EFCDFCD可以表示為兩個連續(xù)質(zhì)數(shù)的乘積；我們通過整十數(shù)進行估算：2806400、2908100；再進一步計算可得，79 836557，83 897387，89978633；故7EFCDFCD只能是83 897387；3F，8C，7D。44484778773778BA 由得，87qABCDABp，其中p、q都是質(zhì)數(shù)；注意到1139999，則2q、3、5、7。當2q 時，因為完全平方數(shù)的個位數(shù)字可能是0、1、4、9、6、5，不可能為2、3、7、8；故不存在。當3q 時，p的個位數(shù)字只能為3，經(jīng)嘗試，3327，3132197，3239999，不存在；當5q 時，p的個位數(shù)字只能為7，經(jīng)嘗試，579999，不存在；當7q 時，p的個位數(shù)字只能為3，經(jīng)嘗試，732187，7139999；732187符合；故872187ABCDAB；2A，1B。4448477877377812 更多杯賽信息敬請關注更多杯賽信息敬請關注家長幫社區(qū)家長幫社區(qū) http:/ 外聯(lián)競賽部外聯(lián)競賽部